第58讲 带电粒子在立体空间中的运动-【精练】2026高考物理一轮复习

第58讲 带电粒子在立体空间中的运动 真题演练 1．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【答案】（1）；（2），垂直与纸面向里，；（3），，， 【详解】（1）粒子垂直进入圆形磁场，在坐标原点汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子从点进入下方虚线区域，若要从聚焦的点飞入然后平行轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域 磁场半径为，根据可知磁感应强度为 根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为 （3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周 根据可知I和III中的磁感应强度为 ， 图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图 图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周与三角形之差，所以阴影部分的面积为 类似地可知IV区域的阴影部分面积为 根据对称性可知II中的匀强磁场面积为 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、、均为已知量） (1)电子的比荷; (2)当磁感应强度大小调至时，筒壁上落有电子的区域面积S。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当磁场的磁感应强度为时，电子刚好不会落到筒壁上。 则电子以速度垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）磁感应强度调整为后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 由射出到相切，经过半个周期，用时 根据速度的合成与分解可知 平行轴线方向运动距离 结合对称性，被电子击中的面积 3．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。 （1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能； （2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。 【答案】（1），，；（2） 【详解】（1）电子在电场中加速有 在磁场Ⅰ中，由几何关系可得 联立解得 在磁场Ⅰ中的运动周期为 由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为 在磁场Ⅰ中的运动时间为 联立解得 从Q点出来的动能为 （2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得 解得 由于 联立解得 4．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。 【答案】(1)，；(2)（，0）；(3)（0，）；(4)见解析 【详解】(1)通过速度选择器离子的速度 从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为 由得 (2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离 离开电场后，离子在x方向偏移的距离 位置坐标为(，0) (3)离子进入磁场后做圆周运动半径 经过磁场后，离子在y方向偏转距离 离开磁场后，离子在y方向偏移距离 则 位置坐标为(0，) (4)注入晶圆的位置坐标为(，),电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。 5．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做匀变速直线运动， 由闭合回路欧姆定律可得 联立可得 （2）粒子进入磁场与竖直方向的夹角为， 粒子在磁场中做匀速圆周运动 由几何关系易得 联立可得 （3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有 解得 粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为 此时合速度与竖直方向的夹角为 合速度为 粒子做圆周运动的半径 最远距离为 模拟冲关 6．（2025·湖北·二模）匀强磁场B水平向左，一带正电的粒子以速度进入磁场，初速度方向与磁场反方向夹角为，已知粒子质量为m，电荷量为q，忽略粒子重力，粒子运动轨迹如下图所示，则以下说法正确的是（　　） A．螺旋的半径为 B．相邻两螺旋间距为 C．带电粒子在运动时加速度大小不变 D．若带电粒子速度大小不变，方向可以变化，则当夹角满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值 【答案】CD 【详解】A．设带电粒子水平方向速度分量为，竖直方向速度分量为，由分析可知带电粒子的螺旋运动可分解为平行于磁场方向向右的匀速直线运动（其速度大小为）和垂直于磁场方向的匀速圆周运动（其速度大小为）。带电粒子速度与磁场B夹角为，故平行于磁场方向的速度分量为 垂直于磁场方向的速度分量为 带电粒子垂直磁场方向做匀速圆周运动，设其半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得，故A错误； B．相邻螺旋间距即“螺距”，是平行方向在一个圆周运动周期内的位移。设垂直方向匀速圆周运动的周期为T，根据周期与圆周运动速度的关系有 所以一个周期内平行磁场方向匀速直线运动的位移即螺距为，故B错误； C．粒子受洛伦兹力的大小为 由于洛伦兹力不做功，粒子速度大小始终不变，故大小不变。根据牛顿第二定律有 代入数据解得 由于、、、、均为定值，所以加速度大小不变。故C正确； D．粒子一个周期内的轨迹为“螺旋线”，包围的体积可视为圆柱体体积，其底面积为圆周运动的圆面积，高为螺距。由上面分析可知圆周运动的半径为 所以圆柱的底面积为 螺距为 所以圆柱体的体积为 要使圆柱体的体积最大，需要最大，令 利用三角函数关系 得 对求导并令导数为0，可解得存在使最大，所以体积有最大值，即当夹角满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值，故D正确。 故选CD。 7．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a（-2L，-2L）沿y轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x轴正方向进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为大于0的常量）。不计粒子重力，求： (1)区域I内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)区域II内匀强电场场强E的大小； (3)该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得粒子在区域I中运动的轨迹半径为 由牛顿第二定律得 解得 （2）设匀强电场的水平分量为，竖直分量为，由牛顿第二定律得、 粒子沿x轴、y轴的分运动均为匀变速直线运动，沿x轴方向有 沿y轴方向有 解得， 区域II内匀强电场场强E的大小为 （3）粒子经过坐标原点O瞬间，沿x轴方向的分速度大小为 沿y轴方向的分速度大小为 粒子经过O点瞬间的速度大小为 粒子在第一象限内运动过程中，当粒子与y轴距离最大时，粒子沿x轴方向的分速度为0，沿y轴方向的分速度大小为 在y轴方向由动量定理得 而 解得 8．（2025·辽宁·三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下图，加速电场的电压为；速度选择器中磁感应强度为，两板电压为，两板间距离为；磁分析器在坐标系的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为，各磁场方向如图中所示。一电荷量为的粒子从容器右侧小孔进入加速电场，恰能沿直线运动通过速度选择器，从小孔出来后，进入磁分析器中偏转，轨迹如图中虚线所示，到达轴上点时纵坐标为，不计粒子重力，整个装置处于真空中，求∶ (1)粒子经过小孔的速度； (2)粒子的质量和刚进入加速电场时的初速度； (3)粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气，粒子在磁分析器中受到与速率大小成正比的阻力，轨迹如实线所示，其运动到点时速度方向刚好沿轴正向，则粒子所受阻力与速率的比值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在速度选择器中，根据平衡条件，有                             电场强度为          联立可得 （2）在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，有                             由图可知l=2r 联立可得                                         在加速电场中，根据动能定理，有                             解得 （3）在磁分析器中，从O到Q，沿x方向根据动量定理有 其中在x方向，有                                                     在y方向，有                                                     代入可得 解得 9．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标； (2)电场强度与磁感应强度的比值； (3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。 【答案】(1)，[0，] (2) (3) 【详解】（1）带正电的粒子在磁场做圆周运动，设半径，洛伦兹力提供向心力，根据 解得 粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子将从点进入磁场，且其速度与轴正方向的夹角为，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为，由于粒子垂直轴离开磁场，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力 解得 点的坐标为 则点的坐标为[0，]。 