第一单元 混合运算与数量关系（一）（解决问题专项）数学苏教版三年级上册（新教材）

第一单元 混合运算与数量关系（一） （6个类型题讲练+三大难度分层练 共38题） 第一部分：类型题讲练 知识点01：乘加、乘减混合运算 典型题型特征：需分步计算乘法与加减法的组合问题 应用场景1：实际问题转化能力 例：购物场景 题目示例：文具店每支钢笔12元，小明买了3支后付款50元，应找回多少元？ 12×3=36元 → 50−36=14元 需学生将“单价×数量=总价”的数学关系转化为“50−12×3”的算式。 应用场景2：分阶段分配问题的计算 例：排队问题 题目示例：活动站原有18人，每辆观光车可坐5人，4辆车出发后，还剩下多少人？ 总人数−已运人数=剩余人数 → 18−5×4=18−20=−2（需逆向分析错误提示） 解题策略：先定位乘法核心量（单价、每份数），再结合加减运算处理总量或剩余量。 知识点02：除加、除减混合运算 典型题型特征：涉及平均分配后的增减调整 应用场景1：余数处理的实际应用 例：货物运输 题目示例：农场要运72箱苹果，每辆卡车可装8箱，已用5辆卡车，还需装多少箱？ 72÷8=9辆（总需要）→ (9−5)×8=32箱 或直接计算72−8×5=32箱。 应用场景2： 优惠叠加计算 例：促销活动 题目示例：餐厅消费满100元减20元，小明买4份单价25元的套餐，实际支付多少？ 25×4=100元 → 100−20=80元（隐含的除减结合：总价满足条件时自动触发优惠）。 解题关键：分清除法的“均分”本质，结合加减解决余数或特殊条件的影响。 知识点03：带有小括号的混合运算 典型题型特征：需调整运算顺序的复杂场景 应用场景1： 优先级应用与逆向分析 例：租船问题 题目示例：48人租船，大船限乘6人（每条30元），小船限乘4人（每条24元），如何组合最省钱？ 需构造公式30×(总人数÷6)+余数处理并与小船方案比较，突出小括号调整计算顺序的必要性。 应用场景2：多步骤问题分组合并 例：体育器材分配 题目示例：班级共有60本书，先分给5个小组各8本，剩下的平均分给4个学生，每人分几本？ 剩余数：(60−5×8)=20本 → 每人分20÷4=5本 → 合并式 (60−5×8)÷4。 重点训练：通过小括号明确逻辑层次，解决需分步组合的实际问题。 知识点04：24点游戏 核心目标：培养四则运算灵活性和创造性思维 应用场景1：数字组合与运算顺序探索 示例：给出数字2、3、4、6，通过加减乘除和括号组合得到24 可能解：4×6×(3−2)=24或(6÷2+3)×4=24（搜索类似巧解思路）。 应用场景2：策略优化与逆向思维 考察方向：如何优先构造乘法接近24的数（如8×3、6×4），再调整剩余数补足目标。 类型1 购物问题（乘加、乘减混合运算） 典型例题1：（24-25三年级下·江苏常州·期中）国庆75周年庆祝会现场，老师为同学们准备了一些水果，其中苹果45千克，香蕉比苹果少12千克，葡萄的千克数是苹果的3倍。苹果和葡萄一共有多少千克？ （1）先在下图中画出表示葡萄的线段，并在图中表示出条件和问题，再解答。 苹果：                                 葡萄：                                                 （2）请你再提出一个两步计算解决的问题，并解答。 思路分析：（1）葡萄的千克数是苹果的3倍，画与苹果线段等长的3条线段，再标出条件和问题； 苹果45千克×3＋苹果45千克＝苹果和葡萄一共有多少千克； （2）问题：香蕉和苹果一共有多少千克？（两步计算） 苹果45千克－香蕉比苹果少12千克＋苹果45千克＝香蕉和苹果一共有多少千克； 答题区： （1）如图： 45×3＋45 ＝135＋45 ＝180（千克） 答：苹果和葡萄一共有180千克。 （2）自拟问题：香蕉和苹果一共有多少千克？ 45－12＋45 ＝33＋45 ＝78（千克） 答：香蕉和苹果一共有78千克。 变式训练：（24-25三年级上·新疆喀什·期末）有6个羽毛球，乒乓球的个数比羽毛球的5倍多4个，乒乓球有( )个。 【答案】34 【思路引导】已知有6个羽毛球，那么羽毛球个数的5倍就是（个）。因为乒乓球的个数比羽毛球的5倍还多4个，所以乒乓球的个数是（）个。 【规范解答】 （个） 有6个羽毛球，乒乓球的个数比羽毛球的5倍多4个，乒乓球有34个。 类型2 倍数问题（乘加、乘减混合运算） 典型例题2：（24-25三年级下·四川巴中·期中）（如图）王大爷家白菜地中间有一条宽为1米的路。 （1）白菜种植部分的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米收白菜7千克，每千克白菜卖2元钱，这块地的白菜一共可以卖多少钱？ 思路分析：（1）根据长方形的面积＝长×宽，分别求出这块地的面积以及这条路的面积，再用这块地的面积减去这条路的面积，求出白菜种植部分的面积。 （2）用白菜种植部分的面积乘每平方米收白菜重量，求出白菜总重量，再乘每千克白菜的售价，求出这些白菜的总售价。 答题区： （1）12×8－12×1 ＝96－12 ＝84（平方米） 答：白菜种植部分的面积是84平方米。 （2）84×7×2 ＝588×2 ＝1176（元） 答：这块地的白菜一共卖1176元。 变式训练1：（23-24三年级下·重庆丰都·期末）滨江小学后勤李主任按照学校要求，带了540元钱到某文具店购买了9个同样的足球，已知足球单价为整元。买完足球后，李主任的钱还没花完，他至少还剩多少元钱？ 【答案】还剩9元；每个足球59元 【思路引导】根据题意，已知带了540元钱购买了9个同样的足球，且足球单价为整元，根据“单价＝总价÷数量”，求出如果钱正好花完，足球的单价是540÷9＝60元。