【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项14 二次函数）

【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项14 二次函数） 一．选择题（共6小题） 1．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 2．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 3．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 4．（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 5．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 二．填空题（共1小题） 7．（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可） 三．解答题（共25小题） 8．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 9．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 10．（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 11．（2025•福建）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 12．（2025•云南）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T． （1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值； （2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小． 13．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 15．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 16．（2025•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线于y轴交于点C． （1）求b和c的值． （2）另一条抛物线y＝ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D． ①求的值； ②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值． 17．（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 18．（2025•内蒙古）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 19．（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）； ①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；　 　 ②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；　 　 ③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．　 　 （2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 20．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 21．（2025•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； （3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF． ①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值． 22．（2025•湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 23．（2025•江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是　 　 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件． 探究2 （3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 24．（2025•深圳）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 25．（2025•辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形ABCD）； 2．底部跨度（AD的长）为8m； 3．立柱OE的长为2m，且OE⊥AD，垂足为O，AO＝OD． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在A，D间增加两根与AD垂直的立柱，垂足分别为M1，M2，立柱的另一端点N1，N2在抛物线形框架结构上，其中AM1＝M2D＝1m． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点E的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为y＝ax2+2，分析数据得到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算．判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 26．（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 27．（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在L1上，到x轴的距离为．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． （3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值． 28．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 29．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当m＜3时， ①求证：DE＝2CE； ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值． （3）二次函数y1（x﹣1）2+1（x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当x≤t﹣n时，函数y3的最小值为，最大值为t，求n的取值范围． 30．（2025•湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 31．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 32．（2025•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项14 二次函数） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D D B C C 一．选择题（共6小题） 1．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 2．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 3．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225﹣PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 4．（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【解答】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 5．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为点M在AD上的运动时间为，点N在CB上的运动时间为16s， ①当t＝6s时，点M在AD上， 此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm， ∴DM＝AD﹣AM＝6cm， ∴CN＝DM，故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 此时BM＝2t cm，CN＝t cm， ∴BN＝（16﹣t）cm， ∴2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64， ∵﹣1＜0， ∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大， ∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误； ③当点M在AB上时， ∵△BMN的面积为39cm2， ∴， 解得：t1＝3，t2＝13（舍去）， ∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2； 当点M在AD上时， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD， 此时． 