专题03 长方体和正方体表面积体积特殊类（易错专项训练）数学苏教版六年级上册

专题03 长方体和正方体表面积体积特殊类易错专项训练 易错专项训练一 立体图形的切拼（表面积体积增减） 易错专项训练二 体积的等积变形问题 易错专项训练三 测量不规则物体的体积 易错专项训练一立体图形的切拼（表面积体积增减） 1．把3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 2．如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 3．用12个棱长1厘米的小正方体拼成长方体，有（ ）种不同的拼法，其中表面积最大的长方体是（ ）平方厘米。 4．用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是（ ）平方厘米；至少再添加（ ）个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 5．把一根长3米的长方体木料沿与长垂直的截面锯成两段，锯开后两段木料的表面积之和比原来木料的表面积增加了40平方厘米。这根木料的体积是（ ）立方米。 6．把一个表面积是55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分成了8个小长方体（如图），表面积比原来增加了（ ）平方厘米。 7．一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 8．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是（ ）厘米。 9．从长、宽、高分别为15cm、12cm、10cm的长方体中截取棱长为3cm的正方体（截取时损耗不计），可以截取（ ）个这样的正方体，还剩（ ）cm3。 10．如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是（ ）。 11．把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是（ ）平方分米，每段钢材的体积是（ ）立方分米。 12．用3个棱长2分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）立方分米，表面积是（ ）平方厘米，棱长总和是（ ）米。 13．一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了（ ）平方厘米，体积增加了（ ）立方厘米。 14．一个长方体，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加32平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 15．把一个长24厘米，宽5厘米，高5厘米的长方体木料切割成最大的正方体，正方体的体积是（ ）立方厘米，最多能切成（ ）个这样的正方体。 易错专项训练二体积的等积变形问题 1．小都在实践活动中将一块棱长为10cm的正方体陶土捏成底面积为25cm2的长方体，这个长方体的高是（    ）。 A．24cm B．40cm C．4cm 2．将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，长方体和正方体相比，（    ）。 A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积不相等，表面积相等 3．把64升水倒入一个长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中，这时水面距箱口多少分米？（    ） A．6.4 B．3.2 C．0.6 D．1.6 4．把一块橡皮泥捏成一个长方体，再捏成一个正方体，体积是（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 5．将棱长为8dm的正方体铁块锻造成长16dm、高4dm的长方体铁块，长方体铁块的宽是（    ）dm。 A．4 B．8 C．6 6．一个棱长为6cm的正方体铁块，可以熔铸成（    ）个长为3cm，宽为2cm，高为6cm的铁块。（不考虑损耗） A．5 B．6 C．9 D．12 7．下图是由9个棱长1cm的小正方体拼成的。如果把它变成一个长方体，它的体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 8．如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 9．一个封闭的长方体玻璃容器（如图所示，玻璃厚度忽略不计），长25厘米，宽10厘米，高8厘米，里面的水深4厘米，如果把这个容器向右竖起来，容器里面的水深应该是多少厘米？ 10．有一个正方体水箱，从里面量每边长4米，如果把一满箱水倒入一个长8米，宽2.5米的长方体水池内，水深多少米？ 11．一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 12．一个正方体钢材，棱长是4分米，把它锻造成一个横截面边长为2厘米的正方形的长方体钢条，如果不计损耗，钢条长是多少米？ 13．实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 14．一个长方体形状的缸，从里面量长4分米、宽3分米，缸内水深1.2分米。把一块铁块放进缸里，现在水深1.4分米，求铁块的体积。 15．在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 易错专项训练三测量不规则物体的体积 1．