而实际李主任的钱还没花完，要使剩余的钱数最少，那么足球的单价要尽可能高，所以足球的单价比60元少1元，根据“总价＝单价×数量”，求出买9个足球花的最多的钱数，再用540元减去花的钱数，即是至少还剩下的钱数。 【规范解答】足球的单价： 540÷9－1 ＝60－1 ＝59（元） 至少还剩： 540－59×9 ＝540－531 ＝9（元） 答：他至少还剩9元钱。 变式训练2：（24-25三年级下·广东佛山·期中）2025年春节电影档在中国大陆上映动画电影《哪吒之魔童闹海》。该电影上映不足一个月票房已位于全球前十位，它主要描述哪吒的成长和父母的爱意永不缺席，非常适合一家人去观影。周末下午，爸爸、妈妈、小雨和姐姐到达万达电影院观看这场电影。他们对电影中的情节和角色充满期待，希望能度过一个充实而有意义的周末。7号厅是IMAX（巨幕）厅，能坐下262位观众，它的座位数是5号厅的2倍。请仔细阅读材料，解决下面问题： （1）下图是小雨的电影票，张小红在7排16座，张小红的位置在小雨的（    ）方向。 （2）如图是6号厅的座位分布图，一共有多少个座位？ （3）5号厅有多少个座位？ （4）小雨一家花费了248元购买这场电影的票，每一张电影票的价格是多少钱？ 【答案】（1）东北 （2）174个 （3）131个 （4）62元 【思路引导】（1）由图可知，小雨在10排12座，张小红在7排16座。据此作图如下： 由图可知，张小红的位置在小雨的右上方。根据“上北下南左西右东”可知，张小红的位置在小雨的东北方。 （2）由图可知，6号厅一共有12排座位。其中第1排到第3排，第10排到第12排每排都有16个座位，即一共有6排，每排都有16个座位。第4排到第9排每排都有13个座位，即一共有6排，每排都有13个座位。直接用16乘6再加上13乘6即可算出一共有多少个座位。 （3）由题意得，7号厅能坐下262位观众，它的座位数是5号厅的2倍，那么直接用262除以2即可算出5号厅有多少个座位。 （4）由题意得，小雨一家一共有4口人，小雨一家花费了248元购买这场电影的票，那么直接用248除以4即可算出每一张电影票的价格。 【规范解答】（1）由分析得，张小红的位置在小雨的东北方向。 （2）16×6＋13×6 ＝96＋78 ＝174（个） 答：6号厅一共有174个座位。 （3）262÷2＝131（个） 答：5号厅有131个座位。 （4）248÷4＝62（元） 答：每一张电影票的价格是62元。 类型3 购物问题（除加、除减混合运算） 典型例题3：（24-25三年级下·广东江门·期中）李老师买了4台复读机，共花了556元，1部学习机265元，1部学习机比1台复读机贵多少元？ 思路引导：根据题意，用复读机共花的钱除以台数等于每台复读机的价钱。再用1部学习机的价格减去1台复读机的价格就是贵多少元。 答题区： 265－556÷4 ＝265－139 ＝126（元） 答：1部学习机比1台复读机贵126元。 变式训练1：（23-24三年级下·江苏泰州·期中）小林家去年全年一共缴纳电费1200元，上半年缴纳电费576元。 （1）下半年平均每月缴纳电费多少元？ （2）上半年比下半年平均每月节省电费多少元？ 【答案】（1）104元 （2）8元 【思路引导】（1）用全年的电费数减去上半年缴纳的电费就是下半年共缴纳的电费。再除以6等于下半年平均每月缴纳的电费。 （2）上半年平均每缴纳的电费除以6等于上半年平均每月缴纳的电费。再用下半年平均每月缴纳电费数减去上半年平均每月缴纳电费数即可求出上半年比下半年平均每月节省电费多少元。 【规范解答】（1）（1200－576）÷6 ＝624÷6 ＝104（元） 答：下半年平均每月缴纳电费104元。 （2）104－576÷6 ＝104－96 ＝8（元） 答：上半年比下半年平均每月节省电费8元。 变式训练2：（24-25三年级上·重庆九龙坡·期末）中午，陈阿姨和一位同事一起订了一份双人餐，需付27元，刚好外卖平台赠送了一张满25元减9元的优惠券（如图）。使用优惠券后，平均每人要付多少钱？ 【答案】9元 【思路引导】根据题意，用27元减去优惠的9元，求出实际支付的钱数，然后再用实际支付的钱数除以2，即可求出平均每人要付多少钱。 【规范解答】（27－9）÷2 ＝18÷2 ＝9（元） 答：平均每人要付9元。 类型4 倍数问题（除加、除减混合运算） 典型例题4：（24-25三年级上·四川成都·期中）王叔叔是送餐员，张叔叔是快递员。张叔叔今天送了多少单快递？ 思路引导：用210÷3求出王叔叔平均每天送的单数，王叔叔平均每天送的单数比张叔叔今天多7单，用王叔叔平均每天送的单数减7就是张叔叔今天送的单数。 答题区： 210÷3－7 ＝70－7 ＝63（单） 答：张叔叔今天送了63单快递。 变式训练1：（23-24三年级上·浙江金华·期末）在下面解决问题中，不能用算式（40－16）÷4解决的是（    ）。 A．三年级4个班要种植40棵树，已经种了16棵，剩下的平均每个班要种多少棵？ B．三（1）班共有学生40人，女生16人，将男生4人分成一组，可以分成几组？ C．一本40页的书，小兰4天共看了16页，小兰平均每天看多少页？ 【答案】C 【思路引导】（1）要种植树的棵数减去已经种的棵等于剩下要种的棵数，再除以三年级的班数，即等于平均每个班还要种的棵数； （2）三（1）班的学生总数减去女生人数等于男生人数，再除以一组的人数，等于男生可以分成的组数； （3）小兰4天看的页数除以4，即等于小兰平均每天看的页数； 【规范解答】A．根据分析可知，求剩下的平均每个班要种多少棵，列式为：（40－16）÷4； B．根据分析可知，求可以分成几组，列式为：（40－16）÷4； C．根据分析可知，求小兰平均每天看多少页，列式为：16÷4； 所以不能用算式（40－16）÷4解决的问题是选项C。 故答案为：C 变式训练2：（21-22三年级上·辽宁·课后作业）水果店运来63箱苹果，7箱桔子，如果苹果的箱数不变，再运 箱桔子，苹果的箱数是桔子的7倍。 