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有，， 联立解得 粒子到点的竖直分速度设为，则 解得 即粒子从点射入磁场内的速度方向与轴正向成角，速度大小为，则做圆周运动的半径 根据 解得 所以 （3）粒子在磁场中运动时间 粒子在磁场中运动时间 粒子在电场中运动时间由 解得 粒子在磁场中运动时间 所以粒子整个运动过程中需用的时间 10．（2025·重庆·三模）如题图所示，在平面第一象限内，直线与直线之间存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场轴下方有一直线CD与轴平行且与x轴相距为轴与直线CD之间（包含x轴）存在沿y轴正方向的匀强电场；在第三象限，直线CD与直线之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为的平行电子束，如图，沿y轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y轴的距离也为，经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入轴下方的电场，最后所有电子都垂直于边界离开磁场。已知：电子质量为，电量大小为e，电场强度大小为。求： (1)电子进入轴上方磁场前的最大速度v1的大小； (2)直线的方程； (3)现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，同时在第四象限直线CD的下方，以CD为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一大小为，(未知）垂直纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点（-8a，-5a），求第四象限所加磁场的大小及磁场左边界满足的关系。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据题意分析可知，所有电子在第一象限都经历一个四分之一侧周运动后通过原点并沿-x轴方向进入x轴下方的电场，最大速度对应最大半径，则有 r1=2a 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得电子进入x轴上方磁场前的最大速度为 （2）由题意可得所有电子都垂直于EF边界离开磁场，则所有电子运动轨迹的圆心都在 EF直线上,由以上分析可得，经过直线 CD时，设任何电子的-x方向的分速度为 根据运动学公式，在y方向有 其中 在x方向，有 解得 则电子经过直线CD的坐标为(-2ka，-a)，电子经过直线CD的合速度为 速度方向与水平方向的夹角的正切值为 则圆心位置对应的坐标为 因为电子垂直于直线EF出射，所以圆心也在直线上，可得EF直线为 （3）设某一粒子从电场入射时位置为(x0，0)则轨迹如图 其入射速度、时间关于x0有轨道半径为，，， 射出电场得坐标为 那么当粒子从电场出射时，出射位置横坐标x1与水平分速度vx满足 在磁场中运动时，轨迹圆的圆心， 解得直线l1为 由(2)问知所有粒子垂直经过此直线。 考虑到汇聚的要求，可以考虑利用“入射粒子入射磁场时平行磁场速度与横坐标为线性 关系”这一点，做CD关于l1对称的直线l。 再将入射磁场粒子束视为全部从(0,3a)匀速直线射出并进入CD处磁场，那么粒子束的运 动将关于l1对称，它们将汇聚到(0，3a)关于l的对称点。代入此点位置(-8a，-5a) 解得l1为 y=-5a-x； 磁场左边界满足的关系x=-4a 11．（2025·山东济南·二模）如图所示的坐标平面内，的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的两个带正电粒子和，均以相同大小的速率从点分别沿轴正向和轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求 (1)粒子分别在和的区域内运动时的半径之比和周期之比； (2)两粒子运动轨迹交点的坐标； (3)以两粒子在点开始运动时为时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。 【答案】(1)， (2)交点在x轴上，（，0）；交点不在x轴上，[,] (3)，或 【详解】（1）由于粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，在区域内运动时，则有 解得 同理可得，在区域内运动时的半径 粒子分别在和的区域内运动时的半径之比 根据周期可知，粒子在和的区域内运动时的周期分别为， 解得 （2）根据上述分析可知， 当时，两个粒子发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 根据能量守恒可得 解得 两粒子运动的部分轨迹如图所示 ①交点在x轴上 坐标为（，0） ②交点不在x轴上，根据对称性可得 故交点坐标为[,] （3）在内，设， 结合上述结论可知， 两粒子在运动过程中沿y方向的距离为 对y求导可得 令 ，则有 解得， y最大； 同样在内，时，y最大； 故当或时，其最大值 12．（2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，π=3，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时间（计算结果保留1位有效数字）； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得 电场中动能定理 解得 （2）设极板上有光电子打中得区域为半径为y的圆形区域，电子的最大动能为 当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘。此时电子在平行极板方向做匀速直线运动，则 电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有 其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为 联立得y=0.6m 则，极板A上有光电子打中的区域面积为 （3）设电子经过A板时最大速度大小为，与板最小夹角为α，则 解得 所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图 由几何关系得 解得Dm=0.9m 所以磁场宽度D应满足的条件为。光电子在磁场中运动最短时间对应轨迹如图 电子在磁场中运动的周期为 运动的最小时间为 解得 （4）取向下为y轴正方向，由y方向动量定理得 则 所以 当向上时，电子水平位移最大，此时 磁场宽度D′应满足的条件。 13．（2025·江西·模拟预测）如图所示，为一离子源，为荧光屏。由到做垂线，垂足为，，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。某时刻离子源一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为，电荷量都为，速率均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。 (1)若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围。 (2)若荧光屏足够大，当离子的速率时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差。 (3)若荧光屏足够大，当离子的速率时，求荧光屏上被离子打中的区域长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）分析可知，只要沿MN方向的粒子打不到屏上，则所有粒子都打不到屏上，如图1 则有 且 联立解得 （2）当时，则轨迹圆半径 离子距离荧光屏最短弦长为SP，对应圆心角最小，离子能打中荧光屏的时间最短，如图2所示 几何关系可知 因为周期 离子能打中荧光屏的最短时间为 离子能打中荧光屏在磁场中运动时间最长时轨迹如图3 轨迹与MN相切，对应圆心角 离子能打中荧光 屏的最长时间为 同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差 （3）如图4所示 上侧一个圆与MN相切与A点，A为离子能 打中的上侧最远点；下侧一个圆以SQ为直径，Q就是离子 能打中的下侧最远点)，即可关系可知荧光屏上被离子打中的区域长度 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 【答案】AD 【详解】A．粒子经加速电压后，由动能定理可知 速度 代入磁场中半径公式 可求得粒子的轨迹半径与电压的关系，当时，半径 时，半径 时，半径 当粒子沿轴正方向射入磁场时，粒子在平面偏转半个圆周打在轴上，当加速电压为时粒子打中板上位置最远，为，因此打中板长度为，故A正确； B．当、粒子射向平面，恰好打在板上的临界情况如图所示 由几何关系可知 则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为，故B错误； C．当，粒子射向平面，速度方向与轴正方向夹时，粒子的运动轨迹如下图所示 将速度分解为沿轴方向的和沿轴方向的，则粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离轴最远，由可知，粒子与轴距离最大时的时间为，故C错误； D．当，粒子速度方向与平面和坐标轴夹角均为时，初速度大小为 将其分解为轴方向分速度 和平面分速度 粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，则经过时粒子的坐标为，故D正确。 故选AD。 15．（2025·广东·模拟预测）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在平面的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场点位于轴负半轴上，在处放有可以接收粒子的接收板，其长度为，厚度不计。在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点为圆心，半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。