做一个长25厘米、宽20厘米、高20厘米的玻璃鱼缸，用角钢做成长方体框架，至少需要角钢（ ）厘米。现在用做好的鱼缸测一块石头的体积（如图），这块石头的体积是（ ）立方厘米。 2．2000多年前，希腊希洛王制作了一个纯金的皇冠。但怀疑工匠偷了部分金子，加入等重的铜。因为相同体积的金子和铜质量不同，需要测出皇冠的体积但又不能破坏皇冠。于是国王找来科学家阿基米德，阿基米德用下图的方法进行了测算，那么皇冠的体积是（ ）立方厘米。 3．将石头放入长方体水箱后，水面从5cm上升到6.5cm（如图所示），这块石头的体积是（ ）cm3。 4．一个棱长5厘米的正方体玻璃水箱，里面装有3厘米深的水，当把一块不规则的石头完全浸入水中后，水面上升到4厘米，这块石头的体积是（ ）立方厘米。 5．科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和小铁球的实验，实验过程如下图。则大铁球的体积是（ ）cm3，小铁球的体积是（ ）cm3。 6．一个正方体玻璃容器从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入5升水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是（ ）立方厘米。 7．有一个长方体容器，从里面量长80厘米，宽10厘米，高60厘米，里面注有水。水深3分米。如果把一块棱长20厘米的正方体铁块浸入水中，水面上升（ ）分米。 8．如下图，将一个小球放入水缸，小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，水缸规格如图，小球的体积是（ ）立方厘米。 9．一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如下图），水面上升了（ ）dm。 10．一个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28厘米、体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 11．甲鱼缸内有一条鳜鱼，量得鱼缸的长是40厘米，宽是40厘米，水面高度是25厘米。将鱼捞出放入乙鱼缸后，甲鱼缸水面高度下降到22厘米。你能求出乙鱼缸放入鱼后水面上升了多少厘米吗？ 12．如下图所示，有一块重987.5克的正方体铁块（每立方厘米重7.9克），把它浸没在长方体容器的水中，水面上升了0.5厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？ 13．小明学习了“排水法”求不规则物体的体积后，进行以下实验，并填写了下面的实验记录单。 长方体容器 长：14厘米 宽：12厘米 高：10厘米 水面高度 沉入物体前 6厘米 沉入物体后 9厘米 浸没水中的物体和数量 10个鸡蛋 平均每个鸡蛋的体积是多少立方厘米？ 14．玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如下实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 15．学习了用“排水法”求不规则物体的体积以后，活动课上，同学们设计了一个数学小游戏：一个长方体玻璃缸，长18厘米，宽6厘米，高15厘米，往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，小明手里有若干个体积是120立方厘米的玻璃球，小刚手里有若干个体积是110立方厘米的玻璃球，两个人从小明开始依次将手中的玻璃球放入水中，每人每次只能放一颗，轮到谁的时候水会溢出？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 长方体和正方体表面积体积特殊类易错专项训练 易错专项训练一 立体图形的切拼（表面积体积增减） 易错专项训练二 体积的等积变形问题 易错专项训练三 测量不规则物体的体积 易错专项训练一立体图形的切拼（表面积体积增减） 1．把3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】56 24 【分析】拼成的长方体的长是2×3＝6分米，宽是2分米，高是2分米的长方体；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】拼成的长方体的长：2×3＝6（分米），宽是2分米，高是2分米。 （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝（24＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方分米） 6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 把3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56平方分米，体积是24立方分米。 2．如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 【答案】105或210 【分析】如果去掉一个正方体，有两种情况：去掉两边的任意一个或中间的一个，表面就少了4个面或2个面，表面积比原来减少30平方厘米，所以用30÷4或30÷2求出正方体的一个面的面积，然后由图可知：把三个同样大小的正方体拼成一个大长方体，少了4个面，长方体的表面积即（6×3－4）个正方形面的面积和，进而解答即可。 