【答案】2 【思路引导】根据题意，要使苹果的箱数是桔子的7倍，用63÷7计算出需要桔子的箱数，已知桔子箱数是7箱，那么列式63÷7－7，即是需要再运几箱桔子，据此解答。 【规范解答】根据分析得： 63÷7－7 ＝9－7 ＝2（箱），所以需要再运2箱桔子。 【考点剖析】解答本题的关键是先计算出需要桔子的箱数再减去已有的桔子箱数。 类型5 购物问题（带有小括号的混合运算） 典型例题5：（23-24二年级下·湖南长沙·期末）奇奇和他的5个好朋友一起在游乐园坐小火车，共花了30元，平均每个小朋友花了多少元钱？ 思路引导：先用加法算出总人数，最后用一共花的钱数除以总人数即可求出平均每个小朋友花了多少元钱。 答题区： 30÷（1＋5） ＝30÷6 ＝5（元） 答：平均每个小朋友花了5元钱。 变式训练1：（24-25三年级下·广东深圳·期中）花店准备开张了，李叔叔运来了10车盆栽。每辆车装有13盆发财树和27盆蝴蝶兰。每盆发财树60元，每盆蝴蝶兰70元。 （1）李叔叔一共运来了多少盆盆栽？ （2）请你再提出一个数学问题，并尝试解答。 【答案】（1）400盆 （2）每车发财树需要多少钱？（问题不唯一） 780元 【思路引导】（1）李叔叔一共运来盆栽的盆数＝（每车发财树的盆数＋蝴蝶兰的盆数）×运来的车数，据此代入数据计算即可解答； （2）根据题意，可以提出问题：每车发财树需要多少钱？用每盆发财树的价钱乘每车发财树的盆数即可解答，本题问题不唯一。 【规范解答】（1）（13＋27）×10 ＝40×10 ＝400（盆） 答：李叔叔一共运来了400盆盆栽。 （2）问题：每车发财树需要多少钱？（问题不唯一） 60×13＝780（元） 答：每车发财树需要780元。 变式训练2：（24-25三年级下·山东济南·期中）小红如果买1支钢笔和3本笔记本，共付16元；如果买1支钢笔和5本笔记本，共付20元。想一想：一支钢笔( )元，1本笔记本( )元。 【答案】 10 2 【思路引导】解题的关键思路是找出两次购买中物品数量的差异以及价格的差异，从而计算出其中一种物品的单价，再进一步求出另一种物品的单价； 计算一本笔记本的价格：小红第一次买了1支钢笔和3本笔记本，花费16元；第二次买了1支钢笔和5本笔记本，花费20元；第二次比第一次多买了5－3＝2（本）笔记本，多花了20－16＝4（元）；这就说明2本笔记本的价格是4元，那么一本笔记本的价格为：4÷2＝2（元）； 计算一支钢笔的价格：已知一本笔记本2元，小红买3本笔记本花费3×2＝6（元），又因为买1支钢笔和3本笔记本共付16元，所以一支钢笔的价格为：16－6＝10（元）；据此解答。 【规范解答】根据分析： （20－16）÷（5－3） ＝4÷2 ＝2（元） 16－3×2 ＝16－6 ＝10（元） 所以，一支钢笔10元，一本笔记本2元。 类型6 倍数问题（带有小括号的混合运算） 典型例题6：（24-25三年级上·福建泉州·期中）在学校开展的“阳光少年齐争章”活动中，毛毛取得了35个劳动章，丫丫取得的劳动章比毛毛少28个，毛毛取得的劳动章个数是丫丫的几倍？ 思路引导：根据题意，用毛毛取得劳动章的个数减去丫丫取得的劳动章比毛毛少的个数，先求出丫丫取得劳动章的个数，再用毛毛取得的劳动章个数除以丫丫取得的劳动章个数即可解答。 答题区： 35÷（35－28） ＝35÷7 ＝5 答：毛毛取得的劳动章个数是丫丫的5倍。 变式训练1：（24-25三年级上·江苏徐州·期中）在延时服务课中，轮滑队有20人，啦啦操队人数比轮滑队人数少5人，花样跳绳队的人数是啦啦操队人数的3倍。花样跳绳队有多少人？ 【答案】45人 【思路引导】由题意得，轮滑队有20人，啦啦操队人数比轮滑队人数少5人，直接用20减去5即可算出啦啦操队的人数。花样跳绳队的人数是啦啦操队人数的3倍，直接用前面的得数乘3即可算出花样跳绳队有多少人。 【规范解答】（20－5）×3 ＝15×3 ＝45（人） 答：花样跳绳队有45人。 变式训练2：（24-25三年级上·河南周口·期中）妈妈看一本小说，第一周看了53页，第二周看的页数是第一周的2倍，第三周看的是前两周的页数总数的2倍，妈妈第三周看了多少页？ 【答案】318页 【思路引导】第二周看的页数是第一周的2倍，则用第一周看的页数乘2，即可求出第一周看的页数。第三周看的是前两周的页数总数的2倍，则可将第一周与第二周看的页数加起来然后再乘2，即可求出第三周看的页数。 【规范解答】第二周看的页数：53×2＝106（页） 第三周看的页数：（53＋106）×2 ＝159×2 ＝318（页） 答：妈妈第三周看了318页。 第二部分：难度分层训练 A夯实基础 1．（23-24三年级上·浙江金华·期末）在下面解决问题中，不能用算式（40－16）÷4解决的是（    ）。 A．三年级4个班要种植40棵树，已经种了16棵，剩下的平均每个班要种多少棵？ B．三（1）班共有学生40人，女生16人，将男生4人分成一组，可以分成几组？ C．一本40页的书，小兰4天共看了16页，小兰平均每天看多少页？ 【答案】C 【思路引导】（1）要种植树的棵数减去已经种的棵等于剩下要种的棵数，再除以三年级的班数，即等于平均每个班还要种的棵数； （2）三（1）班的学生总数减去女生人数等于男生人数，再除以一组的人数，等于男生可以分成的组数； （3）小兰4天看的页数除以4，即等于小兰平均每天看的页数； 【规范解答】A．根据分析可知，求剩下的平均每个班要种多少棵，列式为：（40－16）÷4； B．根据分析可知，求可以分成几组，列式为：（40－16）÷4； C．根据分析可知，求小兰平均每天看多少页，列式为：16÷4； 所以不能用算式（40－16）÷4解决的问题是选项C。 故答案为：C 2．（23-24三年级上·重庆九龙坡·期末）下面问题中不能用“100－12×7”解决的是（    ）。 