第56讲 带电粒子在复合场中的运动-【精练】2026高考物理一轮复习

第56讲 带电粒子在复合场中的运动 真题演练 1．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 2．（2025·福建·高考真题）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为,则（　　） A．电场强度为 B．磁场强度为 C．NP两点的电势差为 D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为 3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 (2)若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 (3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 4．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 5．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 模拟冲关 6．（2025·天津·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙。在t=0时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于序号为0的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1间的狭缝电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1内做匀速直线运动。每次电子在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变电源电压的绝对值为，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力及其他因素的影响。 (1)求电子进入漂移管1时的速度v1的大小； (2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，求第n个漂移管的长度； (3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L的正方体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度和磁感应强度均为0时，电子恰好沿O'O射到目标平面中心O点处（O点和偏移器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间内穿过偏移器，打在目标平面上（）处，求偏移器中电场强度E和磁感应强度B的大小。（当α很小时，有） 7．（2025·重庆·模拟预测）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在范围内存在竖直向下的匀强电场，在范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（    ） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 8．（2025·江苏南通·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限有沿+x轴方向的匀强电场，在第三、四象限有宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外，长度为d的荧光屏MN与x轴垂直，下端在x轴上.一质量为m、电荷量为+q的粒子从点P（0，d）沿-y轴运动，初速度大小为v0，经电场偏转后从点Q（，0）进入磁场，并垂直于磁场的下边界离开磁场.已知P点到MN的距离，不计粒子重力。 (1)求电场强度大小E； (2)求磁感应强度大小B； (3)在匀强磁场下方所有区域再加一垂直于坐标平面的匀强磁场，要使粒子能打到MN上，求所加磁场的磁感应强度B′所满足的条件。 9．（2025高三·天津·专题练习）如图所示，在直角坐标系中，x轴下方存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，在x轴上方，0<y≤L的范围内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ，在L<y≤2L的范围内存在垂直于纸面向里，磁感应强度大小也为的匀强磁场区域Ⅱ。有一质量为m，电荷量为+q的带电粒子从y轴负半轴上某点P静止释放，恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求释放点P的坐标； (2)若磁场区域Ⅰ的磁感应强度变为，仍从P点静止释放该粒子，求粒子从释放到离开磁场的时间； 10．（2025·浙江·二模）芯片制造工艺中，离子注入控制是一道重要的工序。某技术人员利用电磁场设计一种方案简要如图所示，从离子源产生的离子（初速度不计）经匀强电场加速U0后，沿中轴线飞入平行金属板A、B，之后经需要先后进入由电流控制磁场的半径为r（较小）的圆形边界匀强磁场Bx和足够大的匀强磁场By，两磁场的磁感应强度分别由相应的电流Ix和Iy大小和方向控制，磁感应强度与电流关系满足B=kI，k为常数，忽略边缘效应，以平行极板中心O为坐标原点，建立O-xyz坐标系（垂直纸面向外为z轴正方向），平行极板长为L1，间距为d，圆形边界在YOZ平面内的匀强磁场BX的圆心坐标（0，L2，0），待制造芯片放置位置中心坐标（0，L3，0）。已知离子电量为+q、质量为m。 (1)若Ix=Iy=0时，离子恰好打到（R， L3， O） 点，求UAB的值； (2)若UAB=0， Iy =0时，控制离子恰好打到（0，L3，R）点，求Ix的值； (3)若UAB=0，Ix为某值时，离子经圆形磁场偏转角进入By磁场，试导出离子打到芯片上位置 （x，y，z） 与Iy的关系式（设离子转动不到90°）。 11．（2025·山东威海·三模）如图甲所示，三维空间中，的空间存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为，（未知）处存在平行于的无限大界面；界面与间存在沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为；界面左侧空间存在周期性变化的磁场，变化规律如图乙所示，沿轴负方向为磁场的正方向，磁感应强度大小也为。质量为，电荷量为的带电粒子，从某位置沿轴负方向射入，经过点时的速度大小为，方向与轴负半轴的夹角为；当粒子到达界面时，速度方向平行于平面，该时刻为周期性变化磁场的计时起点；在（未知）时粒子的速度方向沿轴负方向，不计粒子重力。求： (1)粒子在间运动的轨迹方程； (2)的可能值； (3)的值。 12．（2025·河南·三模）如图所示，纸面内ACD区域由直角三角形ACO和四分之一圆AOD组成，，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，空间存在平行于纸面向左的匀强电场（图中未画出），O点为一粒子源，沿OA方向不断射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子恰能做直线运动，粒子的速度大小均为，仅撤去电场，粒子恰能从圆弧AD的中点射出磁场；OA长为L，不计粒子的重力及粒子间的相互影响，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)若仅撤去磁场，则粒子运动的加速度大小。 13．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。 (1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域： （ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离； （ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。 