某一带正电粒子（已知荷质比为）从轴上的点以速度大小射入电场，与轴负方向的夹角为，该粒子经电场偏转后，以垂直于轴的方向从轴上的点进入第二象限。已知长度为，不计粒子重力，计算结果可保留根号。（仅为已知值） (1)求该粒子在第一象限中运动的时间和电场强度的大小； (2)要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场的取值范围； (3)若，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场，且经过磁场边界时速度方向与边界线垂直，最终回到点，求磁场和的大小之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在第一象限中做类斜抛运动，水平方向，匀速直线运动， 竖直方向， 解得 （2）由（1）可得 设 粒子恰能打在点时， 解得 粒子恰能打在点时，由几何关系 解得 故 （3）若，由 可得 故粒子垂直于轴进入第三象限。粒子进入第三和第四象限后，运动的轨迹如图所示，设进入磁场的半径为，则由几何关系得 解得 设粒子在中的运动半径为，则由几何关系得 解得 由 联立解得 16．（2025·青海海东·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy第二象限内存在一理想边界，边界下侧和x轴上侧存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，边界上侧与y轴左侧存在沿x轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在第三、四象限内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，y轴上半轴均匀分布着电荷量为q、质量为m的带正电粒子，带电粒子由静止被电场加速后进入磁场区域，均能垂直穿过x轴，图中P点坐标为（－L，0），不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，求： (1)边界曲线的方程； (2)同一粒子在x轴上、下方运动的轨迹半径之比k； (3)粒子经过P点时的最大速度vm。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子由静止释放的纵坐标为，到达边界时的速度大小为，对应边界上点的坐标为（，），由动能定理得 磁场中做匀速圆周运动的半径为 联立解得 （2）设粒子在轴上方磁场中运动的轨迹半径为，在轴下方磁场中运动的轨迹半径为， 根据洛伦兹力提供向心力有 根据磁感应强度大小关系，解得 （3）当运动轨迹如图所示时， 经过点的粒子速度最大，由几何关系可知粒子在电场中加速运动的位移大小为， 根据匀变速运动速度与位移的关系式有 解得 17．（2025·河北张家口·三模）如图所示，在竖直平面坐标系内的第一、三、四象限存在相同的垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在沿轴负方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的小球从轴上的点以速度大小为、方向与轴正方向成角射入匀强电场，小球到达坐标原点时恰好竖直向下运动。已知重力加速度大小为，磁感应强度大小。求： (1)第二象限的电场强度的大小和、两点间的距离； (2)小球第一次到达最低点时速度的大小； (3)小球过坐标原点后第一次通过轴的位置坐标。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）小球到达坐标原点时恰好竖直向下运动，可知水平速度减为零，则 竖直方向，， 联立解得， （2）小球经过O点时的速度 将该速度分解为水平方向的速度v1，使得该速度受向上的洛伦兹力与重力平衡，则 解得 则另一个分速度为v2=v0 方向与y轴负向成45°角，则粒子可看做是沿x轴正向速度为的匀速运动和以速度v2做匀速圆周运动的合运动，小球第一次到达最低点时速度的大小 （3）圆周运动的半径 粒子再次回到x轴的时间 小球过坐标原点后第一次通过轴的位置坐标 18．（2025·河南·二模）用磁场实现对微观粒子的控制有着广泛的应用，如核磁共振、微流控芯片等。如图所示为一种用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，x轴上方和下方均存在方向垂直直角坐标平面向外的匀强磁场，下方的磁感应强度大小是上方的2倍。某时刻在坐标原点O将相同的带正电粒子同时分别以速度和沿y轴正方向射出。两粒子的质量均为m，电荷量均为q，不计粒子重力及相互作用。 (1)要使两粒子运动轨迹的第1个交点在位置，求x轴上方磁感应强度的大小； (2)若x轴上方磁感应强度大小为B，且整个磁场分布在一个矩形区域内，要使两粒子的运动轨迹在x轴上有个交点，求磁场面积的最小值； (3)若x轴上方磁感应强度大小为，下方磁感应强度大小为，将Q粒子的速度大小变为，方向变为沿y轴负方向，要使两粒子相遇时横坐标最小，求两粒子从O点射出的时间差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力，对P有 对Q有， 解得 运动轨迹如图所示 则 解得 （2）如图所示 若要使两粒子轨迹在x轴上有个交点，则磁场沿x轴方向上的长度至少为 磁场沿y轴方向上的宽度至少为 则磁场的最小面积 （3）由题意，两粒子在x轴上方做圆周运动的半径 在x轴下方做圆周运动的半径 在P粒子第一个半圆上相遇时横坐标最小，其相遇轨迹交点如图中所示的G点，之间距离与之间距离相等，易知 可得 又 解得粒子在x轴上、下方圆周运动的周期分别为 P粒子运动至G点转过圆心角为，所用时间 Q粒子运动至G点，在x轴下方转过圆心角为，在x轴上方转过圆心角为，所用时间 两粒子从O点出发的时间差 解得 19．（2025·重庆·三模）如图所示，空间直角坐标系Oxyz（z轴未画出，正方向垂直于纸面向外）中，xOy平面内半径为R的圆形区域与y轴相切于O点，圆心在处，区域内的匀强磁场沿z轴正方向，磁感应强度为，区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿x轴正方向，电场强度为E，磁感应强度为。xOy平面的第三象限内有一平行于x轴、中点在处的线状粒子发射器，与的连线平行于y轴。粒子发射器可在宽度为的范围内沿y轴正方向发射质量为m，电荷量为，速度大小可调的同种粒子，已知，。则下列说法正确的是（    ） A．若发射速度大小，从点发出的粒子，飞出圆形磁场时速度偏转了30° B．若发射速度大小，在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到的距离为 C．若发射速度大小，则从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与x轴距离最远点的z坐标为 D．若发射速度大小，则从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与x轴距离最远点的z坐标为 【答案】C 【详解】A．当时，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子运动轨迹如图甲所示 由几何关系得 解得 飞出圆形磁场时速度偏转了 B．根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 设从C点进，D点出的粒子在磁场中运动时间最长，则CD为圆形磁场的直径，粒子运动轨迹如图乙所示 可知 由几何关系得 解得 由几何关系得：该粒子的入射位置到的距离 故B错误； CD．由题意得粒子在圆形磁场中的运动半径 发射器最左端发射的粒子运动轨迹如图丙所示 设该粒子运动到O点时其速度方向与x轴正方向夹角为，由几何关系 可得 根据速度的分解有， 由题意得：该粒子的运动可视为沿x轴正方向的匀加速直线运动和垂直于x轴平面内的匀速圆周运动的合运动 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子运动周期为 粒子轨迹上的点与x轴的最远距离为 故C正确，D错误。 故选C。 20．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变． （1）求粒子运动速度的大小v； （2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； （3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t． 【答案】（1）；（2）；（3）A.当时， ，B.当时， 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有： ，解得： 由题可得： 解得； （2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切 由几何关系得dm=d（1+sin60°） 解得 （3）粒子的运动周期 设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则 A.当时，粒子斜向上射出磁场 解得 B.当时，粒子斜向下射出磁场 解得． 21．（2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小均相等；y＞0的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动，速度大小为方向与x轴负方向夹角为重力加速度为g。求： (1)电场强度的大小和磁感应强度的大小； (2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标； (3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）根据受力平衡条件，微粒带正电，有， 解得， （2）微粒进入第三象限后，由受力分析，重力和电场力平衡，故微粒受洛伦兹力做匀速圆周运动，设微粒运动半径为R，由几何关系可得，微粒在第三象限内运动的时间 根据洛伦兹力提供向心力有 周期为 联立解得 微粒离开第三象限时在竖直方向移动的距离为 微粒离开第三象限时的位置坐标为 （3）微粒进入第四象限后速度方向与y轴负方向夹角为45°，根据运动的合成与分解，可以把速度分解到x、y方向，分速度分别为， 根据受力分析，微粒运动可分解为水平方向速度大小为匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动。 与同向时合速度最大，最大速度为 22．