【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项09 圆）

【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项09 圆） 一．选择题（共8小题） 1．（2025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 3．（2025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．75° 4．（2025•福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．（2025•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 7．（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 8．（2025•云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 二．填空题（共6小题） 9．（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　 　 ． 10．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　 　 ，EH的长度为 　 　 ． 11．（2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　 　 °． 12．（2025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为　 　 °． 13．（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ． 14．（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （Ⅰ）线段PA的长为 　 　 ； （Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 三．解答题（共22小题） 15．（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F． （1）求证：BE∥CD； （2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长． 16．（2025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 17．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 18．（2025•苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）若AB，sin∠AED，求BE的长． 19．（2025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD． （1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数； （2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求的长． 20．（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 21．（2025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，． （1）求证：△BOC≌△DOC； （2）求∠ABD的度数． 22．（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 23．（2025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ADB＝∠AOP； （2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长． 24．（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． （1）求证：AB＝AC； （2）若，AB＝8，求DG的长． 25．（2025•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长． 26．（2025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 27．（2025•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°．过点P作⊙O的切线，切点为E．交CO的延长线于点F． （1）求的长； （2）求∠DAB的度数； （3）求cos∠OFP的值． 28．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 29．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　 　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 30．（2025•广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出A，B两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留π） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 31．（2025•山西）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计． 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 32．（2025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为． （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 33．（2025•甘肃）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长． 34．（2025•深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC． （1）求证：四边形ADCE为菱形； （2）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D， ①求∠ACD＝　 　 ； ②AC＝4，求⊙O的半径r； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 35．（2025•云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF． （1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数； （2）求证：直线CF是⊙O的切线； （3）探究，发现与证明： 已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由． 36．（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC． （1）求证：CD与该半圆相切； （2）当半径r时，令AD＝a，BC＝b，m，n，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项09 圆） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C C B B C B 一．选择题（共8小题） 1．（2025•重庆）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【解答】解：∵∠AOB和∠C都对， ∴∠C∠AOB100°＝50°． 故选：B． 2．（2025•甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°． 故选：C． 3．（2025•湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．75° 【解答】解：由作图可得： ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，而∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠AOE＝2∠ABD＝60°， 故选：C． 4．（2025•福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC， ∴∠OAB＝∠AOP＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， 故选：C． 5．（2025•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：连接OC， ∵，AB为⊙O的直径， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°， ∴∠D∠AOC＝45°， 故选：B． 6．（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴BD＝DC＝4，OD⊥BC， 锐角三角形ABC中，AB＝AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得：， 设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r， 即|5﹣r|＜3＜5+r， 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 故选：B． 7．（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【解答】解：∵∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°， ∵∠OCA＝30°， ∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°． 故选：C． 8．（2025•云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 则2πr， 解得r＝10， 即圆锥的底面圆的半径为10cm． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　66°　 ． 【解答】解：连接BC，如图， ∵， ∴∠BCD＝∠CDB＝24°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°． 