【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项03 因式分解和分式）

【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项03 因式分解和分式） 一．选择题（共4小题） 1．（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 2．（2025•深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 3．（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　） A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1） 4．（2025•天津）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 二．填空题（共9小题） 5．（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝　 　 ． 6．（2025•山西）因式分解：m2﹣16＝　 　 ． 7．（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 8．（2025•长沙）分式方程的解为　 　 ． 9．（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为　 　 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　 　 ． 10．（2025•深圳）计算：　 　 ． 11．（2025•广西）写出一个使分式有意义的x的值，可以是　 　 ． 12．（2025•江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　 　 ． 13．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　 　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）．若与均是整数，则满足条件的M的值是　 　 ． 三．解答题（共15小题） 14．（2025•上海）解方程：． 15．（2025•广东）在解分式方程2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 16．（2025•云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料． 17．（2025•苏州）先化简，再求值：（1）•，其中x＝﹣2． 18．（2025•吉林）先化简，再求值：，其中a＝2025． 19．（2025•陕西）化简：． 20．（2025•江西）化简：． 21．（2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 22．（2025•福建）先化简，再求值：，其中a1． 23．（2025•重庆）先化简，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）（），其中x＝|﹣3|+（π﹣4）0． 24．（2025•重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 25．（2025•吉林）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为（150±9）克时，其质量等级为合格；粽子质量为（150±3）克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子，质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： （1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ （2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 26．（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 27．（2025•山西）我国自主研发的HGCZ﹣2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 28．（2025•福建）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　 　 ； 当c＜a且c＜b时，②　 　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【2026中考复习】2025年中考数学真题汇编（专项03 因式分解和分式） 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 A A A A 一．选择题（共4小题） 1．（2025•广西）因式分解：a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 故选：A． 2．（2025•深圳）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．2 D．2 【解答】解：∵实际种植人数是原计划人数的2倍，且原计划人数为x人， ∴实际种植人数为2x人． 根据题意得：3． 故选：A． 3．（2025•湖南）将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　） A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1） 【解答】解：原方程两边同乘x（x+1）得：x+1＝2x， 故选：A． 4．（2025•天津）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：原式 ， 故选：A． 二．填空题（共9小题） 5．（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝　ab（a+b）　 ． 【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b）， 故答案为：ab（a+b）． 6．（2025•山西）因式分解：m2﹣16＝　（m+4）（m﹣4）　 ． 【解答】解：根据平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）， 故答案为：（m+4）（m﹣4）． 7．（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　7（m+2）（m﹣2）　 ． 【解答】解：原式＝7（m2﹣4） ＝7（m+2）（m﹣2）， 故答案为：7（m+2）（m﹣2）． 8．（2025•长沙）分式方程的解为　x＝1.25　 ． 【解答】解：原方程去分母得：6x﹣3＝2x+2， 解得：x＝1.25， 经检验，x＝1.25是分式方程的解， 故答案为：x＝1.25． 9．（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为　　 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　　 ． 【解答】解：， 由题意， 当k＝3＝2×1+1时，， 当k＝5＝2×2+1时，， 当k＝7＝2×3+1时，， …， 当k＝2n+1时，， 又∵n， ∴对于任意奇数k（k＞2），， 故答案为：，． 10．（2025•深圳）计算：　a﹣1　 ． 【解答】解：原式 ＝a﹣1， 故答案为：a﹣1． 11．（2025•广西）写出一个使分式有意义的x的值，可以是　1（答案不唯一）　 ． 【解答】解：分式有意义，即x+3≠0， 所以x≠﹣3即可， 所以x可以是1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．（2025•江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　　 ． 【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗电费为（x+50）元， 由题意得：， 故答案为：． 13．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　1919　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）．若与均是整数，则满足条件的M的值是　3782　 ． 