【解答】30÷4×（6×3－4） ＝7.5×14 ＝105（平方厘米） 30÷2×（6×3－4） ＝15×14 ＝210（平方厘米） 原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米。 3．用12个棱长1厘米的小正方体拼成长方体，有（ ）种不同的拼法，其中表面积最大的长方体是（ ）平方厘米。 【答案】4 50 【分析】要确定用12个棱长1厘米小正方体拼成长方体的不同拼法，需考虑12的因数组合情况，因为长方体体积等于长×宽×高，而12个小正方体体积为12立方厘米，所以通过12的因数组合能得到不同的长宽高组合方式。 再根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，分别计算出各种情况的长方体的表面积，再进行比较即可解答。 【解答】因为12＝1×1×12，此时长方体长宽高分别为12厘米、1厘米、1厘米； 12＝1×2×6，长方体长宽高分别为6厘米、2厘米、1厘米； 12＝1×3×4，长方体长宽高分别为4厘米、3厘米、1厘米； 12＝2×2×3，长方体长宽高分别为3厘米、2厘米、2厘米。 所以共有4种不同拼法。 第一种拼法：1×1×12，长方体表面积为： （1×1＋1×12＋1×12）×2 ＝（1＋12＋12）×2 ＝（13＋12）×2 ＝ 25×2 ＝50（平方厘米） 第二种拼法：长方体的表面积为： （6×2＋2×1＋6×1）×2 ＝（12＋2＋6）×2 ＝（14＋6）×2 ＝20×2 ＝40（平方厘米） 第三种拼法：长方体的表面积为： 为（1×3＋1×4＋3×4）×2 ＝（3＋4＋12）×2 ＝（7＋12）×2 ＝19×2 ＝38（平方厘米） 第四种拼法：长方体的表面积为： （2×2＋2×3＋2×3）×2 ＝（4＋6＋6）×2 ＝（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 因为50＞40＞38＞32，所以其中表面积最大的长方体50平方厘米。 4．用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是（ ）平方厘米；至少再添加（ ）个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 【答案】32 18 【分析】（1）观察可知，上下、左右各有5个小正方形，前后各有6个小正方形，根据，小正方体的每个面的面积是（平方厘米），用每个面的面积乘小正方形的总个数即可。 （2）观察可知，要搭一个大正方体，每条棱长最多有3个小正方体，即搭成的大正方体的棱长至少是3厘米，根据，代入数据可计算搭成的大正方体的体积及小正方体的体积，用大正方体体积除以小正方体体积，得到搭成的大正方体需要多少个小正方体，再减图中小正方体的个数即可得解。 【解答】 （平方厘米） （个） 用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是32平方厘米；至少再添加18个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 5．把一根长3米的长方体木料沿与长垂直的截面锯成两段，锯开后两段木料的表面积之和比原来木料的表面积增加了40平方厘米。这根木料的体积是（ ）立方米。 【答案】0.006 【分析】根据切割方法，锯成两段时，表面积增加了2个横截面的面积，据此即可求出横截面的面积是（平方厘米），再根据长方体体积底面积高，用长方体木料的底面积乘木料的长，即可求出它的体积。 【解答】（平方厘米） 20平方厘米（平方米） （立方米） 这根木料的体积是0.006立方米。 【点评】解答此题的关键是根据切割方法，求出长方体木料的横截面的面积。要注意单位的统一。 6．把一个表面积是55.5平方厘米的长方体，沿着长、宽、高垂直各切一刀后分成了8个小长方体（如图），表面积比原来增加了（ ）平方厘米。 【答案】55.5 【分析】沿着长、宽、高垂直各切一刀，表面一共增加了6个面，正好等于原来的表面积，据此分析。 【解答】沿着长、宽、高垂直各切一刀，增加上下、左右、前后6个面的面积，也就是原长方体的表面积。所以表面积比原来增加了55.5平方厘米。 7．一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】288 【分析】由题意可知，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，即减少了长为2厘米的长方体的侧面积，用48除以2即可求出长方体的底面周长，根据正方形的周长公式：C＝4a，据此求出长方体的底面的宽和高，最后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此计算即可。 【解答】48÷2＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） （6＋2）×6×6 ＝8×6×6 ＝48×6 ＝288（立方厘米） 则原来长方体的体积是288立方厘米。 8．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来长方体的高是（ ）厘米。 【答案】5 【分析】根据题意，作图如下： 从“一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体”可知：这个长方体的高＋3厘米＝长＝宽＝正方体的棱长。高增加3厘米，就从长方体变成正方体，上下面不变，前后左右4个面共增加了96平方厘米，用96÷4＝24平方厘米求出一个面增加的面积。再用一个面增加的面积÷3即可得正方体的棱长，用棱长减去3就得长方体的高。 【解答】96÷4÷3－3 ＝8－3 ＝5（厘米） 原来长方体的高是5厘米。 9．