第1章 有理数（复习讲义）数学湘教版2024七年级上册

第一章 有理数（复习讲义） 1.理解负数、有理数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量，能根据不同标准对有理数进行分类。 2.认识数轴，知道其原点、正方向和单位长度三要素，能正确画出数轴，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 4.通过有理数的性质和运算规律进行推理，正确进行大小比较和运算，发展严谨的数学思维。 5.理解有理数乘方的意义，能准确进行有理数的乘方运算。 6.掌握有理数加、减、乘、除法则，能熟练地进行有理数的四则运算、乘方运算和以三步为主的简单混合运算，理解有理数的运算律，并能合理运用运算律简便运算。 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）互为相反数的两个数的绝对值相等. 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点距离原点的距离； (2) 绝对值可表示为： 或 ； (3) ； ； (4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性； 5.有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （5）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 17.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 18.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。 题型一 有理数 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，－3.14，0，18%，，2019，，，－1 整数：； 正分数：； 非负有理数：． 【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：2023，，0，，，，，，，． (1)正数：______________________________． (2)负数：______________________________． (3)整数：______________________________． 【变式1-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 4.5，5，，30%，，，0，， (1)正整数集合{    …} (2)分数集合{    …} (3)负有理数集合{    …} (4)整数集合{    …} 题型二 数轴的三要素及其画法 【考点题型二】数轴的三要素及其画法 【例2】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   题型三 数轴上的两点距离及动点问题 【例3】在数轴上有A、B两点，点A距离原点3个单位长度，且在原点左侧，若间距离为5，则点B表示的数是 ． 【变式3-1】有理数在数轴上对应的两点分别是． 计算，两点之间的距离公式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）． 例如：若点表示的数是－6，点表示的数是－9，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是－2020，点表示的数是2020，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是－2，点表示的数是3，点表示的数是．    （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，求的值； （3）在点左侧是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数：若不存在，请说明理由． 题型四 相反数的概念及性质应用 四 【例4】的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】的相反数是（   ） A． B． C．2023 D． 【例4-2】已知与2互为相反数，那么 ． 【变式4-3】数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是 ． 题型五 绝对值的定义及其性质 【例5】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式5-1】若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【变式5-2】若．则的值为（    ） A． B． C． D．五四 【变式5-3】若，且，则 ． 题型六 有理数的加法运算 加法运算五四 【例6】计算：． 【变式6-1】下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】计算 （1） （2） 题型七 有理数的减法运算 六五四 【例7】计算的结果（    ） A．2 B． C．1 D．0 【变式7-1】计算的结果为（    ） A． B．1 C．5 D． 【变式7-2】若点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ． 题型八 有理数的乘法运算 六五四 【例8】在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【变式8-1】下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】计算． (1)； (2)； (3)； 题型九 有理数的除法运算 六五四 【例9】如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 【变式9-1】计算： ． 【变式9-2】如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】将十进制数36化为七进制数为 ． 题型十 有理数的混合运算 六五四 【例10】选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 【变式10-1】，括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式10-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式10-3】计算： (1)； (2)． 题型十一 科学计数法及新定义题型 六五四 【例11】2024 年广东地区生产总值达到13.57万亿元、增长4.8%，是全国首个突破13万亿元的省份，总量连续35年居全国首位．数据13.57万亿用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】今年一季度某沿海城市大约为人民币元，也就是（    ） A．345.065亿元 B．3450.65亿元 C．34506.5亿元 D．345065亿元 【变式11-2】取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 基础巩固通关测 1. 《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果盈利70元记作元，那么亏50元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，1，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（　　） A. B. C. D. 3 3. 若a为有理数，且满足，则（　　） A. B. C. D. 4. 如图，把半径为 0.5 的圆放到数轴上，圆上一点 A 与表示 1 的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点 A 表示的数是（ ） A. π B. π+1 C. 2π D. π﹣1 5. 我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，向北走走6米，记为（4，6），则向西走5米，向北走3米，记为_______； 6. 