14．（2025·安徽·三模）如图所示，在Oxy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，；在，的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，由左向右分为间距均为d0（d0未知）的n（n为整数且未知）份，各区域磁感应强度大小依次为B、2B、…、nB，，。一带正电的粒子从坐标原点沿与x轴正方向成角射入，在坐标为（4d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，恰能达到磁场右侧边界x4。已知整个装置处于真空中，粒子的比荷，不计粒子重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)匀强电场右边界横坐标x2的值； (3)d0的大小。 15．（2025·新疆省直辖县级单位·二模）真空中的平面直角坐标系xOy的第一象限内存在沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，其余象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。如图所示，一质量为m、电荷量为（）的带电粒子，从y轴上的P点以一定的速度平行于x轴射入第一象限，然后从x轴上的Q点进入磁场，恰好能回到P点。已知，，不计粒子受到的重力。求： (1)粒子射入匀强电场时的初动能； (2)粒子回到P点时的速度大小v； (3)匀强磁场的磁感应强度大小B。 16．（2025·海南省直辖县级单位·二模）竖直平面内水平虚线上方有方向水平向左的匀强电场。虚线下方高度为H的区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场，虚线上、下方的电场强度大小相等。将质量为m、电荷量为＋q的小球从a点以初速度v0竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图所示，a、c两点在虚线上，b点为轨迹的最高点。小球从c点进入虚线下方区域做匀速圆周运动且恰好不出下边界。不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)小球运动到b点的时间t及小球经过c点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。 17．（2025·广西北海·模拟预测）如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）； (2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小； (3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。 18．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，两带电平行金属板MN、PQ竖直放置，两板板长与两板间的距离相等，两板间存在有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）。在金属板PQ的右侧与两板上边缘平齐的边界虚线QF下方同时存在有垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电微粒以速度v0、沿两金属板对角线从MN板下边缘进入两板间，之后做匀速直线运动，恰好从PQ板上边缘离开，经一段时间带电微粒进入QF下方的复合场中做匀速圆周运动，且带电微粒在复合场中运动轨迹的最左端与进入复合场前的最高点在同一竖直线上。重力加速度为g。忽略空气阻力，求： (1)两金属板间磁场的磁感应强度大小B0； (2)复合场中电场强度大小E1和磁感应强度大小B1； (3)若在复合场内放置一个竖直挡板，位置可调，若带电微粒垂直击中挡板，求挡板到PQ板的水平距离。 19．（2025·全国·模拟预测）如图甲所示，有一空间直角坐标系，轴沿竖直方向。在空间内存在一沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B（B未知），在的范围内存在一以轴为对称轴、磁感应强度大小为、方向平行于轴的柱形磁场区域，其方向变化如图乙所示的磁场，时磁感应强度方向沿轴负方向。时刻一电荷量为、质量为的带电小球从平面处的P点由静止释放，经过点时其速度方向刚好沿轴的正方向。不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求小球到达点的速度大小以及磁感应强度B的大小。 (2)若小球刚进入轴下方的磁场区域的时刻为，经过一段时间后小球刚好第一次回到轴上的某点而没有离开磁场区域。求轴下方磁场区域的半径。 20．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在三维直角坐标系中，平面左侧区域有沿着y轴正方向的匀强电场，平面右侧有一个垂直于y轴的足够大荧光屏，平面与荧光屏之间的区域有沿着y轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y轴交点位置的坐标为。一质量为m、电荷量为的粒子从坐标为的P点以大小为的初速度沿z轴负方向射出，经电场偏转后从O点进入磁场，粒子再次经过y轴的位置离O点距离为d，最终打在荧光屏上，不计粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)粒子打在荧光屏上的位置坐标； (3)若在平面与荧光屏之间的区域再加上一平行于y轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。 21．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标； (2)电场强度与磁感应强度的比值； (3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。 22．（2025·四川遂宁·模拟预测）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴OO1经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，， (1)离子的电荷量； (2)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离轴线OO1的距离； (3)离子以（2）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直O2O3轴线且匀速旋转的匀强电场E2使离子加速。稳定后离子在垂直O2O3轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。 ①为保证离子不接触芯片，求芯片距离O2的最小距离； ②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。 23．（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系中，轴竖直，、A两点间的距离为，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带负电小球从A点以大小，（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的点。已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小以及第三象限内磁场的磁感应强度大小； (2)求小球从通过点（第一次通过轴）到第三次通过轴所用的时间及其在第四象限内运动的过程中到轴的最大距离； (3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从、A两点连线的延长线上的点（图中未画出）以大小的初速度沿方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求两点间的距离应满足的条件。 24．