从长、宽、高分别为15cm、12cm、10cm的长方体中截取棱长为3cm的正方体（截取时损耗不计），可以截取（ ）个这样的正方体，还剩（ ）cm3。 【答案】60 180 【分析】用长方体的长、宽和高分别除以正方体的棱长，分别求出长、宽和高分别可以截去几个正方体的棱长，再把它们相乘，即可求出可以截去正方体的个数；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，求出长方体的体积和正方体的体积和，再用长方体体积减去正方体的体积和，即可解答。 【解答】15÷3＝5（个） 12÷3＝4（个） 10÷3＝3（个）……1（cm） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 15×12×10－3×3×3×60 ＝180×10－9×3×60 ＝1800－27×60 ＝1800－1620 ＝180（cm3） 从长、宽、高分别为15cm、12cm、10cm的长方体中截取棱长为3cm的正方体（截取时损耗不计），可以截取60个这样的正方体，还剩180cm3 10．如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是（ ）。 【答案】288 【分析】根据题意可知，增加的表面积等于4个长等于长方体的宽，宽等于长方体的高的长方形，用增加的面积÷4，求出一个面的面积，也就是长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【解答】2.4m＝24dm 48÷4×24 ＝12×24 ＝288（dm3） 原来长方体木料的体积是288dm3。 11．把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是（ ）平方分米，每段钢材的体积是（ ）立方分米。 【答案】0.5/ 4 【分析】把长方体钢材截成相同的三段，截两下，会增加4个横截面，用得横截面面积，用原来钢材的长除以3，得每段钢材的长，再用横截面乘每段钢材的长即可得每段钢材的体积。单位不同要先统一单位，据此解答。 【解答】或（平方分米） 2.4米＝24分米 （立方分米） 把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是0.5（或）平方分米，每段钢材的体积是4立方分米。 12．用3个棱长2分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）立方分米，表面积是（ ）平方厘米，棱长总和是（ ）米。 【答案】24 5600 4 【分析】这个长方体的体积等于3个正方体的体积的和。 拼好的长方体的长是（2×3）分米，宽是2分米，高是2分米，利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算长方体的表面积，长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，由此列式计算即可。 注意换算单位，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率。1平方分米＝100平方厘米，1米＝10分米。 【解答】2×2×2×3＝24（立方分米） 长方体的长：2×3＝6（分米） （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方分米） 56平方分米＝5600平方厘米 （6＋2＋2）×4 ＝10×4 ＝40（分米） 40分米＝4米 则这个长方体的体积是24立方分米，表面积是5600平方厘米，棱长和是4米。 13．一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了（ ）平方厘米，体积增加了（ ）立方厘米。 【答案】96 192 【分析】根据题意可知，高增加3厘米，表面积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出增加部分的面积；体积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】（8×3＋8×3）×2 ＝（24＋24）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 表面积增加了96平方厘米，体积增加了192立方厘米。 14．一个长方体，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加32平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】32 【分析】宽增加2厘米，就变成一个正方体，说明长方体的侧面是正方形，而且宽比长和高都少2厘米；这时表面积比原来增加32厘米，表面积增加的部分就是宽为2厘米的4个侧面的面积；由此求出一个侧面的面积；进而求出长方体的长、宽和高；再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】32÷4÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 4－2＝2（厘米） 长方体的长是4厘米，宽是2厘米，高是4厘米， 4×2×4 ＝8×4 ＝32（立方厘米） 这个长方体的体积是32立方厘米。 15．把一个长24厘米，宽5厘米，高5厘米的长方体木料切割成最大的正方体，正方体的体积是（ ）立方厘米，最多能切成（ ）个这样的正方体。 【答案】125 4 【分析】将长方体切割成最大的正方体，长方体的长、宽、高中最短的就是正方体的棱长，所以正方体的棱长为5厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”可求出正方体的体积。