若，则______． 7. 计算：______． 8. 已知，，且，则_________，_________． 9. 把下列各数填入相应括号： ． 正分数：； 整数：； 负有理数：； 非负数：； 10. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 11. 某市出租车司机李师傅在一条东西方向的公路上运载乘客，现规定向东为正，向西为负，运载六批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在第一批乘客出发地的什么位置？距离多少千米？ （2）若出租车每公里耗油升，那么李师傅运载六批乘客共耗油多少升？ （3）若此市出租车的收费标准为：起步价6元（不超过3千米），超过3千米时，超过部分每千米1元．问李师傅运载这六批乘客一共收了多少元？ 能力提升进阶练 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 2．已知下列说法：①绝对值等于它本身的数有无数个；②倒数等于它本身的数只有1；③相反数等于它本身的数是0； ④平方等于它本身的数有三个．其中正确的说法有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 4．计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 5．若xy＞0，则＋＋1的值为（    ） A．﹣2 B．3或﹣2 C．3 D．﹣1或3 6．已知，则的值是__________． 7．计算：__________． 8．在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第__________列． 9．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有__________．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 10．光明中学组织学生到距离学校9千米的博物馆参观，学生小华因有事未能上包车，于是准备在学校门口直接乘出租车去博物馆，出租车的收费标准如下： 里程 收费（元） 3千米以内（含3千米） 3千米以外，每增加1千米 (1)当小华乘出租车的里程数为x千米（）时，所付车费为 元 (2)如果小华同学身上仅有25元钱，由学校乘出租车到博物馆钱够不够？请说明理由． 11．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求的值． 12．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空： __________，__________，__________． (2)化简：． 13．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 14．阅读理解题：点A，B在数轴上分别表示示数a，b，A，B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图①所示：；当A、B两点都不在原点时． ①如图②所示：点A、B都在原点的右边，． ②如图③所示，点A、B都在原点的左边，． ③如图④所示，点A、B在原点的两边，．综上所述，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是________，如果，那么x为________． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（复习讲义） 1.理解负数、有理数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量，能根据不同标准对有理数进行分类。 2.认识数轴，知道其原点、正方向和单位长度三要素，能正确画出数轴，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 4.通过有理数的性质和运算规律进行推理，正确进行大小比较和运算，发展严谨的数学思维。 5.理解有理数乘方的意义，能准确进行有理数的乘方运算。 6.掌握有理数加、减、乘、除法则，能熟练地进行有理数的四则运算、乘方运算和以三步为主的简单混合运算，理解有理数的运算律，并能合理运用运算律简便运算。 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数； a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）互为相反数的两个数的绝对值相等. 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点距离原点的距离； (2) 绝对值可表示为： 或 ； (3) ； ； (4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性； 5.有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （5）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 17.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 18.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。 题型一 有理数 【例1】把下列各数填在相应的大括号里： ，－3.14，0，18%，，2019，，，－1 整数：； 正分数：； 非负有理数：． 【答案】，0，2019，－1；18%，，；0，18%，，2019， 【分析】根据整数（包括正整数，0和负整数），正分数（大于0的分数）以及非负有理数（包括0和正有理数）的定义解答即可． 【详解】解：，， 整数：； 正分数：； 非负有理数：． 故答案为：，0，2019，－1；18%，，；0，18%，，2019，． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，多重符号的化简，绝对值的含义，掌握有理数的分类是解题的关键，难点是非负有理数的理解. 【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：2023，，0，，，，，，，． (1)正数：______________________________． (2)负数：______________________________． (3)整数：______________________________． 【答案】(1)2023，，，，， (2)，， (3)2023，，0， 【分析】本题主要考查了有理数的分类； （1）根据正数的定义进行解答即可； （2）根据负数的定义进行解答即可； （3）根据整数的定义进行解答即可； 解题的关键是熟练掌握有理数的定义，分类方法，“整数和分数统称为有理数”． 【详解】（1）解：正数有：2023，，，，，； 故答案为：2023，，，，，． （2）解：负数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：整数有：2023，，0，． 故答案为：2023，，0，． 【变式1-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 4.5，5，，30%，，，0，， (1)正整数集合{    …} (2)分数集合{    …} (3)负有理数集合{    …} (4)整数集合{    …} 【答案】(1)5， (2)4.5，，30%，， (3)，， (4)5，，0， 【分析】根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】（1）正整数集合{5，，…} 故答案为：5，； （2）分数集合{4.5，，30%，，，…} 故答案为：4.5，，30%，，； （3）负有理数集合{，，，…} 故答案为：，，； （4）整数集合{5，，0，，…} 故答案为∶ 5，，0，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 题型二 数轴的三要素及其画法 【考点题型二】数轴的三要素及其画法 【例2】下列图形表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点是解题的关键． 