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在空间坐标系中坐标平面左侧有水平向右（沿轴正向）的匀强电场，在平面右侧有水平向右的匀强磁场，在点由静止释放一质量为、电荷量为的小球，一段时间后恰经过坐标原点进入到平面右侧。已知，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球经过点时的速度大小为4m/s B．小球所受电场力大小等于重力大小 C．小球运动过程的最大速度为 D．小球在磁场中向下运动的最大距离为1.2m 【答案】C 【详解】AB．小球从P点由静止释放时，所受电场力和重力均为恒力，故小球从P到O做初速度为零的匀加速直线运动，则有 将小球的运动沿x轴、z轴分解，由运动学公式可得， 则小球经过O点时的速度大小， 故AB 错误； C．小球经过O点后瞬间，受重力和洛伦兹力，结合，给小球沿y轴正向和负向各配一大小为v配=4m/s的速度，其中沿y轴正向的速度所对应的洛伦兹力与重力大小相等、方向相反，则小球沿x轴正向以做匀速直线运动，在yOz平面内的运动可看成沿y轴正向、速度大小为v配的匀速直线运动与该平面内以的匀速圆周运动的合运动，到达最低点时的速度最大，为，故C 正确； D．在yOz平面，结合能量守恒可知相对y轴向下运动的最大距离满足 解得，故D错误。 故选C。 23．（2025·湖北·模拟预测）如图甲所示，空间中存在匀强电场与匀强磁场，宽度均为d，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场下边界的P点时恰与下边界相切。 (1)求匀强电场的电场强度大小。 (2)求粒子在电场中运动时间与在磁场中运动时间的比值。 (3)若把该电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点，求粒子到达N点的速度大小和M、N两点间的竖直距离。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的速率为，半径为，在电场中由动能定理有 洛伦兹力充当向心力，有 由几何关系可得 综上可得 （2）粒子在电场中的运动时间为 在磁场中的运动时间为 则 （3）粒子从到的过程中，将某时刻速度进行分解，令水平向右分量为，竖直向下分量为，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为， 设粒子在最低点的速度大小为，的竖直距离为。水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 结合 解得， 24．（2025·山东济宁·模拟预测）现代电子设备常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图，第三象限存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从第三象限中的P点水平射入电场，P点坐标为，从坐标原点O进入第一象限区域。第一象限中为Ⅰ区域，为Ⅱ区域，两区域分布磁感应强度分别为、，方向均垂直纸面向里的匀强磁场。粒子重力忽略不计，，。求 (1)该粒子进入第一象限时的速度v； (2)若从O点进入磁场的粒子恰好不能进入Ⅱ区，求Ⅰ区磁场的大小； (3)若，粒子能到达Ⅱ区处，求的最大值； (4)若撤去Ⅰ、Ⅱ区域的磁场，第一象限充满方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随x方向均匀增大，关系为（已知，k为常数）的非匀强磁场。求粒子从O点运动到离y轴最远位置的过程中，运动轨迹与y轴围成的面积S。 【答案】(1)，方向与x轴夹角为 (2) (3) (4) 【详解】（1）设粒子在电场中加速度为a，到O点运动时间为t，由运动学公式 x轴方向 y轴方向 又 联立解得 所以 设方向与x轴夹角为θ则 可得 （2）粒子恰好不能进入Ⅱ区，则粒子运动轨迹与两磁场分界线相切，由几何关系可知 得 由 得 （3）沿y轴方向由动量定理 可得： 所以最大值为 （4）粒子从O点运动到离y轴最远位置时，x轴方向上分速度为零，x轴方向由动量定理 其中 可得 根据 得 25．（2025·陕西·三模）如图所示，直角坐标系所在的空间内，在的范围内分布着沿轴负方向的匀强电场，在的范围内分布着沿轴负方向的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电的甲粒子在轴上坐标为（0，0，）的点以沿轴正方向的初速度开始运动，并从轴上的点以速度进入磁场，速度的方向与轴正方向的夹角，甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴相距为的位置时与轴的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小； (3)在甲粒子开始运动时，另一与甲粒子相同的乙粒子在的空间中的点（未画出）沿轴正方向以速度开始运动，甲、乙两粒子均在第二次进入磁场后相遇，相遇点处于的空间且在各自轨迹的最低点。求两粒子相遇前乙粒子运动的时间。 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）对甲粒子在电场中由到的过程，由动能定理得 解得 （2）设点的轴坐标为，对甲粒子在电场中由运动到的过程，沿轴方向有 沿轴方向，有 解得 若甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴的距离为的点在轴右侧，轨迹如图中实线a所示，由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 若甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴的距离为的点在轴左侧，轨迹如图中虚线b（图中未画完整）所示，由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 （3）经分析知，当磁场的磁感应强度的大小时，两粒子能在的空间相遇，乙粒子运动的时间即甲粒子运动的时间；甲粒子在电场中运动的时间 甲粒子与乙粒子在磁场中相遇前，两次在磁场中偏转的圆心角分别为240°和120°，故甲粒子在磁场中运动的时间 故两粒子相遇前乙粒子运动的时间 26．（2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy中，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E。质量为m、电荷量为+q的粒子从出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求： (1)带电粒子初速度v₀的大小； (2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置； (3)带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动 联立解得 （2）设粒子第一次进入磁场时的速度为，与轴正方向夹角为，则 粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为，则 解得， ， 由此可知粒子在第一次返回电场前的运动轨迹如图-1所示 由几何关系可知 故粒子第一次从磁场返回电场的位置为 （3）粒子在磁场中运动的时间设为，故 粒子第一次返回电场，做逆向类平抛运动到达点，与粒子从运动到所用时间相同。 由几何关系可知，点在点右侧的位置 此后粒子做相似的运动，每次向右移动，如图-2所示 可知粒子从出发到第二次经过点所用时间，则 解得 27．（2025·广东·模拟预测）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的A点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到A点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，A点到第1次最低点的水平位移。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子经过点时，由几何关系得速度 粒子从点到点，由动能定理得 联立解得 （2）粒子从点到点，由运动学公式有 解得类平抛运动时间 粒子从点到A点，其运动轨迹如图所示。 由抛体运动的规律可得 由几何关系得粒子在区域I中做匀速圆周运动半径 在区域I中运动时间 则粒子从点运动到A点的时间 （3）粒子在区域I中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 如图所示，在A点对粒子由配速法，设对应的洛伦兹力与静电力平衡，则有，方向相反，与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样，粒子进入区域II中的运动可以分解为以方向的匀速直线运动和以速度的匀速圆周运动，静电力等于洛伦兹力 故有 解得 合速度，方向竖直向下 设对应的匀速圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 粒子从点第1次到达最低点的时间 A点到第1次最低点的水平位移 联立解得 28．（2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为x0时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求x0； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 ③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y轴正方向的匀强电场。当d=1m时，求小球在磁场区域运动过程中距x轴的最远距离ym。 【答案】(1)3m/s (2)①2m；②（0≤d≤2m）；③4m 【详解】（1）进入磁场后，小球做匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得 离开挡板时，沿挡板方向速度为 离开挡板时，小球速度大小为 （2）①由题可知，无论d多大，小球都能垂直打在收集板上，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可得 ②小球离开挡板前，根据 解得 则有 小球离开挡板后，根据几何关系有 根据几何关系可得y与d有关系为（0≤d≤2m） ③当d=1m时，离开挡板时，沿挡板方向速度为 离开挡板时，小球速度大小为 根据动能定理有 水平方向，根据动量定理有 联立解得 小球离开挡板前 则最远距离 29．