由于长方体的宽和高都是5厘米，所以只需要看24厘米里面包含多少个5厘米，最多就能切成多少个这样的正方体。据此解答。 【解答】5×5×5＝125（立方厘米） 24÷5＝4（个）……4（厘米） 所以，最大正方体的体积是125立方厘米，最多能切成4个这样的正方体。 易错专项训练二体积的等积变形问题 1．小都在实践活动中将一块棱长为10cm的正方体陶土捏成底面积为25cm2的长方体，这个长方体的高是（    ）。 A．24cm B．40cm C．4cm 【答案】B 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算出棱长为10cm的正方体的体积；把这个正方体陶土捏成一个长方体，体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，用正方体陶土的体积除以长方体的底面积，所得结果即为这个长方体的高。 【解答】10×10×10÷25 ＝1000÷25 ＝40（cm） 因此这个长方体的高是40cm。 故答案为：B 2．将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，长方体和正方体相比，（    ）。 A．体积和表面积都相等 B．体积相等，表面积不相等 C．体积不相等，表面积相等 【答案】B 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积，物体各个面的面积之和叫做物体的表面积。 根据题意，将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，钢坯的形状变了，则表面积发生了变化；但钢坯的大小不变，即体积没变，据此解答。 【解答】将一个正方体钢坯锻造成一个长方体钢坯，长方体和正方体相比，体积相等，表面积不相等。 故答案为：B 3．把64升水倒入一个长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中，这时水面距箱口多少分米？（    ） A．6.4 B．3.2 C．0.6 D．1.6 【答案】D 【分析】水倒入长方体后，体积不变，变成一个长4分米，宽2.5分米的长方体，先求出64升水在长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中的高度，该高度＝水的体积÷长方体水箱的底面积，再用水箱的高度减去水的高度即可。 【解答】64升＝64立方分米 64÷（4×2.5） ＝64÷10 ＝6.4（分米） 8－6.4＝1.6（分米） 这时水面距箱口1.6分米。 故答案为：D 4．把一块橡皮泥捏成一个长方体，再捏成一个正方体，体积是（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【分析】体积是指物体所占空间的大小，所以橡皮泥所占空间的大小等于所捏成的正方体所占空间的大小，也等于所捏成的长方体所占空间的大小，即橡皮泥的体积不变，据此解答。 【解答】由分析可得：把一块橡皮泥捏成一个长方体，再捏成一个正方体，体积是不变。 故答案为：C 5．将棱长为8dm的正方体铁块锻造成长16dm、高4dm的长方体铁块，长方体铁块的宽是（    ）dm。 A．4 B．8 C．6 【答案】B 【分析】根据题意，把正方体铁块锻造成一个长方体，那么铁块的体积不变； 先根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积； 再根据长方体的体积公式V＝abh可知，长方体的宽b＝V÷a÷h，据此求出长方体铁块的宽。 【解答】铁块的体积： 8×8×8＝512（dm3） 长方体的宽： 512÷16÷4 ＝32÷4 ＝8（dm） 长方体铁块的宽是8dm。 故答案为：B 6．一个棱长为6cm的正方体铁块，可以熔铸成（    ）个长为3cm，宽为2cm，高为6cm的铁块。（不考虑损耗） A．5 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，求出熔铸前后的体积，再用求出正方体的体积除以长方体的体积，得数是几，就能熔铸几块。 【解答】6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 3×2×6 ＝6×6 ＝36（cm3） 216÷36＝6（个） 可以熔铸成6个长为3cm，宽为2cm，高为6cm的铁块。 故答案为：B 7．下图是由9个棱长1cm的小正方体拼成的。如果把它变成一个长方体，它的体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积。无论如何拼组，小正方体的数量不变，拼成的立体图形的体积就不变。 【解答】由分析可知，如果把它变成一个长方体，它的体积不变； 故答案为：C 8．如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长是8厘米，宽是4厘米，高是6厘米水的体积；由于体积不变，再用水的体积除以长是12厘米，宽是4厘米的面的面积，即可解答。 【解答】8×4×6÷（12×4） ＝8×4×6÷48 ＝32×6÷48 ＝192÷48 ＝4（厘米） 水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是4厘米。 故答案为：A 9．