（2025·河南·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第二、三象限有沿轴正方向的匀强电场，第一、四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为、带电荷量为的粒子从轴上的点，以速度平行于轴正向开始运动，粒子第一次进入磁场时恰好经过轴上的点。已知点坐标为，点坐标为，不计粒子重力。 (1)求匀强电场场强的大小； (2)求粒子刚进入磁场时的速度大小； (3)如果粒子第一次经过轴后能再次经过点，求磁感应强度的大小。 25．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第一象限空间存在垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、为已知量）；第二象限空间存在沿方向、场强大小为的匀强电场，和磁感应强度大小为、垂直平面向里的匀强磁场；第三象限存在方向和大小未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为、电荷量为的带电粒子，从轴上的点沿纸面以与方向夹角的初速度射入第三象限的匀强电场，并从原点射入第一象限，过点的速度方向与方向夹角为。不计粒子重力，求： (1)第三象限电场强度的大小和方向； (2)粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积S； (3)若，粒子在第二象限运动过程中的最大速度（结果用含的式子表示）。 26．（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 27．（2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小均相等；y＞0的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动，速度大小为方向与x轴负方向夹角为重力加速度为g。求： (1)电场强度的大小和磁感应强度的大小； (2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标； (3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。 28．（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 29．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，在xOy坐标系第二象限有一个半径为R的圆形区域，圆心为C，圆形边界分别与x轴、y轴相切于M、N两点。圆形区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场。在M点放置一粒子源，粒子源可向磁场中各个方向发射速率均为的同种带正电粒子，其中沿MC方向射入磁场的粒子恰好从N点进入电场，后从x轴上的P点离开电场。已知磁感应强度大小为B，电场强度大小。不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．带电粒子的比荷为 B．P点与坐标原点O的距离为 C．粒子运动至P点时的速度大小为 D．x正半轴上有粒子经过的范围长度为2R 30．（2025·山东聊城·三模）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系中，的区域内存在与轴负方向夹角为30°的匀强电场，在的空间存在沿轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在的空间还存在沿轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t的变化规律如图乙所示。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，从静止出发经过加速电压U后，从A点（未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间。已知粒子第一次经过О点时记为时刻，粒子在时间内恰好可以在与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，且在时间内能达到的坐标最大值的绝对值与A点相同，规定磁场方向沿轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中未知。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)的大小； (3)时刻粒子的位置坐标。 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第56讲 带电粒子在复合场中的运动 真题演练 1．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故 其中 则该粒子通过速度选择器的速率为 （2）粒子在区域内左匀速圆周运动，从ON的中点垂直ON射入磁屏蔽区域，由几何关系可知 由洛伦兹力提供给向心力 联立可得 由于，根据洛伦兹力提供给向心力 解得 当时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 可得 故粒子打在y轴3L处，综上所述y轴上可能检测到该粒子的范围为。 （3）若在Q处检测到该粒子，如图 由几何关系可知 解得 由洛伦兹力提供向心力 联立解得 其中 根据磁屏蔽效率可得若在Q处检测到该粒子，则 2．（2025·福建·高考真题）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为,则（　　） A．电场强度为 B．磁场强度为 C．NP两点的电势差为 D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为 【答案】BC 【详解】AB、带电体在复合场中能沿着做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。 由受力平衡可知 解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。 C、在点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。 且加速度 粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度角的正切值 所以粒子在点的速度 到过程，由动能定理，有 解得两点间的电势差，C正确； D、将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且 故粒子能向上运动的最大距离 D错误； 故选BC。 3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 (2)若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 (3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示 由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力 解得正电荷的入射速度大小为 正电荷在磁场中运动的周期为 所以正电荷从M运动到N的时间为 （2）由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中 解得或（舍去） （3）在（2）的条件下，由题意可知，粒子从N点离开，仅在点电荷的作用下运动，粒子所需要的向心力大于点电荷提供的库仑力，因此粒子无法做匀速圆周运动，即正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示 由能量守恒定律得 由开普勒第二定律可知 其中 联立解得 由牛顿第二定律 解得 故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为 4．