【详解】解：A．从左向右点所表示的数依次增大，故A错误； B．符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确； C．单位长度不一致，故C错误； D．画成射线了，故D错误． 故选：B． 【变式2-1】下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可． 【详解】 解：A、  的正方向错了，故该选项是错误的； B、  的数值标错了，故该选项是错误的； C、  没有正方向，故该选项是错误的； D、  原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的； 故选：D 【变式2-2】下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解． 【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意； B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意； C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意； D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 题型三 数轴上的两点距离及动点问题 【例3】在数轴上有A、B两点，点A距离原点3个单位长度，且在原点左侧，若间距离为5，则点B表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】根据在数轴上，点所表示的数为，可以得到点的距离等于5个单位长度的点B所表示的数是什么，本题得以解决． 【详解】解：点A距离原点3个单位长度，且在原点左侧， 点所表示的数为， 间距离为5， 到点的距离等于5个单位长度的点B所表示的数是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点的距离为5个单位长度的点表示的数有两个． 【变式3-1】有理数在数轴上对应的两点分别是． 计算，两点之间的距离公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离，熟练掌握数轴上的两点距离公式是解题的关键；因此此题可根据数轴上的两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：两点之间的距离公式是； 故选D． 【变式3-2】【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）． 例如：若点表示的数是－6，点表示的数是－9，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是－2020，点表示的数是2020，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是－2，点表示的数是3，点表示的数是．    （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，求的值； （3）在点左侧是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4040；（2）0.5，−7或8；（3）-9． 【分析】（1）根据题意，用点表示的数减去点表示的数加以计算即可； （2）根据题意分①点是线段的中点、②点是线段的中点、③点是线段的中点三种情况进一步分析讨论即可； （3）设点表示的数是，然后分别表示出AQ与BQ，根据“点到点，点的距离和为19”进一步求解即可. 【详解】（1）; （2）①当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； ②当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； ③当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； 综上所述，的值为0.5、或8； （3）设点表示的数是，则：QA=，QB=， ∵， ∴． 解得：． ∴在点左侧存在一点，使点到点，的距离和为19．且点表示的数是－9. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题与数轴上两点之间的距离，熟练掌握相关概念是解题关键. 题型四 相反数的概念及性质应用 四 【例4】的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；根据相反数的意义即可求解． 【详解】解：的相反数是2， 故选A． 【变式4-1】的相反数是（   ） A． B． C．2023 D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行判断即可． 【详解】解：有理数的相反数是2023， 故选：C． 【例4-2】已知与2互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键． 【变式4-3】数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等求出即可． 【详解】解：∵点A，B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8， ∴这两个数一个为4，另一个则为﹣4， ∵A在B的右侧， ∴点B表示的数为． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查了相反数在数轴上的几何特征，能熟记这个几何特征（数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等）是解此题的关键． 题型五 绝对值的定义及其性质 【例5】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0． 【详解】解：∵， ∴绝对值等于2019的数有2个，即和， 故选：C． 【变式5-1】若，且，则的值是（    ） A．或8 B．或 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值意义及代数式求值，由得到，由确定同号，代值求解即可得到答案，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 同号，则或， 或， 故选：C． 【变式5-2】若．则的值为（    ） A． B． C． D．五四 【答案】C 【分析】本题考查绝对值得非负性，代入求值，根据绝对值得非负性得到，，然后求出x，y的值，代入即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故选C． 【变式5-3】若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，代入求值，根据可得的值，再根据进一步判定的值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴异号， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为： ． 题型六 有理数的加法运算 加法运算五四 【例6】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 【变式6-1】下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【变式6-2】计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）从左往右计算，即可求解； （2）利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：（1） （2） 题型七 有理数的减法运算 六五四 【例7】计算的结果（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式7-1】计算的结果为（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式7-2】若点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算以及数轴，根据点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，得点B在数轴上表示的数是，计算即可作答． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度， ∴， 则点B表示的数是， 故答案为：． 题型八 有理数的乘法运算 六五四 【例8】在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【答案】35 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【详解】解：要使所得的积最大，两数字必定同号， ， ∵， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35， 故答案为：35． 【变式8-1】下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，多个有理数相乘，熟练掌握多个有理数相乘计算法则是解题的关键； 根据多个有理数相乘计算法则即可求解； 【详解】解：A、，故该选项错误； B、 故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D 【变式8-2】计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型九 有理数的除法运算 六五四 【例9】如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，倒数的定义，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）因为，，与互为倒数，所以的商和的商互为倒数，而C的倒数是，由此可得答案． （2）先将除数化成假分数，分子用相乘的形式表示，即，再把除法变成乘法求解即可． 【详解】解：（1）如果“”，那么“”； （2） ， 故答案为：，． 【变式9-1】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键； 根据有理数的除法法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为： 【变式9-2】如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 【变式9-3】将十进制数36化为七进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”． 把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型十 有理数的混合运算 六五四 【例10】选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数四则混合运算顺序，根据“先乘除、后加减，有括号先算括号里面的”逐项判断即可． 【详解】解：A，，先算乘法，再乘加法，最后算除法，不合题意； B，，先算加法，再算乘法，最后算除法，不合题意； C，，先算除法，再算加法，最后算乘法，符合题意； D，，先算加法，再算除法，最后算乘法，不合题意； 故选C． 【变式10-1】，括号里应该填（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴括号内填的是； 故选A 【变式10-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)90 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的四则混合计算法则求解即可； （2）根据乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）根据有理数的四则混合计算法则求解即可； （4）先把原式变形为，再裂项求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解： ． 【变式10-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）运用有理数的乘法分配律进行简便运算即可； （2）直接利用含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型十一 科学计数法及新定义题型 六五四 【例11】2024 年广东地区生产总值达到13.57万亿元、增长4.8%，是全国首个突破13万亿元的省份，总量连续35年居全国首位．数据13.57万亿用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：13.57万亿． 故选：A． 【变式11-1】今年一季度某沿海城市大约为人民币元，也就是（    ） A．345.065亿元 B．3450.65亿元 C．34506.5亿元 D．345065亿元 【答案】B 【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位．一亿就是，可以把3.450 65的小数点向右移动3位． 【详解】解：，即3450.65亿． 故选：B． 【变式11-2】取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，第3步的运算结果为，当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，；当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，；当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，，然后求和即可． 【详解】解：由题意知，第3步的运算结果为， 当为偶数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为偶数，第2步的运算结果为奇数5时，， 当为奇数，且第1步到第3步运算结果均为偶数时，， 当为奇数，且第2步的运算结果为奇数5时，， ∴所有符合条件的数的和是， 故选：D． 【变式11-3】已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义先计算括号里面的，再计算括号外面的即可得到结果． 【详解】解： 故选：D． 基础巩固通关测 1. 《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果盈利70元记作元，那么亏50元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，若盈利70元记作元，那么亏50元记作元． 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2. 如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，1，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 若a为有理数，且满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 解得： 故选：D． 4. 如图，把半径为 0.5 的圆放到数轴上，圆上一点 A 与表示 1 的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点 A 表示的数是（ ） A. π B. π+1 C. 2π D. π﹣1 【答案】B 【解析】 【详解】解：半径为 0.5 的圆的周长是2π×0.5=π； 圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点 A 表示的数π+1． 故选B． 5. 