【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项06 三角形）

【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项06 三角形） 一．选择题（共10小题） 1．（2025•安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 2．（2025•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 3．（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 4．（2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 5．（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 6．（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 7．（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 10．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 二．填空题（共10小题） 11．（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝　 　 ． 12．（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 　 　 ． 13．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ． 14．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　 　 ． 15．（2025•湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　 　 ． 16．（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 　 　 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 　 　 ． 17．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　 　 ． 18．（2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度． 19．（2025•甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　 　 cm． 20．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ； （2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 三．解答题（共16小题） 21．（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 22．（2025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 23．（2025•苏州）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）： t（min） 0 t1 t2 5.5 d2（m） 0 16 16 0 （1）机器人乙运动的路线长为　 　 m； （2）求t2﹣t1的值； （3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值． 24．（2025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点； （2）在图2中作出△ABC的重心． 25．（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴③　 　 ∴OP平分∠AOB． 26．（2025•浙江）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数． 27．（2025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 28．（2025•福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G． （1）求∠DCE的大小； （2）求证：△CEG是等边三角形． 29．（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长． 30．（2025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 31．（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D． （1）求∠BCD的度数； （2）若BC＝2.5，求AD的长． 32．（2025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）AC的长为 　 　 ． （2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围． （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 33．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 34．（2025•山西）综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F． ①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由； ②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长． 35．（2025•江西）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°． （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为　 　 度，最大值为　 　 度； ②△CMN面积的变化情况是　 　 ． A．越来越大 B．越来越小 C．先增又后减小 （2）当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积． 36．（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． （3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项06 三角形） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B A B C B D D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【解答】解：∵∠A＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°， ∵ED⊥AC， ∴∠CDE＝90°， ∵tanC＝tan30°， ∴DC＝3， ∵D是AC的中点， ∴AC＝2DC＝6． 故选：B． 2．（2025•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025•山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【解答】解：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， 故选：B． 4．（2025•北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 【解答】解：连接AB，AC，BC， 由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠ACO＝∠BCO，50°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故选：B． 5．（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°， 又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， 过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF． ∴∠ADE＝∠HDF， ∴△DHF≌△DAE（SAS）， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°， ∴FH⊥DG，即点F在FH上运动， ∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， ∴，， ∴， ∴BE最大时，EC﹣ED最大， 当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； 作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小， ∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4， ∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意； 当E与A重合时，， 当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图， ∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3， ∵△DHF≌△DAE， ∴FH＝AE＝4， ∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2， ∴， 综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意； 故选：A． 6．（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AD＝BD， 同理：AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝1， 故选：B． 7．（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线， ∴CDAB， ∴CD＝AD＝BD， ∴∠B＝∠BCD， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴图中与∠A互余的角共有4个． 故选：C． 8．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，故④正确， 如图： 当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误； 综上，①④正确、②③错误． 故选：B． 9．（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 【解答】解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°， ∴DB＝DC，∠BDC＝90°， 故选项A，B，C正确． 故选：D． 10．（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B， 当添加∠B+∠4＝180°时， ∵∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意； 当添加CD∥AB时， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意； 当添加∠1+∠4＝180°时， ∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意； 当添加∠2＝∠3时， ∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°， ∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND ∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝　1　 ． 【解答】解：延长AD交BC于E， ∵AB＝CA，BD＝CD， ∴AE⊥BC，BE＝CE， ∵AB＝BC＝CA＝2， ∴BE＝CE＝1， ∴AE，DE1， ∴AD＝AE﹣DE1． 故答案为：1． 12．（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 　1：3　 ． 【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD， ∴△AOB∽△COD， ∴△AOB与△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3． 故答案为：1：3． 13．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　或　 ． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＞∠B， ∴∠APC＞∠C， 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴， ∴， ∴； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M， ∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM， ∴AM＝PM， ∵PM⊥BC，AD⊥BC， ∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ∴， 设CP＝x，则BP＝8﹣x， ∴， ∴，CM， ∴AC＝AM+CM＝PM+CM， ∴x， ∴BP； ③当∠CAP＝∠C+90°时， ∵，，且2， ∴∠C＞30°， ∴∠BAC＜120°， 若∠CAP＝∠C+90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC， ∴此种情况不存在， ④当∠CAP＝∠APC+90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为或， 故答案为：或． 14．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　5　 ． 【解答】解：如图，连接AP，交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∵△MNP是等边三角形， ∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积MP2， ∵AM＝AN，AP＝AP， ∴△AMP≌△ANP（SSS）， ∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°， ∴∠AMP＝90°， ∴MPAM，AP＝2AM， ∴MPAP， ∴△MNP的面积AP2， ∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大， ∵∠B＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝AH＝6， ∵AM＝AN，MP＝NP， ∴点P在AH上运动， ∵点P始终在▱ABCD的内部或边上． ∴AP的最大值为AH的长， 即AP＝6， ∴AM＝AN＝3， ∴DN＝5， 故答案为：5． 15．（2025•湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　3　 ． 【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴点D为AB的中点． ∵点E是AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE3． 故答案为：3． 16．（2025•成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 　4　 ；点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 　　 ． 【解答】解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形， ∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH， ∵∠DBC＝45° ∴△BDG为等腰直角三角形， ∴BG＝DG， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ACH， ∴， ∴设DF＝3x，CH＝5x， 则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x， ∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x， ∴， ∴在Rt△CGD中，， 由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22， ∴（负值舍去）， ∴，BC＝2CH＝10x， ∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB， ∴∠CDE＝∠CBD＝45°， 又∵∠E＝∠E， ∴△DEC∽△BED， ∴， ∴，DE2＝BE•CE＝（BC+CE）•CE， ∴， 解得：CE＝0（舍去）或CE， 故答案为：4，． 17．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　　 ． 【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3， ∴AH＝AC•sinC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠C， 又∵∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD， ∴， ∴， ∵CF＝AC﹣AF， ∴当AF有最小值时，CF有最大值， ∴当AD有最小值时，AF有最小值， ∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合， ∴AD的最小值为， ∴AF的最小值为， ∴CF的最大值为， 故答案为：． 18．（2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　36　 度． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°， 在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°， ∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF ＝180°﹣72°﹣72° ＝108°﹣72° ＝36°． 故答案为：36． 19．（2025•甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　195　 cm． 【解答】解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm， ∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm）， ∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1， ∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1， ∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm）， 故答案为：195． 20．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　2　 ； （2）下列结论正确的是　①②　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 【解答】解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2， 故答案为：2； （2）①当k＝2，t＝1时， 则，即a2+b2＝c2， ∴三角形为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②当k＝1，c＝1时， 则， 1°当a＞b时，a﹣b＜c，即， 解得：b＞2； 2°当a＜b时，b﹣a＜c，即， 解得：b＜6． 综上，2＜b＜6． 当b＝2时，， 当b＝6时，； ∴5＜t＜11， 故②正确，符合题意； ③， ∴， 又a+b＞c， ∴， 不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2， ∴， 解得：1＜n≤7， ∴n可取2，3，4，5，6，7， 对应的t值分别为：，共6个， 故③错误，不符合题意． 故答案为：①②． 三．解答题（共16小题） 21．（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 【解答】证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC， 在△BDE和△ABC中， ， ∴△BDE≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC． 22．（2025•河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 【解答】证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∴∠ACB＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， 在△ABC和△AFD中， ， ∴△ABC≌△AFD（ASA）． （2）由（1）得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF， ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD． 23．（2025•苏州）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝7.5m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）： t（min） 0 t1 t2 5.5 d2（m） 0 16 16 0 （1）机器人乙运动的路线长为　55　 m； （2）求t2﹣t1的值； （3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m， ∴AC50m， ∵D为AC中点， ∴CD25m， ∵BC+CD＝30+25＝55m， ∴机器人乙运动的路线长为55m， 故答案为：55； （2）根据题意，得v210， ∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点， ∴BD＝CD＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C， ∴sin∠ABD＝sin∠BAC，， 当点Q在BC上时，， ∴8t1＝16，解得t1＝2， 当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H（如图）， 则， ∵∠CDB＝∠ADH， ∴sin∠CDB＝sin∠ADH， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）当t＝5.5时，d1＝7.5， 此时，， ∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5， ∴， ∴， 当点Q在BC上时，由d1＝d2，得24﹣3t＝8t， 解得， 当点Q在CD上时，由d1＝d2，得， 解得， ∴或． 24．（2025•江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出BC的中点； （2）在图2中作出△ABC的重心． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求． （2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O， 则点O即为所求． 25．（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴③　∠POE＝∠POF　 ∴OP平分∠AOB． 【解答】解：图形如图所示： 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°． 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）． ∴∠POE＝∠POF， ∴OP平分∠AOB． 故答案为：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF， 26．（2025•浙江）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD， 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°， ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°． 27．（2025•苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CBAB， 在△DAC和△ECB中， ， ∴△DAC≌△ECB（ASA）； （2）解：∵AB＝16， ∴AC＝CBAB＝8， 由（1）可知：△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE， 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∴DE＝BC＝8． 28．（2025•福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G． （1）求∠DCE的大小； （2）求证：△CEG是等边三角形． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA∠ACB60°＝30°． ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°． （2）证明：由平移可知：CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°， 又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE，∠AEC＝120°， 又∵AB＝CB， ∴BE垂直平分AC， ∴∠GEC∠AEC120°＝60°， 由（1）知，∠GCE＝60°， ∴∠EGC＝60°， ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC， ∴△CEG是等边三角形． 29．（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴AE＝CF， 又∵AB∥CD， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示： ∴∠EHC＝∠EHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，BC＝12， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°， ∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°， ∴四边形EBCH是矩形， ∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5， ∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7， ∵BE＝DF＝5， ∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2， 在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF． 30．（2025•吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． （1）求证：△ABE≌△DCF． （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（ASA）； （2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF＝13， ∵AB＝12， ∴BE5． 31．（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D． （1）求∠BCD的度数； （2）若BC＝2.5，求AD的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴∠ACB＝∠B＝72°， 由作图可知：CD是∠ACB的角平分线， ∴； （2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°， ∴∠BDC＝∠B， ∴CD＝CB， ∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°， ∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AD＝BC＝2.5． 32．（2025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）AC的长为 　7　 ． （2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围． （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【解答】解：（1）当 B，D重合时，如下图： ∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE， ∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2， 解得：AP＝3 （负的舍去）， ∵BC＝5，∠DPC＝90°， ∴， ∴AC＝AP+PC＝3+4＝7， 故答案为：7； （2）当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3）， 当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动， 如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3， ∵FP′BP， ∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB， ∴△CFP∽△CBP， ∴， ∴， 解得：， ∴y＝S△APD+S梯形PP′FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）′ ∴； （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时， ∴， ∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2， 即2AP2＝72， 解得：AP＝6， ∴x＝6． 33．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　24　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）； 非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数）， 证明：对于本原勾股数，计算a2+b2： （m2﹣n2）2+（2mn）2 ＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2 ＝m4+2m2n2+n4 ＝（m2+n2）2 ＝c2， 非本原勾股数为k倍的本原勾股数， 故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2] ＝k2（m2+n2）2 ＝c2． 同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立； （3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数， 一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米， 因为图案是由四个全等的直角三角形组成， 所以需要种花70×4＝280株． 34．（2025•山西）综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F． ①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由； ②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长． 【解答】解：（1）四边形BDB'E是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE， ∵B'D∥BC， ∴∠B'DE＝∠BED， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BE＝BD＝B'D＝B'E， ∴四边形BDB'E是菱形； （2）①DE⊥A'E，理由如下： 由（1）知四边形BDB'E是菱形， ∴BD＝B'E＝B'D， 由折叠的性质得到AD＝A'D， ∵AD＝2BD， ∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E， ∴B'D＝A'B'＝B'E， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴DE⊥A'E； ②∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9， ∴， 当△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC，A'D交点为M，则FG＝A'F， ∴∠C＝90°，A'D∥BC， ∴∠AMD＝∠C＝90°， ∴∠AMA'＝90°， 由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F， ∴△ADF≌△A'DF（SAS）， ∴∠A＝∠DA'F， ∵∠AFH＝∠A'FG， ∴∠AHF＝∠AMA'＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AFH∽△ABC， ∴， ∴HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5， ∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF， ∴△AHF≌△A'MF（AAS）， ∴HF＝FM，AH＝A'M， 设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x， ∴AM＝AF+FM＝8x， ∵A'D∥BC， ∴△AMD∽△ACB， ∴，即， ∴AD＝10x， ∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10x， ∴CE＝BC﹣BE＝10x﹣6， ∵FG＝A'F＝5x， ∴MG＝FG﹣FM＝2x， ∴CG＝AC﹣AM﹣MG＝12﹣8x﹣2x＝12﹣10x， ∵A'D∥BC， ∴△A'MG∽△ECG， ∴， ∴， 解得：x＝1， ∴A'F＝5x＝5； 当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F＝AG， 同理得HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F， 设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y， ∴AM＝AF+FM＝8y， ∵A'D∥BC， ∴△AMD∽△ACB， ∴，即， ∴AD＝10y， ∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10y， ∴CE＝BC﹣BE＝10y﹣6， ∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC， ∴GM＝FM＝3y， ∴FG＝GM+FM＝6y， ∴CG＝AC﹣AF﹣FG＝12﹣11y， ∵A'D∥BC， ∴△A'MG∽△ECG， ∴， ∴， 解得：， ∴A'F＝5y； 综上，A'F的长为5或． 35．（2025•江西）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60cm，∠ABC＝∠BCD＝135°，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°． （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为　0　 度，最大值为　39　 度； ②△CMN面积的变化情况是　C　 ． A．越来越大 B．越来越小 C．先增又后减小 （2）当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积． 【解答】解：（1）①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时∠CMN有最小值0°， 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，∠CNM＝6°，则此时∠CMN有最大值， ∵∠CNM＝6°，∠BCD＝135°， ∴∠CMN＝180°﹣6°﹣135°＝39°，即∠CMN有最大值为39°， 故答案为：0，39； ②由特殊情况分析：点N与点C重合时，S＝0， 过没有点P的限制，点N与点D重合时，S＝0， ∴△CMN面积的变化情况是先增大后减小． 故答案为：C． （2）过N作NG⊥BC于G，如图， 当∠CMN＝30°时，NGMN＝30， ∴MG30， ∵∠NCG＝45°， ∴CG＝NG＝30， ∴MC＝MG﹣CG＝3030， ∴S△CMNCM•NG（3030）×30＝（450450）cm2． 36．（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． （3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴， ∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 即DE＝DF， ∴CD＝CA； （2）如图，令BN与DE的交点为H， 则四边形BCDH和MNHD是矩形， ∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m， ∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m， ∴EH＝DE﹣DH＝0.9m， 设AB＝x m，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m， ∴BH＝CD＝（1.2+x）m， ∴NB＝BH+NH＝（2.2+x）， ∵EH∥AB， ∴△NEH∽△NAB， ∴， ∴， 解得：x＝19.8， 答：纪念碑AB的高度为19.8m． （3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$