【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项13 反比例函数）

【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项13 反比例函数） 一．选择题（共11小题） 1．（2025•重庆）反比例函数y的图象一定经过的点是（　　） A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2） 2．（2025•湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．在（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 3．（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 4．（2025•云南）若点（1，2）在反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 7．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 8．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 9．（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 10．（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 11．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 二．填空题（共6小题） 12．（2025•福建）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　 　 ． 13．（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　 　 ． 14．（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　 　 ． 15．（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）． 16．（2025•甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　 　 （请写出一个符合条件的k值）． 17．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π） 三．解答题（共8小题） 18．（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 19．（2025•甘肃）如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数y的表达式； （2）当△ABC的面积为3时，求m的值． 20．（2025•安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 21．（2025•江西）如图，直线l：yx+m与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（6，2）． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 22．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 23．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求k的值； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标． 24．（2025•苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 25．（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项13 反比例函数） 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D B B C B D C B A 一．选择题（共11小题） 1．（2025•重庆）反比例函数y的图象一定经过的点是（　　） A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2） 【解答】解：A、∵2×6＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、∵（﹣4）×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； C、∵（﹣3）×（﹣4）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在反比例函数图象上，符合题意， 故选：D． 2．（2025•湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．在（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y，1＝2不成立，故不符合题意； B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 3．（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣3，y1）在第二象限， ∴y1＞0， 又∵1＜3， ∴y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 4．（2025•云南）若点（1，2）在反比例函数y（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：把点（1，2）代入反比例函数y（k为常数，且k≠0）中，得 2， 解得k＝2． 故选：B． 5．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，故④正确， 如图： 当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误； 综上，①④正确、②③错误． 故选：B． 6．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 【解答】解：通过观察表格数据可知：， 故y与x之间的函数关系式为yx， 故选：C． 7．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上， ∴k＝46， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，）， ∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3， ∵点C在y上， ∴C点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3， ∴求得E点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6， ∴G点坐标为（1，6）， 观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． 故选：B． 8．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9．（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 10．（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【解答】解：∵反比例函数y，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当2＜y＜4时，x， ∴1＜x＜2． 故选：B． 11．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 【解答】解：根据图象，当R＞9时，I＜4， ∴当电阻R大于9Ω时，电流I可能是3A，不可能是4A、5A或6A， ∴A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 12．（2025•福建）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　﹣2　 ． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，1）， ∴k＝﹣2×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 13．（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　9　 ． 【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点， ∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6， ∴m＝3，n＝3， ∴A（3，3）， 把A（3，3）代入， 得， 解得k＝9， 故答案为：9． 14．（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ． 【解答】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数相交于点A和点B，A的横坐标为1，， ∴a＝1， ∴y＝x， ∴当x＝1时，y＝x＝1， ∴A（1，1）， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点A，B关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣1）； 故答案为：（﹣1，﹣1）． 15．（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而　减小　 （填“增大”或“减小”）． 【解答】解：由题意，∵用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I， ∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0． ∴电流I的值随电阻R值的增大而减小． 故答案为：减小． 16．（2025•甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　6（答案不唯一）　 （请写出一个符合条件的k值）． 【解答】解：∵点A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2， ∴反比例函数的增减性是在每个象限内y随x的增大而减小， ∴k＞0， 不妨令k＝6， 故答案为：6（答案不唯一）． 17．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　　 ．（结果保留π） 【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∵半径为1， ∴AC＝BD＝1， ∴A点的纵坐标为1， 把y＝1代入y，求得x， ∴A（，1）， ∴OC，AC＝1， ∴tan∠OAC， ∴∠OAC＝60°， ∴第一象限中阴影的面积S1， 同理，第一象限中阴影的面积S2， ∴S阴影． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 18．（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 【解答】解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵C（2，2）， ∴CO2＝22+22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上， ∴yG＝1， ∴EG＝1， 由旋转可得：AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． 19．（2025•甘肃）如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数y的表达式； （2）当△ABC的面积为3时，求m的值． 【解答】解：（1）由题意得：﹣1+4＝a， 解得：a＝3， ∴点B坐标为（﹣1，3），代入比例函数y得：k＝﹣3， ∴反比例函数的表达式为； （2）一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后的图象的表达式为y＝x+4﹣m， 令y＝0得：x+4﹣m＝0， 解得：x＝m﹣4， ∴点C坐标为（m﹣4，0）， ∵一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A， ∴点A的坐标（﹣4，0）， ∴AC＝m， ∵点B坐标为（﹣1，3）， ∴， ∴m＝2． 20．（2025•安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 【解答】解：（1）由题意得， 解得； （2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为， 令y＝0，得x＝8，所以OC＝8， 令x＝0，得y＝4，所以OD＝4， 故△COD的面积为． 21．（2025•江西）如图，直线l：yx+m与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（6，2）． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【解答】解：（1）将点A（6，2）代入一次函数和反比例函数解析式得：，， 解得：m＝﹣2，k＝12， ∴一次函数和反比例函数解析式分别为y，； （2）∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称， ∴点A与点C关于直线y＝x对称， ∵A（6，2） ∴C（2，6）， 设直线l平移后的直线对应的表达式为， 将点C（2，6）代入得：， 解得：n， ∵， ∴点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为． 22．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 23．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求k的值； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0）， ∴0＝﹣3+b， 解得b＝3， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3， 把A（a，2）代入y＝﹣x+3， 得2＝﹣a+3， 解得：a＝1， ∴点A（1，2）， 把点A（1，2）代入y， 得k＝1×2＝2； （2）如图，连接AD， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2）， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20， 设点D的坐标为， ∴，， ∵∠ACD＝90°， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴， 解得：m＝﹣4或﹣1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，）， 设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0） 把点（﹣4，）（1，2）代入得：， 解得： ∴直线AD的函数表达式为y； （3）设点E的坐标为（t，）， 设直线AE的解析式为y＝k2x+b2， 把点（t，），（1，2）代入， 得， 解得：， ∴直线AE的解析式为y， 当y＝0时，0， 解得x＝t+1， ∴点P的坐标为（t+1，0）， ∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|， ∴， ∵△BEP的面积为2， ∴， 解得t或t＝﹣2， ∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或． 24．（2025•苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD， ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4）， ∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8， ∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24， 解得k＝16， ∴k的值为16． 25．（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 【解答】解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x， 根据题意，得：，即， 整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得：，， ∵， ∴舍去， ∴； （2）如图所示，点C为所求． 设BD＝x， ∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴点C为线段AB的中外比点． （3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下： 第一种情况：当△OED＝90°，则OE＝ED， ∴∠OEC+∠DEB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCE＝∠EBD＝90°， ∴∠COE+∠OEC＝90°， ∴∠COE＝∠DEB， ∴△COE≌△BED（AAS）， 设点E（m，n）， ∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝mn，将其代入②，得：， 整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0， 解得：， ∴（舍去）， ∴，，， ∴，CE＝m，，BD＝m，，， ∵，，BD2＝m2，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE， ∴∠ODA+∠EDB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAD＝∠EBD＝90°， ∴∠ODA+∠DOA＝90°， ∴∠EDB＝∠DOA， ∴△OAD≌△DBE（AAS）， 设点D（a，b）， ∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝ab，将其代入②，得：， 整理，得：b2+ab﹣a2＝0， 解得：， ∴，（舍去）， ∴，，， ∴，，BC＝a，BD＝a，，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组，， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． ∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$