解得：， ∴当时，△BMN的面积为39cm2； ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确． 故选：C． 6．（2025•安徽）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 二．填空题（共1小题） 7．（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 三．解答题（共25小题） 8．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 【解答】解：（1）∵BO＝4m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4）， 设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4， ∵AC＝16m， 结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0）， 将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4， 得0＝64a+4， 则， ∴； （2）由（1）得抛物线L1的函数表达式， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.，且抛物线L3的函数表达式为， ∴， 整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24， ∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24， ∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0， 解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12（m）． 9．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 10．（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为k cm，由题意，设新的函数解析式为：y60+k， 由题可知A（80，57），B（80，0），C（120，48），D（120，0）， ∴直线AD的解析式为yx+75（80≤x≤120）， ∴hx﹣75x2x+k﹣75， ∵对称轴为直线x＝92，80≤x≤120， ∴当x＝120时，h有最小值3， ∴x2x+k﹣75＝3， 解得k＝6， 解得：k＝6， 故该平台的高度为6cm． 11．（2025•福建）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【解答】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象的对称轴为直线， ∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）①解：由（1）可得， ∵b＝﹣3a， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax﹣2， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴a＜0，且， 解得a＝﹣1，或a＝4（舍去）， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2， ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x﹣2的图象上， ∴， 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称，不妨设x1＜x2， 则，即x1+x2＝3， ∴ ＝0， ∴． 12．（2025•云南）已知a是常数，函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1，记T． （1）若x＝﹣4，a＝1，求y的值； （2）若x＝3a+2，y＝1，比较T与3的大小． 【解答】解：（1）把x＝﹣4，a＝1代入函数y＝（x+4）（x﹣a2+a﹣3）+1， 得y＝（﹣4+4）（﹣4﹣12+1﹣3）+1＝1， ∴y的值为1； （2）将x＝3a+2，y＝1代入函数， 得（3a+2+4）（3a+2﹣a2+a﹣3）+1＝1， 整理得：﹣3（a+2）（a2﹣4a+1）＝0， ①当a+2＝0时，即a＝﹣2， ∴， ②当a2﹣4a+1＝0时，a≠0， 则有a2＝4a﹣1， ∵a2+1＝4a， ∴a4， ∴T ， 综上可知：当a＝﹣2时，T＜3；当a2﹣4a+1＝0时，T＞3． 13．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， 则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x； （2）当k＝1时，则y＝x﹣1， ∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1， ∴D（0，﹣1），E（2，1）， ∵y＝（x﹣h）2﹣1， ∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动， ∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点， ∴联立， 整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0， ∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0， 即时，满足题意， 将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点， ∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1， 解得：， ∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点； （3）存在， ∵y＝kx﹣k， ∴当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点C在抛物线的对称轴上， ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的解析式为：，即：， 联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0， ∴xA+xB＝k+2，， ∵M为AB的中点， ∴M， 联立， 同理可得：N， 作MH⊥CT，NF⊥CT， ∵TC 平分∠MTN， ∴∠NTF＝∠MTH， ∴tan∠NTF＝tan∠MTH， ∴， 设T（1，t），则， 解得：， ∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN． 14．（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【解答】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又∵x1＝x2， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ∴， 故y2＞y1； ②由题意知，，， ∵， ∴， ∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． ∴， 依题意知，是与x1无关的定值． 不妨将x1＝1和x1＝2分别代入，可得2﹣3a＝1﹣a， 解得， 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． ∴，b＝﹣4a＝﹣2． 15．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5， 得：1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xc＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， 即n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 16．（2025•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线于y轴交于点C． （1）求b和c的值． （2）另一条抛物线y＝ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D． ①求的值； ②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值． 【解答】解：（1）将A（1，1），B（3，1）代入y＝x2+bx+c中， ∴， ∴； （2）①将A（1，1），B（3，1）代入y＝ax2+mx+n（a≠1）中， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a， ∵抛物线与y轴交于点D， ∴D（0，3a+1），顶点Q（2，1﹣a）， 由（1）可知：y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（0，4），P（2，0）， ∴CD＝|3a﹣3|，PQ＝|a﹣1|， ∴； ②a．当CD⊥PD时，如图所示，D（0，0）， ∴3a+1＝0， ∴a， ∴Q（2，）， ∴∠QCD为最小内角， 过点Q作QM⊥CD于点M， ∴M（0，）， ∴QM＝2，CM，CQ， ∴sin∠QCD； b．当CD⊥CQ时，如图所示，Q（2，4）， ∴1﹣a＝4， ∴a＝﹣3， ∴D（0，﹣8）， ∴∠CDP为最小内角， 过点P作PN⊥CD于点N， ∴N（0，0）， ∴PN＝2，DN＝8，PD， ∴sin∠CDP； 综上所述：最小的角的正弦值为或． 