（2025·广东深圳·二模）如图所示，在三维坐标系Oxyz中，的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿y轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　） A．电场强度大小为 B．带电粒子的比荷为 C．第二次经过xOy平面的位置坐标为（a，0，） D．粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为 【答案】AD 【详解】A．电场没有撤去前粒子能做直线运动，则有 解得 故A正确； B．撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间，可知，粒子做半径为的匀速圆周运动，则有 解得带电粒子的比荷为 故B错误； C．结合上述分析可知，第一次经过xOy平面的位置坐标为（a，，0），进入空间后，磁场变为，则粒子做圆周运动的半径为，且向轴负方向偏转，则第二次经过xOy平面的位置坐标为（，，0），故C错误； D．结合上述分析可知，粒子再次进入的空间做圆周运动，沿y轴正方向移动2a后第三次经过平面，此位置坐标为（，，0），则粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为 故D正确。 故选AD。 30．（2025·广西南宁·三模）如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为的A点沿yOz平面发射一质量为m，电荷量为的粒子，粒子的初速度大小为、方向与y轴负方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求： (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间； (3)若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题意可知， 粒子的轨迹如图所示， 由 可得： （2）粒子以水平速度进入区域Ⅱ，粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的轨迹如图所示，在区域Ⅰ中，轨迹的圆心角为120°，对应的时间为： 在区域中，轨迹为半圆，对应的时间为： 得 故： （3）粒子第一次以水平速度进入在区域Ⅱ后，在平行于xoy平面的平面内做匀速圆周运动，在电场力作用下，沿z轴方向做加速度为a的匀加速直线运动，运动时间为，粒子第1次经过平面MNPQ时的速度为，第2次经过平面MNPQ时获得了沿z轴负方向的速度，由牛顿第二定律： 在区域Ⅰ以速度做匀速圆周运动，轨迹如图所示 显然，第3次经过平面MNPQ时沿z轴负方向的速度 再在区域Ⅱ中，在平行于xoy平面的平面内做匀速圆周运动，运动时间仍为 在电场力作用下，沿轴方向做加速度为a的匀加速直线运动 第4次经过平面MMPQ时，沿z轴负方向的速度 第5次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 第6次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 粒子的速度为： 依次类推可知：①当n为偶数时 粒子第n次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 解得： ②当n为奇数时 粒子第n次经过平面MNPQ时，沿z轴负方向的速度 粒子的速度为： 31．（2025·安徽滁州·二模）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1所在空间存在与BD方向平行的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，一质量为m、带电量为+q的带电粒子以一定的速度从A点沿AA1方向射入长方体区域，并恰好从C1点离开该区域。已知AB=AD=l，AA1=，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向由D指向B B．粒子的速度大小为 C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在长方体区域内运动的时间将减小 D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则该电场的电场强度大小为 【答案】BC 【详解】A．带电粒子从A点沿AA1方向射入长方体区域，并恰好从C1点离开该区域，即向斜上方偏转，由左手定则，磁场方向由B指向D，选项A错误； B．粒子在A点受洛伦兹力方向指向C点，粒子又经过C1点，因且 可知粒子做圆周运动的圆心在C点，粒子做圆周运动的轨道半径为 根据 可得粒子的速度大小为 选项B正确； C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子轨道半径变大，粒子在长方体区域内圆弧所对的圆心角减小，根据 可知，粒子运动的时间将减小，选项C正确； D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则需满足 解得该电场的电场强度大小为 选项D错误。 故选BC。 32．（2024·北京·一模）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为，磁感应强度大小为。若电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，不计离子重力，则（　　） A．电场力的瞬时功率不变 B．该离子的加速度大小保持不变 C．该离子受到的洛伦兹力大小为 D．与的比值保持不变 【答案】B 【详解】A．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，根据功率的计算公式可知电场力的瞬时功率为P=Eqv1，可知电场力的瞬时功率增大，故A错误； B．离子受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子的加速度大小不变，方向改变；故B正确。 C．由于v1与磁场B平行，v2与磁场B垂直，离子受到的洛伦兹力为F洛=qv2B，故C错误； D．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，与的比值不断增大，故D错误； 故选B。 33．（2025·吉林松原·模拟预测）如图所示为一中空长方体形管，、、，为管的中轴线，管内分布着沿中轴线方向的匀强电场，电场强度大小为。带电粒子与管内壁发生碰撞时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后沿管壁切向分速度不变，垂直管壁方向分速度大小不变、方向相反。一质量为、电荷量为的带正电粒子以垂直于中轴线方向的速度从点沿轴方向射出，不计粒子的重力。 (1)求带电粒子从点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线（带电粒子仍在长方体形管内）时的速度大小； (2)调整带电粒子的射出方向（仍垂直于）和管内匀强电场的大小，大小未知，发现在管中碰撞次数最少的粒子恰好能从点离开长方体形管，且速度方向与轴成角，求匀强电场的大小和带电粒子在管中与管壁碰撞的次数； (3)在（2）的条件中若将该长方体形管替换为它的外接圆柱体管（图中未画），其他条件不变，若粒子第一次经过中轴线时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁场，磁感应强度大小为，求带电粒子第4次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱形管内）的位置与点之间的距离。 【答案】(1) (2)，6 (3) 【详解】（1）因为粒子与管壁碰撞后沿管壁切向分速度不变，垂直管壁方向分速度大小不变、方向相反，则带电粒子从点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线的过程中，在垂直于中轴线方向上有 在沿中轴线方向上有， 联立解得 （2）在管中碰撞次数最少的粒子一定是面内沿着对角线射出的粒子，因为需要走后才能与管壁相撞，而每一次经过中轴线需要往返，假设粒子在进出中空长方体形管的过程中与管壁碰撞次，在垂直于中轴线方向上有 在沿中轴线方向上有， 粒子在垂直于中轴线的面内的分速度大小始终为，从点离开长方体形管时的速度方向与轴成37°角，则 解得 沿中轴线方向上有 联立解得， （3）长方体形管替换为它的外接圆柱体管，截面半径为 在电场中加速的过程中有，， 联立可得，带电粒子第一次经过中轴线时沿轴线方向前进的距离为， 此后，在垂直于中轴线方向，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得， 粒子从第1次经过中轴线到第4次经过中轴线的过程，垂直中轴线方向的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得，此过程中粒子做圆周运动转过的圆心角为，所用时间为 此过程粒子沿中轴线方向前进的距离为 则带电粒子第四次经过中轴线时的位置与点之间的距离为 34．（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示的三维坐标系中，在y＜0、z＞0的区域Ⅰ内有沿y轴正方向的匀强电场，在y＞0、z＞0的区域Ⅱ内有沿x轴正方向的匀强磁场，在y＞0、z＜0的区域Ⅲ内有沿y轴正方向的匀强电场和匀强磁场，区域Ⅱ、Ⅲ内磁场的磁感应强度大小相等。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带正电粒子自坐标为（0，－d，0）的点沿z轴正方向以大小为的初速度射入区域Ⅰ，恰好从坐标为（0，0，2d）的点进入区域Ⅱ，并从y轴上某点垂直y轴进入区域Ⅲ，经区域Ⅲ偏转后以大小为的速度再次进入区域Ⅱ。不计粒子的重力。求： (1)区域Ⅰ内匀强电场的电场强度大小； (2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小； (3)区域Ⅲ内匀强电场的电场强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，粒子在区域Ⅰ内的运动为类平抛运动，其轨迹如图 由牛顿第二定律定律 由类平抛运动知识， 联立解得 （2）设粒子在点时速度大小为，方向与z轴正方向的夹角为，由运动学知识得， 解得， 粒子在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，其轨迹如图 由洛伦兹力提供向心力 由几何关系知轨迹半径 解得区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小为 （3）粒子在区域Ⅲ内的两个分运动为：垂直yOz平面的匀速圆周运动和沿y轴正方向初速度为零的匀加速直线运动。