2.5.3 切线长定理&2.5.4 三角形的内切(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

39　 　 例 1　 解:列表(完成表格): x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y= - 1 2 x2 … -4. 5 -2 -0. 5 0 -0. 5 -2 -4. 5 … y= - 1 2 (x+1) 2 … -2 -0. 5 0 -0. 5 -2 -4. 5 -8 … y= - 1 2 (x-1) 2 … -8 -4. 5 -2 -0. 5 0 -0. 5 -2 … 描点、连线略. 开口方向、对称轴和顶点坐标如下表: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y= - 1 2 x2 向下 y 轴 (0,0) y= - 1 2 (x+1) 2 向下 直线 x= -1 (-1,0) y= - 1 2 (x-1) 2 向下 直线 x= 1 (1,0) 例 2　 解:(1)该抛物线的函数表达式是 y= -3(x-2) 2 ; (2)该抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,-12); (3)y1 <y2 . 例 3　 (1)y= - 1 2 (x+1) 2 　 (2)左　 1　 【变式】 　 右　 2　 第 4 课时　 二次函数 y=a(x-h) 2+k(a≠0) 的图象与性质 ①(h,k)　 ②减小　 ③增大　 ④增大　 例 1　 A　 【变式】 　 D　 例 2　 C　 例 3　 (1)列表及画图略;(2)-4≤y<0. 例 4　 y= -3(x-2) 2 +3　 【变式】 　 y= -2(x-4) 2 -2　 例 5　 D　 例 6　 0　 第 5 课时　 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与性质 ①上　 ②下　 ③- b 2a 　 ④- b 2a 　 ⑤4ac -b2 4a 　 ⑥减小　 ⑦增大 ⑧增大　 ⑨减小　 ⑩小　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔- b 2a 　 􀃊􀁉􀁕4ac -b2 4a 　 例 1　 y= (x-2) 2 +1　 例 2　 解:y= 2x2 -4x+6 = 2(x2 -2x+1)-2+6 = 2(x-1) 2 +4, 故该二次函数图象的对称轴为直线 x= 1. ∵ 抛物线开口向上,∴ 当 x= 1 时,y 有最小值为 4. 例 3　 列表及画图略. (1)x= 2　 (2,9)　 (2)(-1,0),(5,0)和(0,5)　 (3)<2　 >2　 (4)5≤x≤9　 (5)-1<x<0 或 4<x<5　 例 4　 -23 2 　 【变式】 　 -2　 例 5　 B　 ※1. 3　 不共线三点确定二次函数的表达式 例 1　 存在这样的二次函数图象,该二次函数表达式为 y = x2 +2. 例 2　 D　 【变式】 　 y= - 4 9 x2 - 8 9 x+32 9 　 例 3　 y= 2x2 -4x-6 或 y= -2x2 +4x+6　 1. 4　 二次函数与一元二次方程的联系 例 1　 x1 = -1,x2 = 2　 例 2　 b>-1　 【变式】 　 D　 例 3　 x1 = 1. 7,x2 = 0. 3　 例 4　 解:(1)令- 1 12 x2 + 1 3 x+ 8 3 = 8 3 ,解得 x1 = 0,x2 = 4. ∴ 此时足球距离球门的水平距离为 0 m 或 4 m; (2)该射球点 A 应向右平移 1 个单位长度. 例 5　 解:(1)S 与 t 之间的函数表达式为 S= 1 2 ( t-2) 2 -2; (2)由题意,得 1 2 (t-2)2-2=30,解得 t1 =10,t2 =-6(舍去). ∴ 截止到第 10 年末该企业累积利润可达到 30 亿元. 例 6　 D　 例 7　 C 1. 5　 二次函数的应用 第 1 课时　 建立二次函数模型解决实际问题 例 1　 解:(1)抛物线的表达式为 y= 4 245 (x-35) 2 -20; (2)①由题意得,离桥头最近的石柱离 y 轴的距离为 70 9+1 = 7(米), 令 x= 7,得 y= 4 245 ×(7-35) 2 -20 = -7. 2, ∴ 离桥头最近的石柱的长度为 7. 2 米; ②令 y= -16. 8,得-16. 8 = 4 245 (x-35) 2 -20. 