A．小明有100元钱，买一个魔方用了12元，如果用剩下的钱买7元一个的笔袋，可以买几个？ B．一本书共100页，刘丽每天看12页，看了一个星期后（按7天计算），还要再看多少页才能看完？ C．折纸兴趣小组有12名同学，张老师带来100张彩纸，每人发7张彩纸后，还剩多少张彩纸？ D．每千克苹果12元，食堂买了7千克苹果，付给售货员100元，需要找回多少元？ 【答案】A 【思路引导】（1）小明带有钱减买一个魔方用的钱等于剩下的钱，再除以一个笔袋的钱，即等于可以买笔袋的个数； （2）每天看的页数乘7等于7天看的页数，一本书总共的页数减7天看的页数，即等于看完还要再看的页数； （3）每人发的彩纸张数乘折纸兴趣小组的学生数，等于12名学生发的彩纸张数，张老师带来的彩纸张数减12名学生发的彩纸张数，即等于还剩下的彩纸张数； （4）每千克苹果的价钱乘买的苹果的千克数等于买7千克苹果的钱，付给售货员的钱减买7千克苹果的钱，即等于需要找回的钱。 【规范解答】A．根据分析可知，求可以买的个数，列式为：（100－12）÷7； B．根据分析可知，求看完还要再看的页数，列式为：100－12×7； C．根据分析可知，求还剩彩纸的张数，列式为：100－12×7； D．根据分析可知，求需要找回的钱数，列式为：100－12×7； 所以问题中不能用“100－12×7”解决的是选项A。 故答案为：A 3．（24-25二年级下·辽宁鞍山·期中）用过的易拉罐可以变废为宝。在手工课上，老师教同学们用收集的易拉罐做小火车。如图，如果全部做成左边的小火车，正好可以做6辆。如果全部做成右边的小火车，可以做几辆？ 【答案】9辆 【思路引导】根据题意，先用做成左边一辆小火车用易拉罐的数量×可以做成左边小火车的数量，求出一共有多少个易拉罐，再用易拉罐的总数量除以做成右边一辆小火车用易拉罐的数量，即可求出做成右边小火车的数量。 【规范解答】6×6÷4 ＝36÷4 ＝9（辆） 答：可以做9辆。 4．（24-25三年级下·河南南阳·期中）体育用品商店有26个足球，排球的数量比足球数量的3倍少6个，商店有足球和排球一共多少个？ 【答案】98个 【思路引导】求一个数的几倍是多少，用乘法计算。用足球的数量乘3，再减去6个，求出排球的数量。再用足球的数量加上排球的数量，求出足球和排球的总数量。 【规范解答】26×3－6 ＝78－6 ＝72（个） 26＋72＝98（个） 答：商店有足球和排球一共98个。 5．（24-25三年级上·河南新乡·期末）刺绣在我国至少有三千年历史，主要有苏绣、湘绣、蜀绣和粤绣四大门类。 （1）张阿姨耗时一年完成了一幅《锦绣山河》的蜀绣。这幅作品长15米，比宽长6米，这幅作品的周长是多少米？ （2）李阿姨原来绣一套梅兰竹菊绣屏需要128元材料，由于材料费用上涨，现在绣一套梅兰竹菊比原来多用37元，现在李阿姨完成9套订单需要多少元的材料？ 【答案】（1）48米 （2）1485元 【思路引导】（1）要计算这幅蜀绣作品的周长，需要先求出它的宽。已知作品长15米且比宽长6米，那么用长减去6米就能得到宽。再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，即可算出周长。 （2）用原来的价格加上37，即可求出现在的价格，用现在的价格乘需要完成的套数，即可求出现在李阿姨完成9套订单需要多少元的材料。 【规范解答】（1）15－6＝9（米） （15＋9）×2 ＝24×2 ＝48（米） 答：这幅作品的周长是48米。 （2）（128＋37）×9 ＝165×9 ＝1485（元） 答：现在李阿姨完成9套订单需要1485元的材料。 6．（24-25三年级上·山东德州·期末）2024年巴黎奥运会中，中国乒乓球队顶着巨大的压力包揽所有项目冠军，乐乐被运动员们的拼搏精神所鼓舞，报名参加乒乓球训练。 （1）乐乐和教练去购买乒乓球，一个乒乓球重4克。如果买500个，一共重多少克？合多少千克？ （2）为了回谢顾客，老板又赠了16个乒乓球，如果将这些乒乓球每6个装一盒，需要多少个盒子？ （3）一副球拍的价格是99元，如果买9副，900元钱够吗？ 【答案】（1）2000克；2千克； （2）86个； （3）够 【思路引导】（1）总重量计算问题，用每个乒乓球的重量×购买数量计算；将克转换为千克，根据1千克 ＝ 1000克，据此解答。 （2）装盒问题，这里需要用除法，用“乒乓球总数量除以一盒装的乒乓球个数”来求需要的盒数，据此解答。 （3）金额是否足够问题，根据“总价＝数量×单价”先求出买9副的总费用，再与900元钱比较大小，如果总价大于900元就不够，如果总价小于900就够，据此解答。 【规范解答】（1）4×500＝2000（克） 2000克＝2千克 答：一共重2000克，合2千克。 （2）（500＋16）÷6 ＝516÷6 ＝86（个） 答：需要86个盒子。 （3）99×9＝891（元） 891＜900 答：900元钱够。 B培优拔高 1．（21-22三年级上·山西吕梁·期末）下面问题中不能用解决的是（    ）。 A．折纸兴趣小组有12名同学，张老师带来100张彩纸，每人发7张彩纸后，还剩多少张彩纸？ B．在为灾区小学生捐书活动中，六年级平均每班捐书100本，四年级平均每班比六年级少捐12本，四年级7个班共捐书多少本？ C．每千克苹果12元，食堂买了7千克苹果。如果付给售货员100元，需要找回多少元？ D．一本书共100页，丽丽每天看12页，看了一个星期后（按7天计算），还要再看多少页才能看完？ 【答案】B 【思路引导】计算100－12×7时，先算12×7，再算减法；据此逐项分析，找出不能用100－12×7的选项即可。 【规范解答】A．用12乘7，求出12名同学共需多少张彩纸，再用100减去12名同学共需的彩纸张数，求出还剩多少张彩纸，列式为：100－12×7。 