设粒子离开区域Ⅲ时沿y轴正方向的速度大小为，则粒子在区域Ⅲ中运动时间 由运动学公式 其中 解得区域Ⅲ内电场的电场强度 35．（2025·四川雅安·二模）如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；水平面下方有竖直放置的半径为R的圆筒，圆筒上下表面圆心、处各开有一个小孔，其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度B未知。处于水平面内的粒子源O沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，从处进入圆筒，恰好与筒壁不碰撞，最后从处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q（q<0），粒子源O到圆心的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求    (1)粒子从粒子源射出时的速度大小； (2)粒子在圆筒内旋转的周期T； (3)圆筒高度H满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3……） 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为r，则 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子从处进入圆筒，速度方向与水平方向成30°角，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做匀加速直线运动，有， 粒子恰好与筒壁不发生碰撞，则粒子做圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力有 粒子做圆周运动的周期 解得 （3）粒子在竖直方向做匀加速直线运动，有 运动时间满足（n=1，2，3……） 根据 解得（n=1，2，3……） 36．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标； (3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。 【答案】(1)， (2)（，L， ），（0，L, ） (3)，， 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得   由题可知 联立解得 故粒子圆周运动的周期 （2）粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律   由题可知 联立解得   粒子在垂直z轴的平面上做半径为L的匀速圆周运动如图所示 初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最长   对应z坐标有最大值 由几何知识可得该点x坐标为,其对应的坐标为（，L， ）   初速度沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角方向的粒子打在接收屏上前运动的时间最短 由几何知识可得该点x坐标为0，对应z坐标有最小值   其对应的坐标为（0，L, ） （3）粒子从c点至d点过程，沿y轴方向由动量定理有， 其中 解得   所以d点坐标为   粒子从c点至d点过程，沿z轴方向由动量定理有， 解得 37．（2025·广东湛江·模拟预测）如图所示，半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，其右侧空间一棱长为l的正方体abcd﹣a′b′c′d′区域内存在竖直向上的匀强电场。一电荷量为q、质量为m的带正电的离子（初速度为零，重力不计）经磁场下方电势差为U的电场加速后，由竖直向上指向圆心O的方向射入磁场，经磁场偏转并从圆周上的O1点水平射出后，从正方形add′a′的中心垂直电场方向进入匀强电场区域，最后恰好从b′c′边的中点飞出电场区域。求： (1)离子进入圆形磁场时的速度v的大小； (2)圆形磁场的磁感应强度B的大小； (3)正方体abcd﹣a′b′c′d′内匀强电场场强E的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在加速电场中，由动能定理可得 解得 （2）离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 由几何关系可知 联立解得 （3）离子进入正方体abcd﹣a′b′c′d′匀强电场区域做类平抛运动，垂直电场方向有 沿电场方向有， 联立解得 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第58讲 带电粒子在立体空间中的运动 真题演练 1．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、、均为已知量） (1)电子的比荷; (2)当磁感应强度大小调至时，筒壁上落有电子的区域面积S。 3．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。 （1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能； （2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。 4．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。 5．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。 (1)求粒子所带电荷量q； (2)求磁感应强度B的大小； (3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。 模拟冲关 6．（2025·湖北·二模）匀强磁场B水平向左，一带正电的粒子以速度进入磁场，初速度方向与磁场反方向夹角为，已知粒子质量为m，电荷量为q，忽略粒子重力，粒子运动轨迹如下图所示，则以下说法正确的是（　　） A．螺旋的半径为 B．相邻两螺旋间距为 C．带电粒子在运动时加速度大小不变 D．若带电粒子速度大小不变，方向可以变化，则当夹角满足某一条件时，粒子在一个周期运动轨迹所包围的体积有最大值 7．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第三象限内，区域I（x<-L）内有方向垂直xOy平面向外的匀强磁场；区域II（-L<x<0）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从点a（-2L，-2L）沿y轴正方向、以大小为v0的初速度开始运动，从点b（-L，-L）沿x轴正方向进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小B2与横坐标x满足B2=kx（k为大于0的常量）。不计粒子重力，求： (1)区域I内匀强磁场磁感应强度B1的大小； (2)区域II内匀强电场场强E的大小； (3)该粒子在第一象限内运动过程中与y轴的最大距离。 8．（2025·辽宁·三模）质谱仪是用来分离和检测同位素的科学仪器。某种质谱仪的原理如下图，加速电场的电压为；速度选择器中磁感应强度为，两板电压为，两板间距离为；磁分析器在坐标系的第一、四象限中，其匀强磁场的磁感应强度为，各磁场方向如图中所示。一电荷量为的粒子从容器右侧小孔进入加速电场，恰能沿直线运动通过速度选择器，从小孔出来后，进入磁分析器中偏转，轨迹如图中虚线所示，到达轴上点时纵坐标为，不计粒子重力，整个装置处于真空中，求∶ (1)粒子经过小孔的速度； (2)粒子的质量和刚进入加速电场时的初速度； (3)粒子沿直线通过速度选择器后，若由于磁分析器漏气，粒子在磁分析器中受到与速率大小成正比的阻力，轨迹如实线所示，其运动到点时速度方向刚好沿轴正向，则粒子所受阻力与速率的比值是多少？ 9．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标； (2)电场强度与磁感应强度的比值； (3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。 10．（2025·重庆·三模）如题图所示，在平面第一象限内，直线与直线之间存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场轴下方有一直线CD与轴平行且与x轴相距为轴与直线CD之间（包含x轴）存在沿y轴正方向的匀强电场；在第三象限，直线CD与直线之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为的平行电子束，如图，沿y轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y轴的距离也为，经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入轴下方的电场，最后所有电子都垂直于边界离开磁场。已知：电子质量为，电量大小为e，电场强度大小为。求： (1)电子进入轴上方磁场前的最大速度v1的大小； (2)直线的方程； (3)现将第一象限的磁场反向（即垂直纸面向外），大小不变。并将第三象限的磁场去掉，同时在第四象限直线CD的下方，以CD为上边界，右边和下边广阔，左边受限，加上一大小为，(未知）垂直纸面向里的匀强磁场，确保所有电子都汇集到同一点（-8a，-5a），求第四象限所加磁场的大小及磁场左边界满足的关系。 11．（2025·山东济南·二模）如图所示的坐标平面内，的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的两个带正电粒子和，均以相同大小的速率从点分别沿轴正向和轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求 (1)粒子分别在和的区域内运动时的半径之比和周期之比； (2)两粒子运动轨迹交点的坐标； (3)以两粒子在点开始运动时为时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。 