故答案为：66°． 10．（2025•重庆）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　3　 ，EH的长度为 　　 ． 【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5， ∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵CD＝AC＝13， ∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3， ∴， 如图，连接BC，BH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°， ∴，即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∵四边形ACDE是菱形， ∴CD∥AE， ∴∠DAE＝∠CDA， 如图，过H作HM⊥AE于M， ∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 11．（2025•安徽）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　20　 °． 【解答】解：连接OB， ∵PB与⊙O相切于点B， ∴PB⊥OB， ∴∠OBP＝90°， ∵∠P＝50°， ∴∠POB＝90°﹣∠P＝40°， ∴∠PAB∠POB＝20°， 故答案为：20． 12．（2025•北京）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为　43　 °． 【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°， ∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°， ∵GD∥HF， ∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°， ∵FI是⊙O的切线， ∴OF⊥FI， ∴∠OFI＝90°， ∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°， 故答案为：43． 13．（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　2　 ． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝∠BAD＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵AF＝1，EG＝FG＝3， ∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB， ∵∠BEC＝∠BAC， ∴∠AFB＝∠BAC， ∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC， ∵∠ABE＝∠ACG， ∴∠GAC＝∠ACG， ∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4， ∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE， ∴△CDG∽△AEG， ∴1， ∴DG＝EG＝3， ∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD， ∴AC2， ∴⊙O的直径为2， 故答案为：2． 14．（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （Ⅰ）线段PA的长为 　　 ； （Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求　 ． 【解答】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点M，N即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求． 理由：∵∠DAE＝90°， ∴DE为圆的直径， ∵AF为正方形的对角线， ∴∠DAF＝∠EAF＝45°， ∴AF垂直平分线段DE， ∴点O为圆的圆心， ∴OA＝OC， 又∵AB＝BC，OB＝OB， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴BG 平分∠ABC， ∴点G为线段AC的中点， 由网格可知点J为线段AI的中点， ∴GJ为△ACI的中位线， ∴GJ∥CI， ∴点N为线段AQ的中点， ∴AQ＝2AN， ∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH， ∴∠QAH＝∠MCH， 又∵∠AHQ＝∠CHM， ∴△AHQ≌△CHM（ASA）， ∴AQ＝CM，即CM＝2AN， 延长BH交QM于点T， ∵AB＝BC，AQ＝CM， ∴BQ＝BM， ∵∠QBH＝∠MBH， ∴BT⊥QM， ∵AM为圆的切线， ∴∠OAH＝90°， ∴∠OAB+∠QAM＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， 即∠QAM+∠OBA＝90°， ∵∠OBA+∠AQM＝90°， ∴∠QAM＝∠AQM， ∴△AMQ为等腰三角形， ∴MN⊥AQ， ∴点M，N即为所求． 三．解答题（共22小题） 15．（2025•成都）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F． （1）求证：BE∥CD； （2）若sinD，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长． 【解答】（1）证明：连接OC，则OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD， ∴∠BCD+∠OCB＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°， ∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵， ∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD， ∵∠CAB＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠BCD， ∴BE∥CD； （2）解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r， ∵BD＝1， ∵OD＝r+1， ∵OC⊥CD， ∴， ∴r＝2，即半圆O的半径为2， ∴AB＝2r＝4， 连接AE，则：∠AEB＝90°， ∵BE∥CD， ∴∠ABE＝∠D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠EAF＝∠BAF， ∴AF平分∠BAE， ∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG； （2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF， ∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形， ∴FD＝FG； （2）解：∵DF⊥AB， ∴， ∵∠BAC＝45°， ∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形， ∴EA＝ED＝6． 由（1）得FD＝FG＝10， ∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4， 如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA， ∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2， ∴（x+4）2＝62+x2， 解得，， ∴， ∴⊙O的半径为． 17．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 18．（2025•苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）若AB，sin∠AED，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝CD， ∴∠C＝∠DBC， ∵∠C＝∠BAD， ∴∠DBC＝∠BAD， ∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB， ∴BC为⊙O的切线． （2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF， ∴DF∥AB， ∵∠ABD＝∠AED，AB， ∴sin∠ABD＝sin∠AED， ∴ADAB1， ∴BD3， ∵∠BDF＝∠ABD， ∴sin∠BDF＝sin∠ABD， ∴BFBD3， ∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝2BF＝2， ∴BE的长是． 19．（2025•江西）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作▱ABCD． （1）当BC经过圆心O时（如图1），求∠D的度数； （2）当AD与⊙O相切时（如图2），若⊙O的半径为6，求的长． 【解答】解：（1）∵BC经过圆心O， ∴BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝35°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝90°﹣∠ACB＝55°， ∴∠D的度数是55°． （2）连接OA、OC， ∵AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为6， ∴AD⊥OA，OA＝OC＝6， ∴∠OAD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝35°， ∴∠OCA＝∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝70°， ∴， ∴的长为． 20．