一个封闭的长方体玻璃容器（如图所示，玻璃厚度忽略不计），长25厘米，宽10厘米，高8厘米，里面的水深4厘米，如果把这个容器向右竖起来，容器里面的水深应该是多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【分析】先求出长是25厘米，宽是10厘米，高是4厘米长方体的体积，也就是4厘米高水的体积；根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容器内水的体积；由于体积不变，把这个容器向右竖起来，长方体的长为10厘米，宽8厘米，求高，根据体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。 【解答】（25×10×4）÷（10×8） ＝（250×4）÷80 ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：容器里面水深12.5厘米。 10．有一个正方体水箱，从里面量每边长4米，如果把一满箱水倒入一个长8米，宽2.5米的长方体水池内，水深多少米？ 【答案】3.2米 【分析】根据正方体容积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体水箱的容积，也是一满箱水的体积；把一满箱水倒入一个长方体水池内，根据长方体容积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此求出水池内水的高度，据此解答。 【解答】（4×4×4）÷（8×2.5） ＝64÷20 ＝3.2（米） 答：水深3.2米。 11．一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 【答案】2400分米 【分析】由题意可知，正方体体积与长方体体积相等，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据先求出正方体体积，也是长方体体积； 再根据长方体的体积＝底面积×高的逆运算，用长方体体积除以横截面积，即可求出钢材的长度。注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米。 【解答】9平方厘米＝0.09平方分米 （分米） 答：钢材的长是2400分米。 12．一个正方体钢材，棱长是4分米，把它锻造成一个横截面边长为2厘米的正方形的长方体钢条，如果不计损耗，钢条长是多少米？ 【答案】160米 【分析】题目中正方体棱长单位是分米，长方体横截面边长单位是厘米，计算时需统一单位，将厘米换算为分米；已知正方体棱长4分米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”可求出正方体钢材体积，此体积也就是锻造后长方体钢材的体积，因为锻造过程不计损耗，体积不变；已知长方体钢材横截面是正方形，依据“正方形面积＝ 边长×边长”，由横截面边长可算出横截面面积；已知体积和横截面面积，利用“长方体体积＝横截面面积×长”，用体积除以横截面面积可算出长方体钢材的长；最后将分米换算为米得到最终答案。 【解答】2厘米＝0.2分米 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 0.2×0.2＝0.04（平方分米） 64÷0.04＝1600（分米） 1600分米＝160米 答：钢条长是160米。 13．实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【分析】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【解答】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 14．一个长方体形状的缸，从里面量长4分米、宽3分米，缸内水深1.2分米。把一块铁块放进缸里，现在水深1.4分米，求铁块的体积。 【答案】2.4立方分米 【分析】由题意可知，上升的水的体积就是铁块的体积，上升的水体积可看作是一个长是4分米，宽是3分米，高是分米的长方体，根据，代入数据计算即可。 【解答】 （立方分米） 答：铁块的体积是2.4立方分米。 15．在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】已知一个长10厘米、宽8厘米的长方体密封盒内水深4厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 然后将它竖立放置，水的体积不变，但密封盒的底面积变成是（8×5）平方厘米，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出这时水的深度。 【解答】水的体积： 10×8×4＝320（立方厘米） 水深： 320÷（8×5） ＝320÷40 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 易错专项训练三测量不规则物体的体积 1．做一个长25厘米、宽20厘米、高20厘米的玻璃鱼缸，用角钢做成长方体框架，至少需要角钢（ ）厘米。现在用做好的鱼缸测一块石头的体积（如图），这块石头的体积是（ ）立方厘米。 【答案】260 1000 【分析】用角钢做成长方体框架，求需要的角钢的长度，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求出需要的角钢的长度；放入一块石头后，鱼缸水的高度由10厘米上升到12厘米，水的高度上升了（12－10）厘米，上升部分的体积就是这块石头的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这块石的体积。 【解答】（25＋20＋20）×4 ＝65×4 ＝260（厘米） 用角钢做成长方体框架，至少需要角钢260厘米。 25×20×（12－10） ＝25×20×2 ＝1000（立方厘米） 即这块石头的体积是1000立方厘米。 2．2000多年前，希腊希洛王制作了一个纯金的皇冠。