17．（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 【解答】解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）； （II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a， 又∵a＝﹣2，点C（0，c）， ∴OC＝c＝b+2，AO＝1， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2， 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H， ∴∠AHD＝90°， ∴∠HAD+∠ADH＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO， 又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°， ∴△ADH≌△CAO（AAS）， ∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2， ∵OH＝AH﹣AO， ∴OH＝b+2﹣1＝b+1， ∴点D的坐标为（b+1，﹣1）， ∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上， ∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2， 整理得，b2+2b﹣1＝0， 解得， ∵b＞0， ∴不合，舍去， ∴， ∴点D的坐标为； ②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0， ∴c＞0，m＞1， 在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC． ∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA． ∵∠CAB＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠CGA． ∴CG＝CB，则GO＝OB． 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2， ∴， ∴， ∴． 又∵点B（m，0），得OB＝m． ∴，即c2＝m2﹣2m， 根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF． 又∵▱ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF． ∴CE+CF＝BF+CF≥BC． ∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值，即， 在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2， ∴m2+c2＝24． 将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24． 解得m1＝4，m2＝﹣3（舍）， ∴， ∴点B（4，0），， ∴直线BC的解析式为． 设点F的横坐标为x0，则4﹣x0＝x0﹣（﹣1）， 得， ∴点F的坐标为． ∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， ∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移个单位得到的， ∴点E的坐标为． 18．（2025•内蒙古）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm， ∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD， ∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）； （2）∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，，∠DNP＝∠APN＝90°， ∴四边形DAPN是矩形， ∴NP＝AD＝6， ∵抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴， ∴MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），QP＝4cm， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）， 分别设抛物线L1和L2的表达式为，， 将D（0，6）代入， 解得， 则抛物线L1的表达式为； 将A（0，0）代入， 解得； 则抛物线L2的表达式为； （3）∵装置整体图案为轴对称图形， ∴EF⊥MG，HG⊥MG， ∵MQ⊥x轴， ∴EF∥HG∥x轴， ∵EFGH是矩形， ∴HE⊥EF， ∴HE⊥x轴， ∴xE＝xH， 设xE＝xH＝n， ∴，， ∴， 解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍）， ∴xE＝2， 由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4． 19．（2025•长沙）我们约定：当x1，y1，x2，y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）； ①函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；　✓　 ②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；　✓　 ③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．　×　 （2）若关于x的一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1，b2都是常数，且b1•b2＜0）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）①设函数y图象上任意一点（m，），可知（，﹣m）也在函数y图象上， 而（m，）与（，﹣m）是“对偶点”， ∴函数y（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； 故答案为：✓； ②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”， ∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1， 解得n＝1， 此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义， ∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”， 故答案为：✓； ③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”， ∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t， 变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝1，t31，t41， 当t1＝﹣1或t2＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意； 当t31，t41时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合“对偶点”定义； ∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”， 故答案为：×； （2）由题意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，则点（x1，y1）与点（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一对“对偶点”， ∵y＝k1x+b1是“对偶函数”， ∴其图象上必存在一对“对偶点”，有，两式相减可得k1＝1， 同理可得k2＝1， ∴两个一次函数为y＝x+b1，y＝x+b2， ∵b1，b2都是常数，且b1•b2＜0， ∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如图： ∴其面积之和S； （3）由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，有， 两式相减可得， ∴， 代入①整理可得2x11＝0， ∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”， ∴关于x1的一元二次方程2x11＝0必有实数根， 而Δ＝1﹣8a（1）＝8a﹣3， 当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a，由x10可得x1， ∴y1（）2﹣1， ∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去； ∴必有Δ＝﹣3+8a＞0， 解得． 20．