解得 x1 = 21,x2 = 49, ∴ 这根石柱安放的位置距离桥头 21 米或 49 米. 例 2　 y= - 2 9 (x-3 3 ) 2 +6　 例 3　 解:(1)如解图,以排球最高点处的地面为原点,水平地 面为 x 轴,建立平面直角坐标系. 由题意得,抛物线的顶点坐标为(0,2. 5),设抛物线的表达 式为 y=ax2 +2. 5. ∵ 抛物线经过点( - 6,2),代入,得 2 = 36a+ 2. 5,解得 a = - 1 72 ,则该抛物线对应的二次函数表达式为 y= - 1 72 x2 + 5 2 ; (2)排球能过球网. 理由:∵ 当 x= 3 时,y= - 1 72 ×9+ 5 2 = 2. 375>2. 24, ∴ 排球能过球网. 第 2 课时　 几何图形面积与销售利润 的最值问题 例 1　 解:(1)y 与 x 的函数表达式为 y= -2x2 +40x; (2)当边 AB 的长为 10 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 200 m2 . 例 2　 300　 例 3　 解:(1)y= -5x+500　 (2)当每分钟获得的利润为 4 000 元时,降价 20 元; (3)当销售单价为 70 元时,每分钟获得的利润最大,最大 利润是 4 500 元. 第 2 章　圆 2. 1　 圆的对称性 ①定点　 ②定长　 ③ = 　 ④弦　 ⑤直径　 ⑥小于半圆　 ⑦大于半圆　 ⑧重合　 ⑨圆心　 例 1 　 C 　 例 2 　 证明:连接 BD, 取 BD 的中点 O, 连接 OA,OC. ∵ ∠BAD= ∠BCD= 90°,OB=OD,∴ OA=OB=OD=OC, ∴ A,B,C,D 四个点在同一个圆上. 例 3　 点 B 在☉A 内,点 C 在☉A 外,点 D 在☉A 上,点 E 在 ☉A 内. 例 4　 D　 例 5　 11 或 8　 2. 2　 圆心角、圆周角 2. 2. 1　圆心角 ①圆心　 ②弧　 ③弦　 ④相等　 例 1　 B　 【变式设问】90°　 例 2　 证明:如解图,连接 OD,OE, ∵ △ABC 为 等 边 三 角 形, ∴ ∠A = ∠B = 60°. 又∵ OA=OD,OB =OE,∴ △AOD 和△OBE 都是等边三角形, ∴ ∠AOD= ∠BOE= 60°,∴ ∠DOE= 60°, ∴ ∠AOD = ∠DOE = ∠BOE, ∴ AD ( = DE ( =EB ( . 例 3　 B　 2. 2. 2　圆周角 第 1 课时　 圆周角定理及其推论 1 ①圆上　 ②一半　 ③弧　 例 1　 C　 例 2　 ∠BAC= 20°. 例 3　 (1)∠4　 (2)∠2,∠6,∠5　 (3)120°　 第 2 课时　 圆周角定理的推论 2 及圆内接四边形 ①直角　 ②直径　 ③外接圆　 ④互补　 ⑤等于　 例 1　 B　 例 2　 120°　 例 3　 ∠E= 130°. 例 4　 弦 AB 所对的圆周角度数等于 45°或 135°. ※2. 3　 垂径定理 ①平分　 ②平分　 ③相等　 例 1　 AC=BC,AD ( =BD ( (答案不唯一)　 例 2　 11 3 例 3　 △BOD 的面积为 5 2 . 例 4　 拱门屏风所在圆的半径是 15 分米. 例 5　 7 cm 或 17 cm　 2. 4　 过不共线三点作圆 ①不在同一直线上　 ②顶点　 ③外心　 例 1　 A　 例 2　 (2,1)　 例 3　 解:(1)如解图所示,☉O 即为所求作; (2)如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, 连接 OB,OD,OC. ∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ D 为 BC 的中点. 又∵ OB = OC,∴ OD⊥BC,∴ A,D,O 三 点共线, 在 Rt△ABD 中,AD = AB2-( 1 2 BC)2 = 102-62 =8, 设△ABC 的外接圆的半径为 r,则 OD= 8-r. 在 Rt△OBD 中,BD2+OD2 =OB2,∴ 62+(8-r)2 =r2,解得 r= 25 4 . 2. 5　 直线与圆的位置关系 2. 5. 1　直线与圆的位置关系 ①相切　 ②<　 ③ = 　 ④2　 ⑤0　 ⑥切线　 ⑦切点　 例 1　 (1)相离　 (2)相交　 (3)3 3 2 　 【变式 1】　 8≤AB≤10 【变式 2】 　 9　 例 2　 (1)③　 线段 OP 的长不一定为圆心 O 到直线 l 的距离 　 (2)相切或相交 2. 5. 