【解答】解：设四位数M， 要求最小的“十全数”， ∴a＝1，c＝1， ∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9， ∴最小的“十全数”是1919； ∵一个“十全数”M， ∴a+b＝c+d＝10， ∴b＝10﹣a，d＝10﹣c， ∴M1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9c+1010， ∴M'1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900c+10100， ∴F（M）a+c﹣10 ∴G（M）81a﹣81c+10104 ∴ ， ∴， ∵与均是整数， ∴与均是整数， ∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除， ∵1≤a≤9，1≤c≤9， ∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6， ∴5≤7a+c﹣3≤69， ∴7a+c﹣3的值可以为13，26，39，52，65， ∴依次代入可得，当a＝3，c＝8时，2，均是整数，符合题意， ∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2， ∴满足条件的M的值是3782． 故答案为：1919，3782． 三．解答题（共15小题） 14．（2025•上海）解方程：． 【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）（x﹣1）， 得：（x﹣3）（x﹣1）﹣2＝2（x﹣2）， 解得：x＝1或5， 检验：当x＝1时，（x﹣2）（x﹣1）＝0， 当x＝5时，（x﹣2）（x﹣1）≠0， ∴原方程的解为x＝5． 15．（2025•广东）在解分式方程2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确； 正确的解答过程： 2， 去分母，得•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 移项并合并，得x＝2． 检验：当x＝2时，x﹣2＝0． ∴原分式方程无解． 16．（2025•云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料． 【解答】解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运（x+20）千克化工原料， 根据题意得：， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80+20＝100（千克）． 答：机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 17．（2025•苏州）先化简，再求值：（1）•，其中x＝﹣2． 【解答】解：（1）• • ； 当x＝﹣2时， 原式2． 18．（2025•吉林）先化简，再求值：，其中a＝2025． 【解答】解：原式• ＝a+1， 当a＝2025时， 原式＝a+1 ＝2025+1 ＝2026． 19．（2025•陕西）化简：． 【解答】解： • • ＝x+2． 20．（2025•江西）化简：． 【解答】解： • • ． 21．（2025•北京）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 【解答】解：∵a+b﹣3＝0， ∴a+b＝3， ∴原式 ． 22．（2025•福建）先化简，再求值：，其中a1． 【解答】解：原式 ， 当a1时， 原式 ． 23．（2025•重庆）先化简，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）（），其中x＝|﹣3|+（π﹣4）0． 【解答】解：原式＝3x2﹣x+3x﹣1﹣3x2﹣x[] ＝x﹣1 ＝x﹣1• ＝x﹣1 ， 当x＝|﹣3|+（π﹣4）0＝3+1＝4时，原式． 24．（2025•重庆）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【解答】解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个， 根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100， 解得：x＝100， ∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）． 答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个， 根据题意得：10， 解得：y＝20， 经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意． 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个． 25．（2025•吉林）端午节是我国的传统节日．某食品公司为迎接端午节的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定：粽子质量为（150±9）克时，其质量等级为合格；粽子质量为（150±3）克时，其质量等级为优秀．共有甲、乙两个小组参加比赛，他们在相同时间内分别包了220个和200个粽子，质检员小李从甲、乙两个参赛小组所包粽子中各随机抽检10个，分别对它们的质量整理和分析，得到如下信息： 被抽检粽子的质量（单位：克）分布 甲组 144 146 147 148 150 152 152 152 154 155 乙组 146 147 147 150 150 151 153 154 155 被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计 参赛小组 平均数 众数 甲组 150 152 乙组 150 147 根据以上信息，回答下列问题： （1）在被抽检粽子的质量分布表中，有一个数据缺失，通过计算说明缺失数据对应的粽子的质量等级是否为优秀？ （2）此次比赛规定：相同时间内所包粽子中质量等级为优秀的个数较多的小组获得奖励．估计甲、乙两个参赛小组哪组能获得奖励，并说明理由． 【解答】解：（1）因为乙组质量的众数为147， 所以缺失的数据为147，且147＝150﹣3，质量登记为优秀； （2）乙参赛小组能获得奖励，理由如下： 甲组优秀个数约为220132（个）， 乙组优秀个数约为200140（个）， 所以乙参赛小组能获得奖励． 26．（2025•成都）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为x元， ∴7． ∴x＝25． 经检验：x＝25是原方程的根． 答：每个A种挂件的价格为25元． （2）由题意，设该游客购买m个A种挂件， 则购买（m+5）个B种挂件， 又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元， ∴25m+20（m+5）≤600． ∴m11． 又∵m为整数， ∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件． 27．（2025•山西）我国自主研发的HGCZ﹣2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【解答】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里， 根据题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 28．（2025•福建）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意　 ； 当c＜a且c＜b时，②　当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【解答】解：（1）小明的猜想不正确， 反例：3×4＝12； （2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②所以，又，所以， 由（*）知所以 p＝m+n； （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A， 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c， 此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1， 当a＜b时，必有a＜c， 此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n， 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$