（2025•上海）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 【解答】证明：（1）连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CE＝DF， ∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE＝OF， ∴， ∴EF∥AB， ∴CD∥AB； （2）∵△OCE≌△ODF， ∴∠COE＝∠DOF， ∵AB＝BD， ∴∠AOB＝∠DOF， ∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE， 连接AF， ∵OA＝OD， ∴△AOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE， ∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF， ∴△OEC∽△FEA， ∴∠COE＝∠AFE， ∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE， ∴△BAF∽△BOA， ∴， ∴AB2＝BF•OB． 21．（2025•广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，． （1）求证：△BOC≌△DOC； （2）求∠ABD的度数． 【解答】（1）证明：∵， ∴∠BOC＝∠DOC， ∵OC＝OC，OD＝OB， ∴△BOC≌△DOC（SAS）； （2）解：∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB＝65°， ∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°， ∴∠DOC＝∠BOC＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°， ∴∠ABD∠AOD＝40°． 22．（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB． ∵∠ADB＝∠DBE+∠E， ∴∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）证明：连接CD，如图， ∵BG＝DG， ∴∠ABD＝∠GDB， 由（1）知：∠ABC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA， ∴∠DBE＝∠GDA， ∵∠DBE＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠GDA， ∴AH＝HD． ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠GDB． ∵∠CHD＝∠DHF， ∴△CHD∽△DHF， ∴， ∴HD2＝HC•HF， ∴AH2＝HF•HC； （3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴AM⊥BC，CM＝BM， ∴tan∠ABC， 设BM＝k，则AMk，BC＝2k， ∴ABk， ∵AD＝2DE， ∴设DE＝a，则AD＝2a， ∴AE＝AD+DE＝3a． ∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠BAD＝∠EAB， ∴△BAD∽△EAB， ∴， ∴， ∴k＝a， ∴DE＝k，AE＝3k， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠EDC＝∠ABC， ∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0， ∵CE＞0， ∴CE＝k， ∵△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴AB＝3． 由（2）知：AH＝HD，BG＝DG， ∴△AGH的周长＝AG+GH+AH ＝AG+GH+HD ＝AG+GD ＝AG+GB ＝AB ＝3． 23．（2025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ADB＝∠AOP； （2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点， ∴OP平分∠AOB， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ADB＝∠AOP； （2）解：延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°， ∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点， ∴PA⊥OA， ∵C为OP的中点， ∴PC＝OC， ∴， 又∵AP＝10，， ∴，，，AF＝2AO＝40， ∵AC＝OC， ∴∠CAO＝∠AOC， 又∵∠PAO＝∠ADF＝90°， ∴， ∴，， ∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD， ∴△ACO∽△ECD， ∴， ∴． 24．（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． （1）求证：AB＝AC； （2）若，AB＝8，求DG的长． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠F＝45°， ∴∠DOE＝2∠F＝90°， ∵⊙O与AB相切于点D， ∴AB⊥OD于点D， ∴∠ODA＝∠DOE＝90°， ∴AB∥OE， ∵OC＝OE， ∴∠B＝∠OEC＝∠C， ∴AB＝AC． （2）解：∵sinA， ∴OAOD， ∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°， ∴OD+OD＝8， ∴OF＝OD＝3， ∴OA3＝5，DFOF＝3， ∴AD4， ∵AD∥OF， ∴△AGD∽△OGF， ∴， ∴DGDFDF3， ∴DG的长是． 25．（2025•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长． 【解答】解：（I）如图①，连接OC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB，∠AOB＝80°， ∴∠COB＝∠COA∠AOB＝40°， ∴∠CED∠COB＝20°， ∴∠CED的度数为20°． （Ⅱ）如图②，连接OC， ∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3， ∴∠DEG＝90°，DG＝6， ∵EC∥OA， ∴∠EFG＝∠AOB＝80°， 由（I）得∠CED＝20°， ∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°， ∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°， ∴EDDG＝3， ∴EG3， ∴ED的长是3，EG的长是3． 26．（2025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【解答】解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 27．（2025•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°．过点P作⊙O的切线，切点为E．交CO的延长线于点F． （1）求的长； （2）求∠DAB的度数； （3）求cos∠OFP的值． 【解答】解：（1）连接OD， ∵OC＝OD，∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵OC＝2， ∴的长π； （2）∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°， ∵OD＝OA， ∴∠DAB＝∠ADO（180°﹣30°）＝75°； （3）连接OE， ∵PE切圆与E， ∴半径OE⊥PE， ∵∠POE+∠OPE＝∠OFP+∠OPE， ∴∠POE＝∠OFP， ∵tanC＝tan60°， ∴PO＝2， ∵OE＝OC＝2， ∴cos∠POE． ∴cos∠OFP＝cos∠POE． 28．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 【解答】解：（1）如图①中，点D即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）． 29．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　A3　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　60　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN； 当A在⊙O内部时，过A的直径MN使得⊙O的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3（2，0），⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙OO的切线， ∴， ∴∠MA3O＝30°， ∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60； ②根据定义可得B为⊙O外一点， ∵BD＜1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2， 当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OBG＝90°， ∴， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近， ∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图， ∴四边形TMAN是矩形， ∵TM＝TA， ∴四边形TMAN是正方形， ∴， 当∠MAN≥90°时，， ∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|， ∴EF上距离T最近的点在的圆环内， ①EF和的圆相切，如图， ∴， 解得：； ②EF和半径为t的圆相切时，如图， ∴t＝3 （不包含临界值）， ∴； ③当E在半径为t的圆，如图， ∴t2＝（t﹣1）2+32， 解得：t＝5 （不包含临界值）， ∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°； ④当F在半径为的圆，如图， 设⊙T的半径为r，则t＝﹣r， ∴， 解得：， ∴时，此时90°≤α≤180°； 综上所述，或t＞5或． 30．