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为 间的距离为 由几何关系可得 则 粒子在磁场中的运动时间为 则有 综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 5．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【详解】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知 即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则 解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则 解得 其中 可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 其中， 可得，故D正确。 故选AD。 模拟冲关 6．（2025·天津·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙。在t=0时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于序号为0的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1间的狭缝电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1内做匀速直线运动。每次电子在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变电源电压的绝对值为，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力及其他因素的影响。 (1)求电子进入漂移管1时的速度v1的大小； (2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，求第n个漂移管的长度； (3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L的正方体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度和磁感应强度均为0时，电子恰好沿O'O射到目标平面中心O点处（O点和偏移器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间内穿过偏移器，打在目标平面上（）处，求偏移器中电场强度E和磁感应强度B的大小。（当α很小时，有） 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）电子在第n节漂移管内的运动时间为 设电子在第n节漂移管内的运动速度为，有 解得 故第n节漂移管长度为 （3）设电子进入偏移器时速度为v，则在偏移器内，由于电场引起的速度增量对y轴方向的运动不产生影响，y轴方向上相当于只考虑磁场存在，设电子进入磁场后做圆周运动半径为，如图 根据洛伦兹力提供向心力 解得 又有 经过磁场后，电子在y轴方向偏移距离 离开磁场后，电子在y轴方向偏移距离 则有 可得 又 解得 根据运动的分解，只考虑电场存在时 x轴方向加速度为 飞行时间为 又，解得 离开偏移器时x轴方向获得的速度为 经过电场后，电子在x轴方向偏移的距离和偏移角的正切为、 离开电场后，电子在x轴方向偏移的距离 则有 可得 又 得 7．（2025·重庆·模拟预测）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在范围内存在竖直向下的匀强电场，在范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（    ） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 【答案】D 【详解】AB．粒子经过T时间到达(R，0)位置，由此可知，粒子在磁场中的圆周运动的半径 由 解得 粒子进入匀强电场中先匀减速运动，后匀加速运动，运动过程中加速度不变，故由动量定理可知： 解得 磁场的大小和电场的大小的比值为，AB错误； CD．粒子运动一个周期需要在磁场中完成4个半圆，在电场中完成两个匀减速和两个匀加速运动，在电场中匀加速运动的过程中，由动能定理可得： 解得 半个圆周运动的路程 故一个周期运动的轨迹长度 C错误，D正确。 故选D。 8．（2025·江苏南通·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限有沿+x轴方向的匀强电场，在第三、四象限有宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外，长度为d的荧光屏MN与x轴垂直，下端在x轴上.一质量为m、电荷量为+q的粒子从点P（0，d）沿-y轴运动，初速度大小为v0，经电场偏转后从点Q（，0）进入磁场，并垂直于磁场的下边界离开磁场.已知P点到MN的距离，不计粒子重力。 (1)求电场强度大小E； (2)求磁感应强度大小B； (3)在匀强磁场下方所有区域再加一垂直于坐标平面的匀强磁场，要使粒子能打到MN上，求所加磁场的磁感应强度B′所满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)，方向垂直于平面向内或向外。 【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，在-y方向有 +x方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子经过Q点时+x方向的分速度 则合速度大小 设粒子vQ与x轴的夹角为，有 几何关系 半径 解得 （3）粒子经两磁场偏转到回到x轴时速度大小不变，方向与+x轴的夹角为θ且斜向右上方，做类斜抛运动，粒子如果能够打到M点，则+y方向 +x方向 解得 ①若所加磁场垂直于平面向内，且粒子恰能到达N点，几何关系 解得 又因为在磁场中半径 联立解得 若，粒子回到x轴时的位置与MN间的距离打在屏上，则所加磁场垂直于平面向内，且时粒子能打到MN上； ②若所加磁场垂直于平面向外，且粒子恰能到达M点，几何关系 解得 同理 若，粒子回到x轴时的位置与MN间的距离也为打在屏上，则所加磁场垂直于平面向外，且时粒子能打到MN上，总之要使粒子能打到MN上，磁感应强度，方向垂直于平面向内或向外均可。 9．（2025高三·天津·专题练习）如图所示，在直角坐标系中，x轴下方存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，在x轴上方，0<y≤L的范围内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ，在L<y≤2L的范围内存在垂直于纸面向里，磁感应强度大小也为的匀强磁场区域Ⅱ。有一质量为m，电荷量为+q的带电粒子从y轴负半轴上某点P静止释放，恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。 (1)求释放点P的坐标； (2)若磁场区域Ⅰ的磁感应强度变为，仍从P点静止释放该粒子，求粒子从释放到离开磁场的时间； 【答案】(1)（0，） (2) 【详解】（1）粒子在电场中运动的过程中，由动能定理得 粒子在磁场区域Ⅰ中运动，恰不进入磁场区域Ⅱ，由几何关系得 由牛顿第二定律得 联立解得 故P点的坐标为（0，）。 （2）粒子在电场中，由动量定理得 解得 粒子在磁场区域Ⅰ中，由牛顿第二定律得 解得 由几何关系得 解得 粒子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的周期 粒子在磁场区域Ⅰ中运动的时间 在磁场区域Ⅱ中，粒子做圆周运动的半径为r，设粒子射出磁场区域Ⅱ时的半径与上边界的夹角为α，根据几何关系得 解得 粒子在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的周期 在磁场区域Ⅱ中运动时间 总时间 解得 10．（2025·浙江·二模）芯片制造工艺中，离子注入控制是一道重要的工序。