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， 则； （3）如图所示，QM经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为， 纵坐标为， 该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ， ∴△PON∽△OQD，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，OD＝2， 则，即， 解得， ①当时， 即为如图所示， 此时， 点Q在第四象限， 故； ②如图所示， 当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时， 故； 综上，或； （4）①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E， 由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE， ∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1， ∴当点P向左运动时，满足题意， ∴m≤﹣1； ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E， 同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意， 当x2﹣2x﹣1＝0时， 解得，x2＝1， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限， 思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或 此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； 综上，当m≤﹣1或或时，符合题意． 21．（2025•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； （3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF． ①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值． 【解答】解：（1）把B（0，﹣4），代入y＝a（）（x﹣4）（a≠0）， 得﹣10a＝﹣4， 解得：， ∴y； （2）当y0时， 则，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵M是OA的中点， ∴M（2，0）， ∴OM＝2， ∵B（0，﹣4）， ∴设直线AB的解析式为：y＝kx﹣4，把A（4，0），代入， 得k＝1， ∴y＝x﹣4， ∵点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D， ∴C（2，﹣2），D（2，）， ∴， ∴△BCD的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接BF，作FQ⊥OB于点Q， 由（2）可知：OA＝OB＝4， ∴∠OAB＝∠OBA＝45° ∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF， ∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA， ∴∠AOE＝∠BOF， 又∵OA＝OB，OE＝OF， ∴△AOE≌△BOF（SAS）， ∴∠OBF＝∠OAE＝45°，， ∵FQ⊥OB， ∴△FQB为等腰直角三角形， ∴， ∴OQ＝OB﹣BQ＝3， ∴F（﹣1，﹣3）， 对于， 当x＝﹣1时，， ∴点F在抛物线上； ②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图， ∵∠OPA＝90°，M为OA的中点， ∴， ∵PF≥MF﹣PM， ∴当M，P，F三点共线时，PF最小， 同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°， ∴点F在射线BG上运动， ∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM， ∵∠OBG＝45°， ∴△OBG为等腰直角三角形， ∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45° ∴MG＝OG+OM＝6，△MHG为等腰直角三角形， ∴， ∴PF的最小值为． 22．（2025•湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入， 得， ∴， （2）由（1）可知：， ∴T（1，﹣2）， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t，， ∴； （3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2），，对称轴为直线x＝1， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴0＜t＜3， 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，， ∴； ∵， ∴， 解得：（舍去）或t， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣22， 综上： 23．（2025•江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是　③　 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件． 探究2 （3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【解答】解：（1）①对于y＝x+2， 由于m≠m+2， 所以y＝x+2不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于y＝﹣3x+2，代入点（m，m）， 得m＝﹣3m+2， 解得， 所以y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”， ∴代入点（m，m）， 得m＝mk+b， 整理得（1﹣k）m＝b， 当1﹣k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数； 当1﹣k＝0即k＝1时，b＝0； （3）由抛物线y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2+c﹣b2得， 顶点坐标为（b，c﹣b2）， ∵抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴b＝c﹣b2； （4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72， ∴令x＝﹣x2+18x﹣72， 整理得x2﹣17x+72＝0， 解得x1＝8，x2＝9， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 24．（2025•深圳）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 25．（2025•辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形ABCD）； 2．底部跨度（AD的长）为8m； 3．立柱OE的长为2m，且OE⊥AD，垂足为O，AO＝OD． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在A，D间增加两根与AD垂直的立柱，垂足分别为M1，M2，立柱的另一端点N1，N2在抛物线形框架结构上，其中AM1＝M2D＝1m． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点E的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为y＝ax2+2，分析数据得到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算．判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 【解答】解：（1）由条件可得AD＝8，OA＝OD＝4， ∴A（﹣4，0）， 由条件可得：0＝16a+2， ∴， ∴； （2）OM1＝OM2＝3， ∴N1，N2关于y轴对称， ∵， ∴当x＝3时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 26．（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 27．（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在L1上，到x轴的距离为．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． （3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P， ∴， 解得：b＝6，c＝3， ∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12， ∴P（3，12）； （2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为， 则， ∴当时，， 解得：或， ∴或， ∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点，对称轴为直线x＝3， ∴L2经过点和， ∴L2不能经过点D， （3）①∵A（0，3），P（3，12）， 当E，P重合时，则E（3，12）， ∵M是AE的中点， ∴， ∵点恰好落在L2上，L2经过点， ∴， 解得：； ②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3）， ∴n＝3， ∴直线AE的解析式为y＝kx+3， ∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点， ∴， ∴， ∴， 联立， 消去y得，， ∴，则， ∵点M的横坐标是点E横坐标的一半， ∴，即， 将E代入y＝﹣x2+6x+3， ∴ ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴②， 联立①②得：或， 当时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 28．