（2025•广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出A，B两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留π） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【解答】解：（1）∵以原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点， ∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5， ∴OAO'B是正方形， ∴∠AOB＝∠OBO'＝∠BO'A＝∠O'AO＝90°， ∴A（0，5），B（5，0）； （2）∵原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆， ∴两个圆是等圆， ∵∠AOB＝∠AO'B＝90°， ∴叶瓣①的周长为：； （3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到． 31．（2025•山西）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计． 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【解答】解：由题意得：EF＝AD＝26，AD∥EF， ∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°， 设BE＝CF＝x米，则CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米， 在Rt△ABE中，， ∴AE＝BE•tan∠ABE＝x•tan37°， 在Rt△ACE中，， ∴AE＝CE•tan∠ACE＝（26﹣x）•tan8.5°， ∴x•tan37°＝（26﹣x）•tan8.5°， 解得：， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米． 32．（2025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为． （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°， ∵AE＝3， ∴DE＝2， ∵DE＝DF， ∴DE＝DF＝2． ∵OE＝OF＝2， ∴DE＝DF＝OE＝OF＝2， ∴四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMFEOF＝45°； （2）连接EF，交BD于点H，如图， ∵四边形OEMF为菱形， ∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD， ∵OM＝OE＝OF＝2， ∴△OEM，△OFM为等边三角形， ∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°， ∴EH＝ME•sin60°＝2． ∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝45°， ∴△EDH为等腰直角三角形， ∴DH＝EH， ∴DEDH； （3）当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长； 当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长． 综上，当∠EOF＝150°时，的长为或． 33．（2025•甘肃）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵OA＝OC＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB， ∵∠BAO＝∠BCO， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝∠COB， ∴， 连接CE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠OCE+∠OCB＝90°， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵∠EAOB，∠BCD∠AOB， ∴∠BCD＝∠ECO， ∴∠DCO＝∠DCB+∠BCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形ABCO是菱形， ∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OFOBOE， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠E∠BOC＝30°， ∵EF＝3， ∴OF＝1，OE＝2， ∴OC＝2， ∵∠DOC＝60°， ∴CD＝OC•tan60°＝22． 34．（2025•深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC． （1）求证：四边形ADCE为菱形； （2）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D， ①求∠ACD＝　30°　 ； ②AC＝4，求⊙O的半径r； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【解答】（1）证明：∵AD＝CE，CD＝AE， ∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵∠ACB＝90°，且D为AB中点， ∴， ∴平行四边形ADCE为菱形． （2）解：①∵四边形ADCE为菱形， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠ACD， 又∵OA＝OD＝r， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠COD＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD＝2∠OCD， ∵CD切⊙O于D， ∴∠CDO＝90°， ∴∠COD+∠ACD＝2∠ACD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°； 故答案为：30°； ②设半径为r， ∵AC＝4， ∴OC＝4﹣r， ∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°， ∴， 解得：； （3）由题意，作图如下： 35．（2025•云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF． （1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数； （2）求证：直线CF是⊙O的切线； （3）探究，发现与证明： 已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°， ∴△CBE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°； （2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图， ∵CM是⊙O的直径， ∴∠CEM＝90°， ∴∠AEC+∠AEM＝90°， ∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF， ∴∠ACF+∠ACM＝90°， ∴∠MCF＝90°， ∴OC⊥CF， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CF是⊙O的切线； （3）解：存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下： 如图，设AC与BE交于点N， ∵AC平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC， ∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC， ∴CE＝CB， ∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC， ∴△BCN∽△ACB， ∴， ∴BC2＝AC•CN①， ∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEN∽△ACB， ∴， ∴AE•AB＝AC•AN②， ①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2， ∵CE＝CB， ∴AC2＝BC•CE+AB•AE， ∴此时a＝1，b＝1． ∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立． 36．（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC． （1）求证：CD与该半圆相切； （2）当半径r时，令AD＝a，BC＝b，m，n，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【解答】（1）证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E， ∵AD与BC均为该半圆的切线， ∴AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠OCB， ∵O为AB的中点， ∴OA＝OB， 在△OAM与△OBC 中， ， ∴△OAM≌△OBC（AAS）， ∴AM＝BC， ∵CD＝AD+BC， ∴CD＝AD+AM＝DM， ∴∠M＝∠OCE， ∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD， 又∵OE⊥CD，OB⊥CB， ∴OE＝OB， ∴CD与该半圆相切； （2）解：m＝n．理由如下： 如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M， 在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2， ∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2， ∴r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得； （3）解：∵CD，AD，BC均为该半圆的切线， ∴DA＝DE，CB＝CE， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD∥BC， ∴△DAG∽△BCG， ∴， ∴， ∵∠ACD＝∠GCE， ∴△ACD∽△GCE， ∴∠ADC＝∠GEC． ∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴FG＝EG＝x， 由（2）可知r2＝AD•BC＝DE•EC＝1， ∴， 又在Rt△ABE 中， ∵， ∴AE•BE＝4x， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$