B．用100减去12，求出四年级平均每班捐的本数，再乘7，即可解答，列式为：（100－12）×7。 C．用12乘7，求出7千克苹果的价钱，再用100减去7千克苹果的价钱，求出需要找回的价钱，列式为：100－12×7。 D．用12乘7，求出7天看的总页数，再用100减去7天看的总页数，求出还要再看多少页才能看完，列式为：100－12×7。 故答案为：B 【考点剖析】熟练掌握整数混合运算法则是解答此题的关键。 2．（23-24三年级上·四川成都·期末）一个长方形的花园周长是30米，长是11米，宽是( )米。 【答案】4 【思路引导】长方形周长＝（长＋宽）×2，逆用周长公式，用30除以2即可求出长与宽的和，再减去长即可求出这个长方形的宽。 【规范解答】30÷2－11 ＝15－11 ＝4（米） 宽是4米。 3．（24-25三年级下·福建厦门·期中）聪聪参加跑步打卡活动，一段时间内运动手环上的数据变化如下，聪聪在这段时间内平均每分钟跑多少米？    【答案】80米 【思路引导】根据题意，明确经过时间＝结束时间－开始时间，用16减去7，求出经过的时间；用1350减去630，求出聪聪跑的路程；根据速度＝路程÷时间，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 1350－630＝720（米） 16－7＝9（分） 720÷9＝80（米） 答：聪聪在这段时间内平均每分钟跑80米。 4．（24-25四年级上·河北保定·期末）“创意编程”是利用电脑进行的创造性活动，主要培养学习者用程序设计语言、思考和表达的能力。王老师为“创意编程”社团购买了一些物品，下图是购物小票。 （1）王老师买了多少个无线鼠标？ （2）王老师支付了4000元，应找回的金额是多少元？ 【答案】（1）30个 （2）40元 【思路引导】（1）总价÷单价＝数量，那么用960除以32可以计算出王老师买了多少个无线鼠标； （2）单价×数量＝总价，先用24乘125计算出125个电脑专用耳机的价格，再加上960计算出一共花的钱数，最后用4000减去一共花的钱数，计算出应找回的金额；据此解答。 【规范解答】（1）960÷32＝30（个） 答：王老师买了30个无线鼠标。 （2）24×125＋960 ＝3000＋960 ＝3960（元） 4000－3960＝40（元） 答：应找回的金额是40元。 5．（24-25三年级上·河北邯郸·期中）他们来到动物园门口，看到了票价信息。 （1）买3张儿童票和1张成人票，一共要花多少元？ （2）买2张成人票，付2张50元，应找回多少元？ 【答案】（1）90元 （2）28元 【思路引导】（1）根据题意，先用儿童每人的票价乘购买的张数，用成人每人的票价乘购买的张数，相加即可求出一共要花多少元。 （2）先用成人每人的票价乘2求出2张成人票多少钱，2张50元则用50×2求出一共付了多少钱，用付的钱数减去2张成人票的钱数，即可求出应找回多少元。 【规范解答】（1）3×18＋1×36 ＝54＋36 ＝90（元） 答：一共要花90元。 （2）2×50－2×36 ＝100－72 ＝28（元） 答：应找回28元。 6．（23-24三年级上·四川绵阳·期末）啄木鸟和青蛙一共吃了多少只虫？ 【答案】56只 【思路引导】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用8×6，求出啄木鸟吃虫子的数量，再用啄木鸟吃虫子的数量加上青蛙吃虫子的数量，即可求出啄木鸟和青蛙一共吃了多少只虫。 【规范解答】8×6＋8 ＝48＋8 ＝56（只） 答：啄木鸟和青蛙一共吃了56只虫。 C思维拓展 1．（23-24三年级下·重庆南川·期中）仓库里有一批粮食，第一天运出全部粮食的一半多10吨，第二天又运出余下的一半多10吨，这时仓库还剩下40吨，仓库里原来有粮食( )吨。 【答案】220 【思路引导】现在仓库剩下的粮食比第一天运走后余下的粮食的一半少10吨，则用现在仓库剩下粮食重量加上10吨，求出第一天运走后余下的粮食的一半，再乘2，求出第一天运走后余下的粮食重量。第一天运走后余下的粮食重量比全部粮食的一半少10吨，则用第一天运走后余下的粮食重量加上10吨，求出全部粮食的一半，再乘2，即可求出全部粮食的重量。 【规范解答】（40＋10）×2＋10 ＝50×2＋10 ＝100＋10 ＝110（吨） 110×2＝220（吨） 仓库里原来有粮食220吨。 2．（23-24三年级上·河南周口·期中）《三国演义》、《水浒传》、《西游记》和《红楼梦》是中国的四大名著，这四部著作经久不衰，是汉语文学中不可多得的经典作品。新华书店一套四大名著套装4本共92元，单买每本25元。套装比单买每本便宜( )元。 【答案】2 【思路引导】92除以4等于套装的四大名著平均每本的钱数，再用25减套装的四大名著平均每本的钱数即等于套装比单买每本便宜的钱，据此即可解答。 【规范解答】25－92÷4 ＝25－23 ＝2（元） 套装比单买每本便宜2元。 3．（23-24三年级上·安徽阜阳·期中）聪聪想买一双旱冰鞋和一顶太阳帽，一顶太阳帽16元，一双旱冰鞋的价钱是一顶太阳帽的5倍还多18元，这双旱冰鞋多少元？ 【答案】98元 【思路引导】根据题意，已知一顶太阳帽16元，一双旱冰鞋的价钱是一顶太阳帽的5倍还多18元，用16乘5再加上18即可求出旱冰鞋的价钱。 【规范解答】16×5＋18 ＝80＋18 ＝98（元） 答：这双旱冰鞋98元。 4．（23-24三年级上·甘肃定西·期中）李阿姨以每件90元的价格购进 A、B两种款式的上衣各6件。按下面的售价全部卖完后，哪一款衣服赚钱多？多赚了多少元？ 