某技术人员利用电磁场设计一种方案简要如图所示，从离子源产生的离子（初速度不计）经匀强电场加速U0后，沿中轴线飞入平行金属板A、B，之后经需要先后进入由电流控制磁场的半径为r（较小）的圆形边界匀强磁场Bx和足够大的匀强磁场By，两磁场的磁感应强度分别由相应的电流Ix和Iy大小和方向控制，磁感应强度与电流关系满足B=kI，k为常数，忽略边缘效应，以平行极板中心O为坐标原点，建立O-xyz坐标系（垂直纸面向外为z轴正方向），平行极板长为L1，间距为d，圆形边界在YOZ平面内的匀强磁场BX的圆心坐标（0，L2，0），待制造芯片放置位置中心坐标（0，L3，0）。已知离子电量为+q、质量为m。 (1)若Ix=Iy=0时，离子恰好打到（R， L3， O） 点，求UAB的值； (2)若UAB=0， Iy =0时，控制离子恰好打到（0，L3，R）点，求Ix的值； (3)若UAB=0，Ix为某值时，离子经圆形磁场偏转角进入By磁场，试导出离子打到芯片上位置 （x，y，z） 与Iy的关系式（设离子转动不到90°）。 【答案】(1) (2) (3)；y = L3； 【详解】（1）根据动能定理有 根据类平抛运动规律有， 其中x=R 解得 （2）根据几何关系有 其中 根据洛伦兹力提供向心力有 则 解得 （3）By磁场中运动时间 角速度为 离子转过角度 By磁场中半径 坐标为 y= L3 z       11．（2025·山东威海·三模）如图甲所示，三维空间中，的空间存在沿轴负方向的匀强电场，场强大小为，（未知）处存在平行于的无限大界面；界面与间存在沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为；界面左侧空间存在周期性变化的磁场，变化规律如图乙所示，沿轴负方向为磁场的正方向，磁感应强度大小也为。质量为，电荷量为的带电粒子，从某位置沿轴负方向射入，经过点时的速度大小为，方向与轴负半轴的夹角为；当粒子到达界面时，速度方向平行于平面，该时刻为周期性变化磁场的计时起点；在（未知）时粒子的速度方向沿轴负方向，不计粒子重力。求： (1)粒子在间运动的轨迹方程； (2)的可能值； (3)的值。 【答案】(1) (2)或（n=0，1，2……） (3)或 【详解】（1）根据运动的分解可得，水平方向有， 竖直方向有，， 联立可得 （2）根据洛伦兹力提供向心力有， 所以 粒子从O点运动到界面需要的时间为t，则 所以t可能为或 则或（n=0，1，2……） （3）当距离为d1时，如图甲所示 从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为120°，则 所以 当距离为d2时，如图乙所示，从界面运动到距z轴最远，粒子转过的圆心角为60°，则 所以 12．（2025·河南·三模）如图所示，纸面内ACD区域由直角三角形ACO和四分之一圆AOD组成，，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，空间存在平行于纸面向左的匀强电场（图中未画出），O点为一粒子源，沿OA方向不断射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子恰能做直线运动，粒子的速度大小均为，仅撤去电场，粒子恰能从圆弧AD的中点射出磁场；OA长为L，不计粒子的重力及粒子间的相互影响，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)若仅撤去磁场，则粒子运动的加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）仅撤去电场，粒子恰能从圆弧AD的中点射出磁场，其运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系有 联立得 （2）电场和磁场并存时粒子沿直线运动，有 又 得 （3）若仅撤去磁场，根据牛顿第二定律有 又 得 13．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。 (1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域： （ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离； （ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2)（ⅰ）0，；（ⅱ） 【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理可得 在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有， 当粒子在圆形磁场中轨迹对应弦长最长，为圆形磁场直径2a时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图所示 对应轨迹圆周运动的圆心角60°，在磁场中运动的最长时间 （2）（ⅰ）①d=0，粒子直线运动经过O点； ②粒子在右侧磁场中匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 由几何关系得：当粒子指向圆心进入无磁场区域时，粒子轨迹与对称轴相切，如图所示 所以，粒子到对称轴的距离 （ⅱ）取临界状态，粒子在右侧磁场中运动轨迹圆恰好与无磁场区域圆相切，如图所示 根据题意有一半的粒子圆形区域，所以上下两轨迹圆圆心距离为，由几何关系可得 解得 由牛顿第二定律得 解得 14．（2025·安徽·三模）如图所示，在Oxy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，；在，的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，由左向右分为间距均为d0（d0未知）的n（n为整数且未知）份，各区域磁感应强度大小依次为B、2B、…、nB，，。一带正电的粒子从坐标原点沿与x轴正方向成角射入，在坐标为（4d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，恰能达到磁场右侧边界x4。已知整个装置处于真空中，粒子的比荷，不计粒子重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)匀强电场右边界横坐标x2的值； (3)d0的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子，在电场中，有 其中， 解得 （2）粒子在电场中的轨迹如图所示 在电场中有 解得 解得 故 （3）在竖直方向很短的时间内，由动量定理有 求和可得 从进入磁场到右边界，速度大小变为v0，方向沿y轴负方向， 解得 又 解得， 15．（2025·新疆省直辖县级单位·二模）真空中的平面直角坐标系xOy的第一象限内存在沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，其余象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。如图所示，一质量为m、电荷量为（）的带电粒子，从y轴上的P点以一定的速度平行于x轴射入第一象限，然后从x轴上的Q点进入磁场，恰好能回到P点。已知，，不计粒子受到的重力。求： (1)粒子射入匀强电场时的初动能； (2)粒子回到P点时的速度大小v； (3)匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设带电粒子射入匀强电场时的初速度大小为，带电粒子从P点运动到Q点所用的时间为t，则有， 粒子射入匀强电场时的初动能为 解得 （2）设粒子在Q点时的速度方向与x轴的夹角为θ，此时位移与x轴的夹角为α，如图所示 根据几何关系，则有，， 解得 （3）由于粒子回到P点时速度方向与y轴正方向所成的角一定为钝角，粒子轨迹的圆心一定位于第三象限，图中β与θ互余，则有， 根据牛顿第二定律 解得 16．（2025·海南省直辖县级单位·二模）竖直平面内水平虚线上方有方向水平向左的匀强电场。虚线下方高度为H的区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场，虚线上、下方的电场强度大小相等。