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如下图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点B在y轴右侧，如下图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点B在y轴左侧，如下图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为． 29．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当m＜3时， ①求证：DE＝2CE； ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值． （3）二次函数y1（x﹣1）2+1（x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当x≤t﹣n时，函数y3的最小值为，最大值为t，求n的取值范围． 【解答】解：（1）令， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（3，0）， 将代入，得， ∴， 将A（3，0），分别代入，得 ， 解得． 答：点A的坐标为（3，0），a，c的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ，解得， ∴， 设点E的坐标为， ∵， ∴， 将x＝m代入y1得， 将x＝m代入y2，得， ∴， ， ∴DE＝2CE； ②如图： 当AC∥DB时，△ACE∽△BDE， ∴， ∴， 即，解得． 当AD∥BC时，△BCE∽△ADE， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）由条件可知， ∴当时，y随x的增大而增大；当1＜x＜3时，y随x的增大而减小； 当x≥3时，y随x的增大而增大．且当时，y3取得最小值． ∵当时，函数y3的最小值为，最大值为， ∴当时，y3取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数y3的最大值为， ∴当x＝1时，函数y3的最大值为，即， 解得； 当y2＝1时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴，化简得， 解得，． 30．（2025•湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 【解答】解：（1）把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中， 得﹣4a＝2，故a， 故此二次函数的表达式为y． （2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x， 由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2）， 故PB2x1﹣x1x1，QCx2， ∵PB＞QC，即x1， 整理可得（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0， 故（x2+x1）＞1， 即x1+x2＞2； 选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3）， 故RDx3， ∵PB＞RD，即x1x3， 整理可得（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0， 故（x3+x1）＜1， 即x1+x3＜2； （3）由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1， 设直线AP交y轴于点G，如图2所示， 则OG＝x1＝OT， ∵∠GOA＝∠TOA＝45°， 在△GOA和△TOA中， ， ∴△GOA≌△TOA（SAS）， ∴∠PAO＝∠TAO， ∵∠AMN＝∠PAO， ∴∠AMN＝∠TAO， ∵AO2MN， 在△TOA和△TNM中， ， ∴△TOA≌△TNM（AAS）， ∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1， 作QH⊥x轴于点H， 则tan∠QTH， 又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO， 即， ∴OQ1＝（）x1． ∵T（x1，0），R（x1，）， ∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x， 即OR1， ∴R1Q1＝OQ1+OR1， ∴t＝R1Q1﹣ON2x1， 故当x1时，t的最大值为． 即当x时，t的最大值为． 31．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3． 故点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 故解得， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3． （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中， 可得，， ∴， 配方得． 故当时，y1+2y2的最大值为10． 故不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一得． 当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0． ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′， 则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4． ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）． ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0）， 点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）． ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|． ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°． ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP． ∴， ∴，即MD＝ND． ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D∽△NN′D． ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）． ∴m2﹣3m＝﹣m2﹣m+2，即m2﹣m﹣1＝0， 解得或． 32．（2025•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 把（6，0）代入得， 解得， ∴； （2）令x＝0，则y＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把（6，0）和（0，﹣6）代入得， 解得， ∴y＝x﹣6， 设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，如图， 则点F的坐标为（x，x﹣6）， ∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x， ∵PF∥y轴， ∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ， ∴△QPF∽△QOC， ∴， ∴当x＝3时，取得最大值为，这时点P的坐标为（3，﹣12）， 把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为（3，﹣8），连接GD， 则四边形DEPG是平行四边形， ∴DG＝PE， 即BD+PE＝BD+DG， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为（﹣1，0）， 连接AG，则BD+PE＝BD+DG的最小值为AG长， 即， 即BD+PE的最小值为； （3）∵AB＝AC＝6， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移个单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线y′， 即， 过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连接PM， 设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14）， 由平移得∠QPM＝45°， ∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB， 如图1， ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即， 解得a＝﹣5（舍去）或a＝2， ∴点N的坐标为（2，﹣12）； 如图2， ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即， 解得或（舍去）， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为（2，﹣12）或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$