【答案】A款赚钱多；多赚了180元 【思路引导】根据利润＝售价－成本，先用A款的售价120减去90计算出李阿姨每卖一件A款赚的钱，然后用李阿姨每卖一件A款赚的钱乘6，求出A款赚钱，再用B款的售价100减去90计算出李阿姨每卖一件B款赚的钱，然后用李阿姨每卖一件B款赚的钱乘6，求出B款赚钱，将A、B两种款式赚的钱数进行比较，看哪一款衣服赚钱多。 【规范解答】A款：（120－90）×6 ＝30×6 ＝ 180（元） B款：（100－90）×6 ＝10×6 ＝ 60（元） 180元＞60元 所以A款赚钱多，赚了180元。 答：A款赚钱多，赚了180元。 5．（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）在学校的运动会上，四（1）班的同学取得了优异的成绩（获奖人数见下表）。为此，班主任老师准备用350元给他们购买奖品。请你帮班主任老师设计一种购买方案并说明理由。 第一名 第二名 第三名 鼓励奖 3人 4人 6人 12人 【答案】购买的方案是：买3副羽毛球拍，4个计算器，6个铅笔盒，12支圆珠笔。（答案不唯一） 理由：体现了不同名次奖品的差异，既有体育锻炼的奖品，又有学习用品，兼顾了学生的兴趣爱好，又保证所有奖品的钱数不超过350元。 【思路引导】为了体现不同名次的差异，可以为第一名3人购买羽毛球拍共3副，为第二名4人购买计算器共4个，为第三名6人购买铅笔盒共6个，为第四名12人购买圆珠笔共12支；再根据单价×数量＝总价，先分别计算出4种奖品的总价，再相加得到一共需要的钱数，只要不超350元都是可以的。据此解答。 【规范解答】35×3＋22×4＋18×6＋4×12 ＝105＋88＋108＋48 ＝193＋108＋48 ＝301＋48 ＝349（元） 答：购买的方案是：买3副羽毛球拍，4个计算器，6个铅笔盒，12支圆珠笔。（答案不唯一） 理由：体现了不同名次奖品的差异，既有体育锻炼的奖品，又有学习用品，兼顾了学生的兴趣爱好，又保证所有奖品的钱数不超过350元。 6．（2022四年级下·全国·专题练习）苹果每箱30千克，梨每箱25千克。水果店卖出苹果和梨各20箱，卖出的苹果比梨多多少千克？两位同学分别作了如下解答： 小芳：30×20－25×20 ＝600－500 ＝100（千克） 小东：（30－25）×20 ＝5×20 ＝100（千克） （1）你觉得哪些同学的解法正确？在相应的名字上面画“√”。 （2）在你认为正确的解法中，你喜欢谁的？请你用文字说明这种解法的思路。 【答案】（1）两位同学的解法都正确，见详解 （2）我喜欢小东的解法，先算出每箱苹果和每箱梨相差多少千克，又已知苹果和梨都卖出20箱，用相差的重量乘卖出的总箱数即可得到卖出的苹果比卖出的梨多多少千克。（答案不唯一） 【思路引导】根据给出的两位同学的算式，小芳是先算出各自的重量再相减，小东是先算出两者一箱的差值，再算总差值，据此解答即可。 【规范解答】（1）两位同学的解法都正确 √小芳：30×20－25×20 ＝600－500 ＝100（千克） √小东：（30－25）×20 ＝5×20 ＝100（千克） （2）我喜欢小东的解法，先算出每箱苹果和每箱梨相差多少千克，又已知苹果和梨都卖出20箱，用相差的重量乘卖出的总箱数即可得到卖出的苹果比卖出的梨多多少千克。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要借助不同的解答方法，考查了数学知识的综合应用。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 混合运算与数量关系（一） （6个类型题讲练+三大难度分层练 共33题） 第一部分：类型题讲练 知识点01：乘加、乘减混合运算 典型题型特征：需分步计算乘法与加减法的组合问题 应用场景1：实际问题转化能力 例：购物场景 题目示例：文具店每支钢笔12元，小明买了3支后付款50元，应找回多少元？ 12×3=36元 → 50−36=14元 需学生将“单价×数量=总价”的数学关系转化为“50−12×3”的算式。 应用场景2：分阶段分配问题的计算 例：排队问题 题目示例：活动站原有18人，每辆观光车可坐5人，4辆车出发后，还剩下多少人？ 总人数−已运人数=剩余人数 → 18−5×4=18−20=−2（需逆向分析错误提示） 解题策略：先定位乘法核心量（单价、每份数），再结合加减运算处理总量或剩余量。 知识点02：除加、除减混合运算 典型题型特征：涉及平均分配后的增减调整 应用场景1：余数处理的实际应用 例：货物运输 题目示例：农场要运72箱苹果，每辆卡车可装8箱，已用5辆卡车，还需装多少箱？ 72÷8=9辆（总需要）→ (9−5)×8=32箱 或直接计算72−8×5=32箱。 应用场景2： 优惠叠加计算 例：促销活动 题目示例：餐厅消费满100元减20元，小明买4份单价25元的套餐，实际支付多少？ 25×4=100元 → 100−20=80元（隐含的除减结合：总价满足条件时自动触发优惠）。 解题关键：分清除法的“均分”本质，结合加减解决余数或特殊条件的影响。 知识点03：带有小括号的混合运算 典型题型特征：需调整运算顺序的复杂场景 应用场景1： 优先级应用与逆向分析 例：租船问题 题目示例：48人租船，大船限乘6人（每条30元），小船限乘4人（每条24元），如何组合最省钱？ 需构造公式30×(总人数÷6)+余数处理并与小船方案比较，突出小括号调整计算顺序的必要性。 应用场景2：多步骤问题分组合并 例：体育器材分配 题目示例：班级共有60本书，先分给5个小组各8本，剩下的平均分给4个学生，每人分几本？ 剩余数：(60−5×8)=20本 → 每人分20÷4=5本 → 合并式 (60−5×8)÷4。 重点训练：通过小括号明确逻辑层次，解决需分步组合的实际问题。 类型1 购物问题（乘加、乘减混合运算） 典型例题1：（24-25三年级下·江苏常州·期中）国庆75周年庆祝会现场，老师为同学们准备了一些水果，其中苹果45千克，香蕉比苹果少12千克，葡萄的千克数是苹果的3倍。