将质量为m、电荷量为＋q的小球从a点以初速度v0竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图所示，a、c两点在虚线上，b点为轨迹的最高点。小球从c点进入虚线下方区域做匀速圆周运动且恰好不出下边界。不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)小球运动到b点的时间t及小球经过c点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于小球在虚线上方竖直向上做匀减速运动，到b点时竖直速度为0，则 解得                                        又由于小球在虚线下方磁场和电场中做匀速圆周运动，则                                        从a到c的运动时间                  在水平方向上 ，                             由运动的合成                     联立解得 （2）由题意可知小球运动轨迹如图所示       设c点小球速度与水平方向成θ，由 解得     由几何关系可得 解得                 由牛顿第二定律                                    由以上各式联立得 17．（2025·广西北海·模拟预测）如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）； (2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小； (3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场区域做类平抛运动，则， 代入 解得 （2）由段的边界方程可知 粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足， 联立可得 从点出电场时的速度与水平方向的夹角满足 则 粒子从点出电场时的速度为 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，粒子轨迹刚好磁场上边界相切时，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子进入第四象限的磁场后，沿轴方向应用动量定理有 对粒子从进入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程求和得 可得 运动轨迹与轴所围成的面积 代入 解得 18．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，两带电平行金属板MN、PQ竖直放置，两板板长与两板间的距离相等，两板间存在有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）。在金属板PQ的右侧与两板上边缘平齐的边界虚线QF下方同时存在有垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电微粒以速度v0、沿两金属板对角线从MN板下边缘进入两板间，之后做匀速直线运动，恰好从PQ板上边缘离开，经一段时间带电微粒进入QF下方的复合场中做匀速圆周运动，且带电微粒在复合场中运动轨迹的最左端与进入复合场前的最高点在同一竖直线上。重力加速度为g。忽略空气阻力，求： (1)两金属板间磁场的磁感应强度大小B0； (2)复合场中电场强度大小E1和磁感应强度大小B1； (3)若在复合场内放置一个竖直挡板，位置可调，若带电微粒垂直击中挡板，求挡板到PQ板的水平距离。 【答案】(1) (2)， (3)（n=0，1，2……） 【详解】（1）由于带电微粒沿两金属板对角线从MN板下边缘进入两板间做匀速直线运动，则 所以 （2）微粒进入复合场后做匀速圆周运动，则， 运动轨迹，如图所示 根据几何关系可得 联立解得， （3）若在复合场内放置一个竖直挡板，位置可调，若带电微粒垂直击中挡板，挡板到PQ板的水平距离满足（n=0，1，2……） 19．（2025·全国·模拟预测）如图甲所示，有一空间直角坐标系，轴沿竖直方向。在空间内存在一沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B（B未知），在的范围内存在一以轴为对称轴、磁感应强度大小为、方向平行于轴的柱形磁场区域，其方向变化如图乙所示的磁场，时磁感应强度方向沿轴负方向。时刻一电荷量为、质量为的带电小球从平面处的P点由静止释放，经过点时其速度方向刚好沿轴的正方向。不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求小球到达点的速度大小以及磁感应强度B的大小。 (2)若小球刚进入轴下方的磁场区域的时刻为，经过一段时间后小球刚好第一次回到轴上的某点而没有离开磁场区域。求轴下方磁场区域的半径。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）小球从到的过程中，由机械能守恒可得 解得 根据动量定理可得 即 联立解得 （2）进入轴下方磁场，带电小球的运动可以分解为竖直方向的自由落体运动与平行于平面内的匀速圆周运动。 根据磁场周期的特点，带电小球刚好没有离开磁场，其平行于平面内的匀速圆周运动的运动轨迹如图所示 根据牛顿第二定律有 由几何关系可得 解得 20．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在三维直角坐标系中，平面左侧区域有沿着y轴正方向的匀强电场，平面右侧有一个垂直于y轴的足够大荧光屏，平面与荧光屏之间的区域有沿着y轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y轴交点位置的坐标为。一质量为m、电荷量为的粒子从坐标为的P点以大小为的初速度沿z轴负方向射出，经电场偏转后从O点进入磁场，粒子再次经过y轴的位置离O点距离为d，最终打在荧光屏上，不计粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)粒子打在荧光屏上的位置坐标； (3)若在平面与荧光屏之间的区域再加上一平行于y轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。 【答案】(1) (2) (3)沿y轴正方向时，；沿y轴负方向时， 【详解】（1）对粒子，类平抛运动，z轴 y轴 则 （2）方向的速度 则粒子做螺旋线轨迹运动，在平面上做速率为的匀速圆周运动，y轴上做速度为的匀速直线运动。 匀速圆周运动周期 运动时间 又， 得， 则打到荧光屏上位置坐标，即 （3）①若沿y轴正方向，则粒子在y轴方向上做匀加速直线运动，运动时间： ，即   在y轴方向   解得： ②若沿y轴负方向，则粒子在y轴方向上做匀减速直线运动，运动时间  , 即   在y轴方向 解得 21．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标； (2)电场强度与磁感应强度的比值； (3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。 【答案】(1)，[0，] (2) (3) 【详解】（1）带正电的粒子在磁场做圆周运动，设半径，洛伦兹力提供向心力，根据 解得 粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子将从点进入磁场，且其速度与轴正方向的夹角为，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为，由于粒子垂直轴离开磁场，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力 解得 点的坐标为 则点的坐标为[0，]。 （2）粒子在电场中做类平抛运动，则有，， 联立解得 粒子到点的竖直分速度设为，则 解得 即粒子从点射入磁场内的速度方向与轴正向成角，速度大小为，则做圆周运动的半径 根据 解得 所以 （3）粒子在磁场中运动时间 粒子在磁场中运动时间 粒子在电场中运动时间由 解得 粒子在磁场中运动时间 所以粒子整个运动过程中需用的时间 22．