但怀疑工匠偷了部分金子，加入等重的铜。因为相同体积的金子和铜质量不同，需要测出皇冠的体积但又不能破坏皇冠。于是国王找来科学家阿基米德，阿基米德用下图的方法进行了测算，那么皇冠的体积是（ ）立方厘米。 【答案】250 【分析】水面上升的体积就是皇冠的体积，根据长方体体积公式，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝皇冠的体积，据此列式计算。 【解答】25×20×（12.5－12） ＝500×0.5 ＝250（立方厘米） 皇冠的体积是250立方厘米。 3．将石头放入长方体水箱后，水面从5cm上升到6.5cm（如图所示），这块石头的体积是（ ）cm3。 【答案】450 【分析】根据题意，将石头放入长20cm、宽15cm的长方体水箱后，水面从5cm上升到6.5cm，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。 【解答】20×15×（6.5－5） ＝20×15×1.5 ＝450（cm3） 这块石头的体积是450cm3。 4．一个棱长5厘米的正方体玻璃水箱，里面装有3厘米深的水，当把一块不规则的石头完全浸入水中后，水面上升到4厘米，这块石头的体积是（ ）立方厘米。 【答案】25 【分析】这块石头的体积＝上升的水的体积。根据题意，上升的水的形状是长5厘米，宽5厘米，高（4－3）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这块石头的体积。 【解答】5×5×（4－3） ＝5×5×1 ＝25（立方厘米） 则这块石头的体积是25立方厘米。 5．科学课上，妙想设计了一个测量大铁球和小铁球的实验，实验过程如下图。则大铁球的体积是（ ）cm3，小铁球的体积是（ ）cm3。 【答案】8 1 【分析】从图中可知，放入1个大铁球和1个小铁球，溢出水的体积是9cm3；放入1个大铁球和3个小铁球，溢出水的体积是11cm3；也就是多放了（3－1）个小铁球，溢出水的体积多了（11－9）cm3，据此用除法求出1个小铁球的体积；再用9cm3减去1个小铁球的体积，求出1个大铁球的体积。 【解答】小铁球的体积： （11－9）÷（3－1） ＝2÷2 ＝1（cm3） 大铁球的体积： 9－1＝8（cm3） 则大铁球的体积是（8）cm3，小铁球的体积是（1）cm3。 6．一个正方体玻璃容器从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入5升水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是（ ）立方厘米。 【答案】1800 【分析】通过实际操作可知当苹果完全浸没在水中时，上升部分水的体积就是苹果的体积，上升部分水的底面积等于容器的底面积，上升部分水的高＝放入苹果后水的高－原水的高，因此，长×宽＝容器的底面积，倒入的水的体积÷容器的底面积＝原水的高，容器的底面积×（放入苹果后水的高－原水的高）＝这个苹果的体积。 【解答】5升＝5000毫升＝5000立方厘米 20×20＝400（平方厘米） 5000÷400＝12.5（厘米） 400×（17－12.5） ＝400×4.5 ＝1800（立方厘米） 所以，这个苹果的体积是1800立方厘米。 7．有一个长方体容器，从里面量长80厘米，宽10厘米，高60厘米，里面注有水。水深3分米。如果把一块棱长20厘米的正方体铁块浸入水中，水面上升（ ）分米。 【答案】1 【分析】通过实际操作可知把正方体铁块浸入水中时，铁块的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的底面积等于容器的底面积，因此，棱长×棱长×棱长＝上升部分水的体积，长×宽＝上升部分水的底面积，棱长×棱长×棱长÷（长×宽）＝水面上升的高；最后需要转化单位：1分米＝10厘米，小单位转化成大单位除以进率。 【解答】20×20×20÷（80×10） ＝8000÷800 ＝10（厘米） 10厘米＝1分米 所以，如果把一块棱长20厘米的正方体铁块浸入水中，水面上升1分米。 8．如下图，将一个小球放入水缸，小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，水缸规格如图，小球的体积是（ ）立方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，把小球的一半浸没在水中，放入小球后水位上升0.5厘米，那么水上升部分的体积等于小球浸没在水中的体积，也就是小球体积的一半； 水上升部分是一个长12厘米、宽8厘米、高0.5厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出小球体积的一半，再乘2，就是小球的体积。 【解答】12×8×0.5×2 ＝96×0.5×2 ＝96（立方厘米） 小球的体积是96立方厘米。 9．一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后（石块完全浸没在水中，如下图），水面上升了（ ）dm。 【答案】0.6/ 【分析】石块的体积就是水面上升的体积，石块的体积÷容器底面积＝水面上升的高度，据此列式计算。 【解答】2.4÷（2×2） ＝2.4÷4 ＝0.6（dm） 水面上升了0.6dm。 10．一个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28厘米、体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 【答案】7分钟 【分析】根据题意，当假山石完全淹没时，注入的水的体积与假山石的体积之和，等于长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据求出这个长方体的体积，再减去假山石的体积，即可求出注入的水的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，根据除法的意义，用注入的水的体积除以3000，即可求出需要的时间。 