苹果和葡萄一共有多少千克？ （1）先在下图中画出表示葡萄的线段，并在图中表示出条件和问题，再解答。 苹果：                                 葡萄：                                                 （2）请你再提出一个两步计算解决的问题，并解答。 思路分析：（1）葡萄的千克数是苹果的3倍，画与苹果线段等长的3条线段，再标出条件和问题； ＝苹果和葡萄一共有多少千克； （2）问题：香蕉和苹果一共有多少千克？（两步计算） 苹果45千克－香蕉比苹果少12千克＋苹果45千克＝香蕉和苹果一共有多少千克； 答题区： 变式训练：（24-25三年级上·新疆喀什·期末）有6个羽毛球，乒乓球的个数比羽毛球的5倍多4个，乒乓球有( )个。 类型2 倍数问题（乘加、乘减混合运算） 典型例题1：（24-25三年级下·四川巴中·期中）（如图）王大爷家白菜地中间有一条宽为1米的路。 （1）白菜种植部分的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米收白菜7千克，每千克白菜卖2元钱，这块地的白菜一共可以卖多少钱？ 思路分析：（1）根据长方形的面积＝ ，分别求出 以及 ，再用 减去 ，求出白菜种植部分的面积。 （2）用白菜种植部分的面积乘 ，求出白菜总重量，再 ，求出这些白菜的总售价。 答题区： 变式训练1：（23-24三年级下·重庆丰都·期末）滨江小学后勤李主任按照学校要求，带了540元钱到某文具店购买了9个同样的足球，已知足球单价为整元。买完足球后，李主任的钱还没花完，他至少还剩多少元钱？ 变式训练2：（24-25三年级下·广东佛山·期中）2025年春节电影档在中国大陆上映动画电影《哪吒之魔童闹海》。该电影上映不足一个月票房已位于全球前十位，它主要描述哪吒的成长和父母的爱意永不缺席，非常适合一家人去观影。周末下午，爸爸、妈妈、小雨和姐姐到达万达电影院观看这场电影。他们对电影中的情节和角色充满期待，希望能度过一个充实而有意义的周末。7号厅是IMAX（巨幕）厅，能坐下262位观众，它的座位数是5号厅的2倍。请仔细阅读材料，解决下面问题： （1）下图是小雨的电影票，张小红在7排16座，张小红的位置在小雨的（    ）方向。 （2）如图是6号厅的座位分布图，一共有多少个座位？ （3）5号厅有多少个座位？ （4）小雨一家花费了248元购买这场电影的票，每一张电影票的价格是多少钱？ 类型3 购物问题（除加、除减混合运算） 典型例题3：（24-25三年级下·广东江门·期中）李老师买了4台复读机，共花了556元，1部学习机265元，1部学习机比1台复读机贵多少元？ 思路引导：根据题意，用复读机共花的钱 台数等于 。再用1部学习机的价 格 1台复读机的价格就是贵多少元。 答题区： 变式训练1：（23-24三年级下·江苏泰州·期中）小林家去年全年一共缴纳电费1200元，上半年缴纳电费576元。 （1）下半年平均每月缴纳电费多少元？ （2）上半年比下半年平均每月节省电费多少元？ 变式训练2：（24-25三年级上·重庆九龙坡·期末）中午，陈阿姨和一位同事一起订了一份双人餐，需付27元，刚好外卖平台赠送了一张满25元减9元的优惠券（如图）。使用优惠券后，平均每人要付多少钱？ 类型4 倍数问题（除加、除减混合运算） 典型例题4：（24-25三年级上·四川成都·期中）王叔叔是送餐员，张叔叔是快递员。张叔叔今天送了多少单快递？ 思路引导：用210÷3求出王叔叔平均每天送的单数，王叔叔平均每天送的单数比张叔叔今天多7单，用王叔叔平均每天送的单数 就是 答题区： 变式训练1：（23-24三年级上·浙江金华·期末）在下面解决问题中，不能用算式（40－16）÷4解决的是（    ）。 A．三年级4个班要种植40棵树，已经种了16棵，剩下的平均每个班要种多少棵？ B．三（1）班共有学生40人，女生16人，将男生4人分成一组，可以分成几组？ C．一本40页的书，小兰4天共看了16页，小兰平均每天看多少页？ 变式训练2：（21-22三年级上·辽宁·课后作业）水果店运来63箱苹果，7箱桔子，如果苹果的箱数不变，再运 箱桔子，苹果的箱数是桔子的7倍。 类型5 购物问题（带有小括号的混合运算） 典型例题5：（23-24二年级下·湖南长沙·期末）奇奇和他的5个好朋友一起在游乐园坐小火车，共花了30元，平均每个小朋友花了多少元钱？ 思路引导：先用加法算出总人数，最后用一共花的钱数除以 即可求出 钱。 答题区： 变式训练1：（24-25三年级下·广东深圳·期中）花店准备开张了，李叔叔运来了10车盆栽。每辆车装有13盆发财树和27盆蝴蝶兰。每盆发财树60元，每盆蝴蝶兰70元。 （1）李叔叔一共运来了多少盆盆栽？ （2）请你再提出一个数学问题，并尝试解答。 变式训练2：（24-25三年级下·山东济南·期中）小红如果买1支钢笔和3本笔记本，共付16元；如果买1支钢笔和5本笔记本，共付20元。想一想：一支钢笔( )元，1本笔记本( )元。 类型6 倍数问题（带有小括号的混合运算） 典型例题6：（24-25三年级上·福建泉州·期中）在学校开展的“阳光少年齐争章”活动中，毛毛取得了35个劳动章，丫丫取得的劳动章比毛毛少28个，毛毛取得的劳动章个数是丫丫的几倍？ 思路引导：根据题意，用毛毛取得劳动章的个数减去 ，先求出丫丫取得劳动章的个数，再用毛毛取得的劳动章个数 丫丫取得的劳动章个数即可解答。 答题区： 变式训练1：（24-25三年级上·江苏徐州·期中）在延时服务课中，轮滑队有20人，啦啦操队人数比轮滑队人数少5人，花样跳绳队的人数是啦啦操队人数的3倍。花样跳绳队有多少人？ 