我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，向北走走6米，记为（4，6），则向西走5米，向北走3米，记为_______； 【答案】(－5，3) 【解析】 【详解】解：∵向东走为+，向北走为+，∴向西走为﹣，向南走为﹣，∴向西走5米，再向北走3米，记作（﹣5，3）． 6. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，直接利用绝对值的非负性得出，的值，进而代入即可得出答案，正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 8. 已知，，且，则_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出，，再根据，得出，，问题随之得解． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，属于基础题型，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 9. 把下列各数填入相应括号： ． 正分数：； 整数：； 负有理数：； 非负数：； 【答案】，；，，0；，，；，2022，，0 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方式解答即可． 【详解】正分数：； 整数； 负有理数：； 非负数：． 故答案为： ，；，，0；，，；，2022，，0． 10. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据有理数加减法则直接求解即可得到答案； （2）根据有理数除法法则直接求解即可得到答案； （3）根据有理数四则混合运算法则直接求解即可得到答案； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，有先算乘方，再算乘除，最后算加减． 11. 某市出租车司机李师傅在一条东西方向的公路上运载乘客，现规定向东为正，向西为负，运载六批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在第一批乘客出发地的什么位置？距离多少千米？ （2）若出租车每公里耗油升，那么李师傅运载六批乘客共耗油多少升？ （3）若此市出租车的收费标准为：起步价6元（不超过3千米），超过3千米时，超过部分每千米1元．问李师傅运载这六批乘客一共收了多少元？ 【答案】（1）在出发地东边，距离4千米 （2）升 （3）53元 【解析】 【分析】本题考查正数和负数、有理数的混合运算、绝对值等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）根据正、负数的实际意义，将各个数相加即可解题； （2）先计算六次运载的总路程，再乘以每公里耗油升，注意，路程与运动方向无关，利用绝对值解题即可； （3）根据收费标准确定出收入即可． 【小问1详解】 解：由题意得，向东为正，向西为负，，在出发地东边，距离4千米． 【小问2详解】 解：李师傅运载六批乘客的总路程为： （千米） （升）， 所以共耗油升． 【小问3详解】 解：（元） 所以李师傅运载六批乘客一共收了53元． 能力提升进阶练 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选D． 2．已知下列说法：①绝对值等于它本身的数有无数个；②倒数等于它本身的数只有1；③相反数等于它本身的数是0； ④平方等于它本身的数有三个．其中正确的说法有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】①绝对值等于它本身的数是0和正数有无数个，说法正确； ②倒数等于它本身的数只有1和，说法错误； ③相反数等于它本身的数只有0，说法正确； ④平方等于它本身的数有0和1共两个，说法错误； 综上所述，正确的有①③共2个．故选B． 3．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．，结论A错误； B．，，，结论B错误； C．，，，结论C错误； D．，，，结论D正确． 故选D． 4．计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【解析】原式，故选B． 5．若xy＞0，则＋＋1的值为（    ） A．﹣2 B．3或﹣2 C．3 D．﹣1或3 【答案】D 【解析】因为xy＞0，所以x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0， ①当x＞0，y＞0时，原式＝1+1+1＝3；②当x＜0．y＜0时，原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1，故选D． 6．已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】，，，解得：，， 则的值是：．故答案为：． 7．计算：__________． 【答案】 【解析】原式，故答案为：． 8．在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第__________列． 【答案】四 【解析】根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列；又．故在第四列．故答案为：四． 9．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有__________．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【解析】由图知：，故①错误；由图知：，故②正确；由图知：，故③错误； 由图知： ，，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离，，故⑤正确；综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 10．光明中学组织学生到距离学校9千米的博物馆参观，学生小华因有事未能上包车，于是准备在学校门口直接乘出租车去博物馆，出租车的收费标准如下： 里程 收费（元） 3千米以内（含3千米） 3千米以外，每增加1千米 (1)当小华乘出租车的里程数为x千米（）时，所付车费为 元 (2)如果小华同学身上仅有25元钱，由学校乘出租车到博物馆钱够不够？请说明理由． 【解析】（1）解：当小华乘出租车的里程数为x千米（）时，所付车费为元， 故答案为：． （2）解：根据题意可知，博物馆距离学校9千米， 故， 故学校乘出租车到博物馆钱够． 11．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求的值． 【答案】或 【解析】由题意，得：， 当时，原式； 当时，原式； 故的值为或． 12．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空： __________，__________，__________． (2)化简：． 【解析】（1）解：由数轴得，，， ，，， 故答案：，，； （2）解：原式 ． 13．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【解析】（1）解：． 故答案为：． （2）解：因为，， 所以． 故答案为：． （3）解： ． 14．阅读理解题：点A，B在数轴上分别表示示数a，b，A，B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图①所示：；当A、B两点都不在原点时． ①如图②所示：点A、B都在原点的右边，． ②如图③所示，点A、B都在原点的左边，． ③如图④所示，点A、B在原点的两边，．综上所述，数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是________，如果，那么x为________． 【解析】（1）解：由题意知，数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：3，3，4； （2）解：由题意知，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 因为，所以， 解得或， 故答案为：，1或． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$