（2025·四川遂宁·模拟预测）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴OO1经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，， (1)离子的电荷量； (2)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离轴线OO1的距离； (3)离子以（2）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直O2O3轴线且匀速旋转的匀强电场E2使离子加速。稳定后离子在垂直O2O3轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。 ①为保证离子不接触芯片，求芯片距离O2的最小距离； ②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）离子沿水平中轴经过速度选择器，设离子电荷量为满足 偏转区仅加电场时，水平方向  竖直方向 且有 联立解得 （2）离子在磁场中偏转时，设偏转角为，磁场半径 偏转角等于圆心角，由几何关系 可得，离子出射时偏离轴线的距离 解得 （3）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向 其中 ①水平方向在阻力下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0过程分析，由动量定理有 其中 得芯片距离的最小距离 ②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为。沿圆周的半径方向 沿圆周的切线方向 可得 旋转电场对离子做功的功率 当 即时，电场对离子做功的瞬时功率最大。 23．（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系中，轴竖直，、A两点间的距离为，。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象限内有方向沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带负电小球从A点以大小，（g为重力加速度大小）的初速度沿做直线运动，小球通过点后在第三象限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为的点。已知第四象限内电场的电场强度大小，不计空气阻力。 (1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小以及第三象限内磁场的磁感应强度大小； (2)求小球从通过点（第一次通过轴）到第三次通过轴所用的时间及其在第四象限内运动的过程中到轴的最大距离； (3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从、A两点连线的延长线上的点（图中未画出）以大小的初速度沿方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求两点间的距离应满足的条件。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）经分析可知，小球的运动轨迹如图所示 且小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有 解得 设小球在第三象限内做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据几何关系有 洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有 解得 （2）小球从点运动到点所用的时间 解得 设小球通过点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为，有 解得 可见小球所受合力的方向与小球通过点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为，有 设小球从点运动到再次通过轴时所用的时间为，有     解得 又 解得 将小球通过点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，小球到轴的距离最大，有 其中 解得 （3）小球的初速度沿水平方向和竖直方向的分量大小分别为     经计算可知 因为 所以小球的运动可分解为大小为、方向水平向左的匀速直线运动和大小为、沿顺时针方向的匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的周期 解得 设小球通过轴时的速度方向恰好第一次水平，则此种情况下小球从点运动到轴的时间 设此种情况下两点间的距离为，有 解得 因此两点间的距离应满足的条件为 24．（2025·河南·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第二、三象限有沿轴正方向的匀强电场，第一、四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为、带电荷量为的粒子从轴上的点，以速度平行于轴正向开始运动，粒子第一次进入磁场时恰好经过轴上的点。已知点坐标为，点坐标为，不计粒子重力。 (1)求匀强电场场强的大小； (2)求粒子刚进入磁场时的速度大小； (3)如果粒子第一次经过轴后能再次经过点，求磁感应强度的大小。 【答案】(1)E= (2)v= (3)或 【详解】（1）设匀强电场场强为E，粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，则有qE=ma 从P点第一次到达M点经过的时间为t，做类平抛运动，则有，2d= 联立解得E= （2）设粒子第一次到达M点时速度为v，方向与y轴正方向夹角为θ，到达M点时速度竖直分量vy=v0 速度水平分量vx，则有 解得vx= 粒子在M点速度v= （3）由几何关系可知 设磁感应强度为B，粒子在磁场中的轨迹轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB= ①若粒子再次经过M点时，从电场进入磁场，则粒子在磁场中进入电场时，必然再次经过P点，由几何关系有2×3d=2Rsinθ 解得B= ②若粒子再次经过M点时，从磁场进入电场，每完成一个周期性运动，轨迹沿y轴平移距离为Δy=2×3d-2Rsinθ 则有(n+1)·Δy=6d（n=1、2、3……） 联立解得B=（n=1、2、3……） 综上所述粒子第一次经过轴后能再次经过点磁感应强度的大小或 25．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第一象限空间存在垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、为已知量）；第二象限空间存在沿方向、场强大小为的匀强电场，和磁感应强度大小为、垂直平面向里的匀强磁场；第三象限存在方向和大小未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为、电荷量为的带电粒子，从轴上的点沿纸面以与方向夹角的初速度射入第三象限的匀强电场，并从原点射入第一象限，过点的速度方向与方向夹角为。不计粒子重力，求： (1)第三象限电场强度的大小和方向； (2)粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积S； (3)若，粒子在第二象限运动过程中的最大速度（结果用含的式子表示）。 【答案】(1)，与轴的夹角为 (2) (3) 【详解】（1）粒子在第三象限匀强电场中做类斜抛运动，粒子在方向的位移为零，方向的平均速度也为零，设末速度为，有 粒子类斜抛的末速度与初速度垂直，画出速度矢量三角形（如图1）。 分析可知，的方向与轴的夹角为，电场力的方向与的方向相同，故的方向与轴的夹角为，与轴的夹角为。