12．（2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，π=3，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时间（计算结果保留1位有效数字）； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度应满足的条件。 13．（2025·江西·模拟预测）如图所示，为一离子源，为荧光屏。由到做垂线，垂足为，，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。某时刻离子源一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为，电荷量都为，速率均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。 (1)若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围。 (2)若荧光屏足够大，当离子的速率时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差。 (3)若荧光屏足够大，当离子的速率时，求荧光屏上被离子打中的区域长度。 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 15．（2025·广东·模拟预测）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，在平面的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场；第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场点位于轴负半轴上，在处放有可以接收粒子的接收板，其长度为，厚度不计。在第三和第四象限区域内存在两个匀强磁场，以坐标原点为圆心，半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场；剩余区域的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。某一带正电粒子（已知荷质比为）从轴上的点以速度大小射入电场，与轴负方向的夹角为，该粒子经电场偏转后，以垂直于轴的方向从轴上的点进入第二象限。已知长度为，不计粒子重力，计算结果可保留根号。（仅为已知值） (1)求该粒子在第一象限中运动的时间和电场强度的大小； (2)要使该粒子从第二象限射出时被接收板接收，求磁场的取值范围； (3)若，粒子进入第三和第四象限后，仅进出一次磁场，且经过磁场边界时速度方向与边界线垂直，最终回到点，求磁场和的大小之比。 16．（2025·青海海东·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy第二象限内存在一理想边界，边界下侧和x轴上侧存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，边界上侧与y轴左侧存在沿x轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在第三、四象限内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，y轴上半轴均匀分布着电荷量为q、质量为m的带正电粒子，带电粒子由静止被电场加速后进入磁场区域，均能垂直穿过x轴，图中P点坐标为（－L，0），不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，求： (1)边界曲线的方程； (2)同一粒子在x轴上、下方运动的轨迹半径之比k； (3)粒子经过P点时的最大速度vm。 17．（2025·河北张家口·三模）如图所示，在竖直平面坐标系内的第一、三、四象限存在相同的垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在沿轴负方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的小球从轴上的点以速度大小为、方向与轴正方向成角射入匀强电场，小球到达坐标原点时恰好竖直向下运动。已知重力加速度大小为，磁感应强度大小。求： (1)第二象限的电场强度的大小和、两点间的距离； (2)小球第一次到达最低点时速度的大小； (3)小球过坐标原点后第一次通过轴的位置坐标。 18．（2025·河南·二模）用磁场实现对微观粒子的控制有着广泛的应用，如核磁共振、微流控芯片等。如图所示为一种用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，x轴上方和下方均存在方向垂直直角坐标平面向外的匀强磁场，下方的磁感应强度大小是上方的2倍。某时刻在坐标原点O将相同的带正电粒子同时分别以速度和沿y轴正方向射出。两粒子的质量均为m，电荷量均为q，不计粒子重力及相互作用。 (1)要使两粒子运动轨迹的第1个交点在位置，求x轴上方磁感应强度的大小； (2)若x轴上方磁感应强度大小为B，且整个磁场分布在一个矩形区域内，要使两粒子的运动轨迹在x轴上有个交点，求磁场面积的最小值； (3)若x轴上方磁感应强度大小为，下方磁感应强度大小为，将Q粒子的速度大小变为，方向变为沿y轴负方向，要使两粒子相遇时横坐标最小，求两粒子从O点射出的时间差。 19．（2025·重庆·三模）如图所示，空间直角坐标系Oxyz（z轴未画出，正方向垂直于纸面向外）中，xOy平面内半径为R的圆形区域与y轴相切于O点，圆心在处，区域内的匀强磁场沿z轴正方向，磁感应强度为，区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿x轴正方向，电场强度为E，磁感应强度为。xOy平面的第三象限内有一平行于x轴、中点在处的线状粒子发射器，与的连线平行于y轴。粒子发射器可在宽度为的范围内沿y轴正方向发射质量为m，电荷量为，速度大小可调的同种粒子，已知，。则下列说法正确的是（    ） A．若发射速度大小，从点发出的粒子，飞出圆形磁场时速度偏转了30° B．若发射速度大小，在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到的距离为 C．若发射速度大小，则从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与x轴距离最远点的z坐标为 D．若发射速度大小，则从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与x轴距离最远点的z坐标为 20．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变． （1）求粒子运动速度的大小v； （2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； （3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t． 21．（2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小均相等；y＞0的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动，速度大小为方向与x轴负方向夹角为重力加速度为g。求： (1)电场强度的大小和磁感应强度的大小； (2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标； (3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。 22．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在空间坐标系中坐标平面左侧有水平向右（沿轴正向）的匀强电场，在平面右侧有水平向右的匀强磁场，在点由静止释放一质量为、电荷量为的小球，一段时间后恰经过坐标原点进入到平面右侧。已知，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球经过点时的速度大小为4m/s B．小球所受电场力大小等于重力大小 C．小球运动过程的最大速度为 D．小球在磁场中向下运动的最大距离为1.2m 23．（2025·湖北·模拟预测）如图甲所示，空间中存在匀强电场与匀强磁场，宽度均为d，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场下边界的P点时恰与下边界相切。 (1)求匀强电场的电场强度大小。 (2)求粒子在电场中运动时间与在磁场中运动时间的比值。 (3)若把该电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点，求粒子到达N点的速度大小和M、N两点间的竖直距离。 24．（2025·山东济宁·模拟预测）现代电子设备常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图，第三象限存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从第三象限中的P点水平射入电场，P点坐标为，从坐标原点O进入第一象限区域。第一象限中为Ⅰ区域，为Ⅱ区域，两区域分布磁感应强度分别为、，方向均垂直纸面向里的匀强磁场。粒子重力忽略不计，，。求 (1)该粒子进入第一象限时的速度v； (2)若从O点进入磁场的粒子恰好不能进入Ⅱ区，求Ⅰ区磁场的大小； (3)若，粒子能到达Ⅱ区处，求的最大值； (4)若撤去Ⅰ、Ⅱ区域的磁场，第一象限充满方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随x方向均匀增大，关系为（已知，k为常数）的非匀强磁场。求粒子从O点运动到离y轴最远位置的过程中，运动轨迹与y轴围成的面积S。 25．（2025·陕西·三模）如图所示，直角坐标系所在的空间内，在的范围内分布着沿轴负方向的匀强电场，在的范围内分布着沿轴负方向的匀强磁场。质量为、电荷量为的带正电的甲粒子在轴上坐标为（0，0，）的点以沿轴正方向的初速度开始运动，并从轴上的点以速度进入磁场，速度的方向与轴正方向的夹角，甲粒子从磁场第一次回到电场并运动到与轴相距为的位置时与轴的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小； (3)在甲粒子开始运动时，另一与甲粒子相同的乙粒子在的空间中的点（未画出）沿轴正方向以速度开始运动，甲、乙两粒子均在第二次进入磁场后相遇，相遇点处于的空间且在各自轨迹的最低点。