变式训练2：（24-25三年级上·河南周口·期中）妈妈看一本小说，第一周看了53页，第二周看的页数是第一周的2倍，第三周看的是前两周的页数总数的2倍，妈妈第三周看了多少页？ 第二部分：难度分层训练 第二部分：难度分层训练 A夯实基础 1．（23-24三年级上·浙江金华·期末）在下面解决问题中，不能用算式（40－16）÷4解决的是（    ）。 A．三年级4个班要种植40棵树，已经种了16棵，剩下的平均每个班要种多少棵？ B．三（1）班共有学生40人，女生16人，将男生4人分成一组，可以分成几组？ C．一本40页的书，小兰4天共看了16页，小兰平均每天看多少页？ 2．（23-24三年级上·重庆九龙坡·期末）下面问题中不能用“100－12×7”解决的是（    ）。 A．小明有100元钱，买一个魔方用了12元，如果用剩下的钱买7元一个的笔袋，可以买几个？ B．一本书共100页，刘丽每天看12页，看了一个星期后（按7天计算），还要再看多少页才能看完？ C．折纸兴趣小组有12名同学，张老师带来100张彩纸，每人发7张彩纸后，还剩多少张彩纸？ D．每千克苹果12元，食堂买了7千克苹果，付给售货员100元，需要找回多少元？ 3．（24-25二年级下·辽宁鞍山·期中）用过的易拉罐可以变废为宝。在手工课上，老师教同学们用收集的易拉罐做小火车。如图，如果全部做成左边的小火车，正好可以做6辆。如果全部做成右边的小火车，可以做几辆？ 4．（24-25三年级下·河南南阳·期中）体育用品商店有26个足球，排球的数量比足球数量的3倍少6个，商店有足球和排球一共多少个？ 5．（24-25三年级上·河南新乡·期末）刺绣在我国至少有三千年历史，主要有苏绣、湘绣、蜀绣和粤绣四大门类。 （1）张阿姨耗时一年完成了一幅《锦绣山河》的蜀绣。这幅作品长15米，比宽长6米，这幅作品的周长是多少米？ （2）李阿姨原来绣一套梅兰竹菊绣屏需要128元材料，由于材料费用上涨，现在绣一套梅兰竹菊比原来多用37元，现在李阿姨完成9套订单需要多少元的材料？ 6．（24-25三年级上·山东德州·期末）2024年巴黎奥运会中，中国乒乓球队顶着巨大的压力包揽所有项目冠军，乐乐被运动员们的拼搏精神所鼓舞，报名参加乒乓球训练。 （1）乐乐和教练去购买乒乓球，一个乒乓球重4克。如果买500个，一共重多少克？合多少千克？ （2）为了回谢顾客，老板又赠了16个乒乓球，如果将这些乒乓球每6个装一盒，需要多少个盒子？ （3）一副球拍的价格是99元，如果买9副，900元钱够吗？ B培优拔高 1．（21-22三年级上·山西吕梁·期末）下面问题中不能用解决的是（    ）。 A．折纸兴趣小组有12名同学，张老师带来100张彩纸，每人发7张彩纸后，还剩多少张彩纸？ B．在为灾区小学生捐书活动中，六年级平均每班捐书100本，四年级平均每班比六年级少捐12本，四年级7个班共捐书多少本？ C．每千克苹果12元，食堂买了7千克苹果。如果付给售货员100元，需要找回多少元？ D．一本书共100页，丽丽每天看12页，看了一个星期后（按7天计算），还要再看多少页才能看完？ 2．（23-24三年级上·四川成都·期末）一个长方形的花园周长是30米，长是11米，宽是( )米。 3．（24-25三年级下·福建厦门·期中）聪聪参加跑步打卡活动，一段时间内运动手环上的数据变化如下，聪聪在这段时间内平均每分钟跑多少米？    4．（24-25四年级上·河北保定·期末）“创意编程”是利用电脑进行的创造性活动，主要培养学习者用程序设计语言、思考和表达的能力。王老师为“创意编程”社团购买了一些物品，下图是购物小票。 （1）王老师买了多少个无线鼠标？ （2）王老师支付了4000元，应找回的金额是多少元？ 5．（24-25三年级上·河北邯郸·期中）他们来到动物园门口，看到了票价信息。 （1）买3张儿童票和1张成人票，一共要花多少元？ （2）买2张成人票，付2张50元，应找回多少元？ 6．（23-24三年级上·四川绵阳·期末）啄木鸟和青蛙一共吃了多少只虫？ C思维拓展 1．（23-24三年级下·重庆南川·期中）仓库里有一批粮食，第一天运出全部粮食的一半多10吨，第二天又运出余下的一半多10吨，这时仓库还剩下40吨，仓库里原来有粮食( )吨。 2．（23-24三年级上·河南周口·期中）《三国演义》、《水浒传》、《西游记》和《红楼梦》是中国的四大名著，这四部著作经久不衰，是汉语文学中不可多得的经典作品。新华书店一套四大名著套装4本共92元，单买每本25元。套装比单买每本便宜( )元。 3．（23-24三年级上·安徽阜阳·期中）聪聪想买一双旱冰鞋和一顶太阳帽，一顶太阳帽16元，一双旱冰鞋的价钱是一顶太阳帽的5倍还多18元，这双旱冰鞋多少元？ 4．（23-24三年级上·甘肃定西·期中）李阿姨以每件90元的价格购进 A、B两种款式的上衣各6件。按下面的售价全部卖完后，哪一款衣服赚钱多？多赚了多少元？ 5．（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）在学校的运动会上，四（1）班的同学取得了优异的成绩（获奖人数见下表）。为此，班主任老师准备用350元给他们购买奖品。请你帮班主任老师设计一种购买方案并说明理由。 第一名 第二名 第三名 鼓励奖 3人 4人 6人 12人 6．（2022四年级下·全国·专题练习）苹果每箱30千克，梨每箱25千克。水果店卖出苹果和梨各20箱，卖出的苹果比梨多多少千克？两位同学分别作了如下解答： 小芳：30×20－25×20 ＝600－500 ＝100（千克） 小东：（30－25）×20 ＝5×20 ＝100（千克） （1）你觉得哪些同学的解法正确？在相应的名字上面画“√”。 （2）在你认为正确的解法中，你喜欢谁的？请你用文字说明这种解法的思路。 第 12 页 共 42 页 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