且有 设粒子在电场中运动的时间为，在方向做匀速直线运动的位移为，在电场力方向类自由落体运动的位移也为，加速度为，有 则有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）由于洛伦兹力不做功，粒子在第一象限做匀速率曲线运动，由磁场特点（相同的各点磁感应强度相同）可知，粒子的轨迹为上下对称的曲线，如图2所示。 对粒子在方向应用动量定理，有 可得 故粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积为 （3）粒子以速度射入第二象限，在叠加场中做曲线运动，轨迹为旋轮线。（配速法）将进入第二象限的初速度分解为和，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，如图3所示。 有 解得 由于 当两个分运动的速度方向相同时，粒子的合速度最大，为 26．（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量，电荷量大小，从倾角的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)求斜面的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零 由电场力与重力平衡得 代入数据解得电场强度的大小 （2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用 在垂直于斜面方向上 由平衡知识可得 下滑距离的过程只有重力和电场力做功 由动能定理得 联立并代入数据解得， （3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得 由几何关系可得 故斜面的长度 27．（2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小均相等；y＞0的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动，速度大小为方向与x轴负方向夹角为重力加速度为g。求： (1)电场强度的大小和磁感应强度的大小； (2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标； (3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）根据受力平衡条件，微粒带正电，有， 解得， （2）微粒进入第三象限后，由受力分析，重力和电场力平衡，故微粒受洛伦兹力做匀速圆周运动，设微粒运动半径为R，由几何关系可得，微粒在第三象限内运动的时间 根据洛伦兹力提供向心力有 周期为 联立解得 微粒离开第三象限时在竖直方向移动的距离为 微粒离开第三象限时的位置坐标为 （3）微粒进入第四象限后速度方向与y轴负方向夹角为45°，根据运动的合成与分解，可以把速度分解到x、y方向，分速度分别为， 根据受力分析，微粒运动可分解为水平方向速度大小为匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动。 与同向时合速度最大，最大速度为 28．（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 【答案】(1) (2) (3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有 解得 （2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有 解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有 在最低点有 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得 则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 29．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，在xOy坐标系第二象限有一个半径为R的圆形区域，圆心为C，圆形边界分别与x轴、y轴相切于M、N两点。圆形区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场。在M点放置一粒子源，粒子源可向磁场中各个方向发射速率均为的同种带正电粒子，其中沿MC方向射入磁场的粒子恰好从N点进入电场，后从x轴上的P点离开电场。已知磁感应强度大小为B，电场强度大小。不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．带电粒子的比荷为 B．P点与坐标原点O的距离为 C．粒子运动至P点时的速度大小为 D．x正半轴上有粒子经过的范围长度为2R 【答案】BD 【详解】A．由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，根据洛伦兹力提供向心力 解得比荷，故A错误； B．粒子从N点垂直电场进入第一象限，沿y方向有 解得 沿x方向有，故B正确； C．沿y向的速度为 则粒子运动至P点时的速度大小为，故C错误； D．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径等于磁场圆半径R，由磁发散的规律可知，沿各个方向入射的粒子从磁场圆的右半圆上所有点离开，且离开时速度均沿x轴正向，进入电场后沿x轴方向的最小距离为0，即打在O点。从M点正上方离开的粒子在电场中的x轴方向的位移最大，此时 解得 则沿x轴方向有 因此x正半轴上有粒子经过的范围长度为2R，故D正确。 故选BD。 30．（2025·山东聊城·三模）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系中，的区域内存在与轴负方向夹角为30°的匀强电场，在的空间存在沿轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在的空间还存在沿轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t的变化规律如图乙所示。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，从静止出发经过加速电压U后，从A点（未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间。已知粒子第一次经过О点时记为时刻，粒子在时间内恰好可以在与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，且在时间内能达到的坐标最大值的绝对值与A点相同，规定磁场方向沿轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中未知。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)的大小； (3)时刻粒子的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)（，0，0） 【详解】（1）设粒子经加速电压后速度为，则有 解得 一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间，可知在O点时，粒子水平方向速度为0，则水平方向有 其中 联立解得 （2）设粒子经过原点O时速度为v，在区域内的匀强电场中，水平方向，有 解得 竖直方向，有， 其中 解得， 进入的空间，与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据题意 解得 （3）进入进入的空间，粒子在磁场的作用下平行于xOy平面做匀速圆周运动，在电场作用下平行于x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动。 在时间内，粒子运动的周期 在时间内，粒子将做离心运动，周期与在B0磁场中做匀速圆周运动相同， 故在时间内，粒子运动半个周期，到达x轴上。 在x方向， 解得2t0时刻粒子的位置坐标为（，0，0） 第 1 页 共 41 页 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