求两粒子相遇前乙粒子运动的时间。 26．（2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy中，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度区域内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E。质量为m、电荷量为+q的粒子从出发，初速度方向沿x轴正方向，经过一段时间后从b（2L，0）处第一次进入磁场。粒子运动过程中，只考虑其受到电场和磁场的作用力。求： (1)带电粒子初速度v₀的大小； (2)带电粒子第一次从磁场返回电场的位置； (3)带电粒子从出发到第二次经过b点所用时间。 27．（2025·广东·模拟预测）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域I和区域II，区域I存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域II存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域I，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域I后由分界线上的A点（图中未画出）垂直分界线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到A点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，A点到第1次最低点的水平位移。 28．（2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为x0时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求x0； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 ③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y轴正方向的匀强电场。当d=1m时，求小球在磁场区域运动过程中距x轴的最远距离ym。 29．（2025·广东深圳·二模）如图所示，在三维坐标系Oxyz中，的空间同时存在沿z轴负方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场I，磁感应强度大小为，在的空间存在沿y轴正方向的匀强磁场II，磁感应强度大小为。带正电的粒子从M（a，0，）点以速度沿y轴正方向射出，恰好做直线运动。现撤去电场，继续发射该带电粒子，恰好垂直xOy平面进入空间。不计粒子重力，正确的说法是（　　） A．电场强度大小为 B．带电粒子的比荷为 C．第二次经过xOy平面的位置坐标为（a，0，） D．粒子第三次经过xOy平面的位置与O点距离为 30．（2025·广西南宁·三模）如图所示，在空间直角坐标系中，无限大平面MNPQ（与y轴垂直且交于C点）左侧区域Ⅰ存在沿x轴正方向的匀强磁场，，右侧区域Ⅱ存在沿z轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；现从坐标为的A点沿yOz平面发射一质量为m，电荷量为的粒子，粒子的初速度大小为、方向与y轴负方向的夹角为60°，经一段时间后粒子恰好垂直于平面MNPQ进入区域Ⅱ，不计粒子的重力，求： (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子从A点出发至第2次到达平面MNPQ的时间； (3)若在区域Ⅱ加一电场强度为E、方向沿z轴负方向的匀强电场，求粒子从A点出发后第n次经过平面MNPQ时的速度大小。 31．（2025·安徽滁州·二模）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1所在空间存在与BD方向平行的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，一质量为m、带电量为+q的带电粒子以一定的速度从A点沿AA1方向射入长方体区域，并恰好从C1点离开该区域。已知AB=AD=l，AA1=，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁场方向由D指向B B．粒子的速度大小为 C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在长方体区域内运动的时间将减小 D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则该电场的电场强度大小为 32．（2024·北京·一模）2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为，磁感应强度大小为。若电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，不计离子重力，则（　　） A．电场力的瞬时功率不变 B．该离子的加速度大小保持不变 C．该离子受到的洛伦兹力大小为 D．与的比值保持不变 33．（2025·吉林松原·模拟预测）如图所示为一中空长方体形管，、、，为管的中轴线，管内分布着沿中轴线方向的匀强电场，电场强度大小为。带电粒子与管内壁发生碰撞时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后沿管壁切向分速度不变，垂直管壁方向分速度大小不变、方向相反。一质量为、电荷量为的带正电粒子以垂直于中轴线方向的速度从点沿轴方向射出，不计粒子的重力。 (1)求带电粒子从点出发与管壁发生碰撞后第一次经过中轴线（带电粒子仍在长方体形管内）时的速度大小； (2)调整带电粒子的射出方向（仍垂直于）和管内匀强电场的大小，大小未知，发现在管中碰撞次数最少的粒子恰好能从点离开长方体形管，且速度方向与轴成角，求匀强电场的大小和带电粒子在管中与管壁碰撞的次数； (3)在（2）的条件中若将该长方体形管替换为它的外接圆柱体管（图中未画），其他条件不变，若粒子第一次经过中轴线时撤去电场，并立即换成与电场方向相同的匀强磁场，磁感应强度大小为，求带电粒子第4次经过中轴线时（带电粒子仍在圆柱形管内）的位置与点之间的距离。 34．（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示的三维坐标系中，在y＜0、z＞0的区域Ⅰ内有沿y轴正方向的匀强电场，在y＞0、z＞0的区域Ⅱ内有沿x轴正方向的匀强磁场，在y＞0、z＜0的区域Ⅲ内有沿y轴正方向的匀强电场和匀强磁场，区域Ⅱ、Ⅲ内磁场的磁感应强度大小相等。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带正电粒子自坐标为（0，－d，0）的点沿z轴正方向以大小为的初速度射入区域Ⅰ，恰好从坐标为（0，0，2d）的点进入区域Ⅱ，并从y轴上某点垂直y轴进入区域Ⅲ，经区域Ⅲ偏转后以大小为的速度再次进入区域Ⅱ。不计粒子的重力。求： (1)区域Ⅰ内匀强电场的电场强度大小； (2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度大小； (3)区域Ⅲ内匀强电场的电场强度大小。 35．（2025·四川雅安·二模）如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；水平面下方有竖直放置的半径为R的圆筒，圆筒上下表面圆心、处各开有一个小孔，其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度B未知。处于水平面内的粒子源O沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，从处进入圆筒，恰好与筒壁不碰撞，最后从处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q（q<0），粒子源O到圆心的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求    (1)粒子从粒子源射出时的速度大小； (2)粒子在圆筒内旋转的周期T； (3)圆筒高度H满足的条件。 36．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，空间直角坐标系中有一与面平行的界面将空间分为、两个区域，界面与轴交点的坐标为（0，L，0）且界面上有一足够大的接收屏。在点存在一粒子发射源，仅在面内向各个方向均匀发射速度大小为、电荷量为、质量为的带正电粒子。区域存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子在区域做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若在区域再加一个沿轴正方向电场强度大小为的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上坐标最大值点和坐标最小值点的空间坐标； (3)若点发射源只向轴负方向发射该种粒子，并撤去接收屏，粒子从界面上点（未画出）进入区域II，区域II存在沿轴负方向、磁感应强度大小也为的匀强磁场，且粒子在区域运动时还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为（为常量）。粒子进入区域II后速度方向第一次沿轴正方向时达到点（未画出），点的坐标为，求点的坐标、坐标和粒子在点的速度大小。 37．（2025·广东湛江·模拟预测）如图所示，半径为r的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，其右侧空间一棱长为l的正方体abcd﹣a′b′c′d′区域内存在竖直向上的匀强电场。一电荷量为q、质量为m的带正电的离子（初速度为零，重力不计）经磁场下方电势差为U的电场加速后，由竖直向上指向圆心O的方向射入磁场，经磁场偏转并从圆周上的O1点水平射出后，从正方形add′a′的中心垂直电场方向进入匀强电场区域，最后恰好从b′c′边的中点飞出电场区域。求： (1)离子进入圆形磁场时的速度v的大小； (2)圆形磁场的磁感应强度B的大小； (3)正方体abcd﹣a′b′c′d′内匀强电场场强E的大小。 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$