【解答】45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21000毫升 21000÷3000＝7（分钟） 答：至少需要7分钟才能将假山石完全淹没。 11．甲鱼缸内有一条鳜鱼，量得鱼缸的长是40厘米，宽是40厘米，水面高度是25厘米。将鱼捞出放入乙鱼缸后，甲鱼缸水面高度下降到22厘米。你能求出乙鱼缸放入鱼后水面上升了多少厘米吗？ 【答案】8厘米 【分析】根据不规则物体的体积计算方法可知，甲鱼缸下降的水的体积就是鳜鱼的体积，由题意可知，捞出鳜鱼后甲鱼缸水面下降了（厘米），根据，可求出鳜鱼的体积，再用鳜鱼的体积除以乙水缸的长与宽的积（或用用鳜鱼的体积除以乙水缸的长再除以宽）即可得解。 【解答】40×40×（25－22）÷（50×12） ＝40×40×3÷600 ＝8（厘米） 或40×40×（25－22）÷50÷12 ＝40×40×3÷50÷12 ＝8（厘米） 答：乙鱼缸放入鱼后水面上升了8厘米。 12．如下图所示，有一块重987.5克的正方体铁块（每立方厘米重7.9克），把它浸没在长方体容器的水中，水面上升了0.5厘米，这个容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】250平方厘米 【分析】由题意可知，正方体铁块的体积＝正方体铁块的重量÷每立方厘米铁块的重量，上升部分水的体积等于放入铁块的体积，放入铁块后上升部分的水可以看作一个长方体，由“长方体的体积＝底面积×高”可知，容器的底面积＝铁块的体积÷水面上升的高度，据此解答。 【解答】铁块的体积：987.5÷7.9＝125（立方厘米） 容器的底面积：125÷0.5＝250（平方厘米） 答：这个容器的底面积是250平方厘米。 13．小明学习了“排水法”求不规则物体的体积后，进行以下实验，并填写了下面的实验记录单。 长方体容器 长：14厘米 宽：12厘米 高：10厘米 水面高度 沉入物体前 6厘米 沉入物体后 9厘米 浸没水中的物体和数量 10个鸡蛋 平均每个鸡蛋的体积是多少立方厘米？ 【答案】50.4立方厘米 【分析】10个鸡蛋总体积就是长方体容器中水面上升部分的体积。已知容器长14厘米、宽12厘米，水面上升高度为9－6＝3（厘米）；根据”长方体体积＝长×宽×高”计算出上升水的体积（即10个鸡蛋体积和），再除以10得单个鸡蛋体积。 【解答】9－6＝3（厘米） 14×12×3÷10 ＝168×3÷10 ＝504÷10 ＝50.4（立方厘米） 答：平均每个鸡蛋的体积是50.4立方厘米。 14．玲玲为了比较苹果和芒果的体积做了如下实验。（玻璃的厚度不计，图中单位：cm） 谁的体积大？大了多少立方厘米？ 【答案】芒果大；100立方厘米 【分析】根据图2可知，水面上升部分的体积就是苹果的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出苹果的体积；根据图3，由图2到图3，水面上升部分的体积等于芒果的体积，据此求出芒果的体积，再比较苹果和芒果的体积，再用体积大的减去体积小，进而解答。 【解答】苹果体积： 20×10×（10.9－10） ＝20×10×0.9 ＝200×0.9 ＝180（立方厘米） 芒果体积： 20×10×（12.3－10.9） ＝20×10×1.4 ＝200×1.4 ＝280（立方厘米） 280＞180，芒果的体积大。 280－180＝100（立方厘米） 答：芒果的体积大，大了100立方厘米。 15．学习了用“排水法”求不规则物体的体积以后，活动课上，同学们设计了一个数学小游戏：一个长方体玻璃缸，长18厘米，宽6厘米，高15厘米，往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，小明手里有若干个体积是120立方厘米的玻璃球，小刚手里有若干个体积是110立方厘米的玻璃球，两个人从小明开始依次将手中的玻璃球放入水中，每人每次只能放一颗，轮到谁的时候水会溢出？ 【答案】小明 【分析】已知长方体玻璃缸的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出玻璃缸的总容积； 往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，用玻璃缸的总容积减去玻璃缸中水的体积，即是玻璃缸还剩余的空间； 已知小明、小刚往玻璃缸中放玻璃球，水面会上升，水上升部分的体积等于放入的玻璃球的体积；把两人各放一个玻璃球看作一轮，此时水上升的体积是120＋110＝230立方厘米； 用玻璃缸剩余的容积除以230，商表示可以放几轮，余数表示还剩下的空间； 用放了几轮后还剩下的空间与小明放的玻璃球体积进行比较，如果小明放的玻璃球体积大于剩下的空间，则水会溢出； 如果小刚放的玻璃球体积小于剩下的空间，则轮到小刚放时，水才会溢出。 【解答】18×6×15 ＝108×15 ＝1620（立方厘米） 1080毫升＝1080立方厘米 1620－1080＝540（立方厘米） 120＋110＝230（立方厘米） 540÷230＝2（轮）……80（立方厘米） 80＜120 答：轮到小明的时候水会溢出。 【点评】除了熟悉不规则物体的容积的计算方法，还需要明确，每放完一轮玻璃球，余下的空间与玻璃球体积的大小关系能决定结论。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$