2　圆的切线 第 1 课时　 切线的判定 ①外端　 ②垂直　 例 1　 解:AB 与以点 P 为圆心、PD 长为半径的圆相切. 理由如下: 过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,如解图. ∵ P 是∠BAC 的平分线上一点, PD⊥AC 于点 D,PE⊥AB 于点 E, ∴ PE = PD = r,∴ AB 与以点 P 为 圆心、PD 长为半径的圆相切. 例 2　 证明略. 第 2 课时　 切线的性质 ①垂直　 ②切点　 ③一个　 ④半径　 例 1　 B　 例 2　 证明:∵ BD 是☉O 的直径,∴ ∠DAB = 90°. ∵ AC 是☉O 的切线,∴ ∠OAC= 90°. ∴ ∠CAO= ∠BAD. ∵ AB=AC,∴ ∠B = ∠C. 在 △ACO 和 △ABD 中, ∠C= ∠B, AC=AB, ∠CAO= ∠BAD, { ∴ △ACO ≌ △ABD(ASA) . ※2. 5. 3　切线长定理 ①圆外　 ②相等　 ③平分　 例 1　 16　 例 2　 ∠PAB= 65°,∠P= 50°. 【变式】 　 (1)3　 OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥PC　 (2)3　 ∠OBC,∠APC,∠BPC　 (3)AC=BC　 (4)5　 △ABP,△AOB,△AEB,△AOE,△BOE　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 40　 2. 5. 4　三角形的内切圆 ①相切　 ②角平分线　 ③三个顶点　 ④垂直平分线　 ⑤三个顶点　 ⑥2　 ⑦角平分线　 ⑧三条边　 ⑨ 1 2 　 例 1　 解:(1)如解图,☉O 为所作; (2)圆的面积为 4π. 例 2　 B　 例 3　 S△ABC = 30. 　 例 4　 C　 2. 6　 弧长与扇形面积 第 1 课时　 弧长 ①nπ r 180 　 例 1　 顶点 A 从开始到结束共走过的路径大约是 31 cm. 【变式】 　 18　 例 2　 中心虚线的长度为(3 000+1 000π)mm. 第 2 课时　 扇形面积 ①端点　 ②nπ r 2 360 　 ③nπ r 180 　 ④ 1 2 lr　 ⑤nπ r 2 360 　 ⑥ 1 2 lr　 例 1　 边 AC 扫过的区域面积为100 3 π cm2 . 例 2　 90°　 例 3　 9-9π 4 　 【变式】 　 4　 2. 7　 正多边形与圆 ①边　 ②内角　 ③360° n 　 ④(n -2)×180° n 　 ⑤n　 ⑥偶　 ⑦中心　 例 1　 ②③　 例 2　 解:(1)如解图 1,△DBF 是☉O 的内接正三角形; 解图 1 　 　 解图 2 (2)如解图 2,八边形 AHBFCGDE 是☉O 的内接正八边形. 例 3　 B　 【变式】 　 B　 第 3 章　投影与视图 3. 1　 投影 ①投影　 ②投影线　 ③投影面　 ④投影　 ⑤平行光线　 ⑥一点　 ⑦平行投影　 ⑧垂直　 例 1　 C　 【变式】 　 D　 例 2　 5　 【变式】 　 中心投影　 例 3　 解:(1)如解图 1;　 (2)如解图 2;　 (3)如解图 3. 解图 1 　 　 　 解图 2 　 　 　 解图 3 3. 2　 直棱柱、圆锥的侧面展开图 ①公共边　 ②平行　 ③底面 　 ④矩形 　 ⑤侧面 　 ⑥垂直 　 ⑦边数 　 ⑧正多边形 　 ⑨矩形 　 ⑩底面周长 　 􀃊􀁉􀁓侧棱长 (高)　 􀃊􀁉􀁔顶点　 􀃊􀁉􀁕圆心　 􀃊􀁉􀁖顶点　 􀃊􀁉􀁗相等　 􀃊􀁉􀁘扇形　 􀃊􀁉􀁙母线长　 􀃊􀁉􀁚底面圆的周长　 例 1　 (18+2 3 )　 例 2　 B　 例 3　 解:(1)15　 375π　 (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为 216°. 【变式】 　 3 3 2 　 3. 3　 三视图 第 1 课时　 几何体的三视图 ①前往后　 ②左往右　 ③上往下　 ④下边　 ⑤右边　 ⑥实线　 ⑦虚线　 例 1　 B　 例 2　 C　 例 3　 D　 例 4　 画出的三视图略. 例 5　 画出的三视图略. 第 2 课时　 由三视图还原几何体 例 1　 B　 例 2　 C　 例 3　 A　 例 4　 解:该几何体是一个圆柱放在一个长方体上面, 所以该几何体的体积约为 3. 14×(20÷2) 2 ×20+25×30×40 = 36 280(mm3 ); 该几何体的表面积约为 3. 14×20×20+2×(25×30+30×40+ 25×40)= 7 156(mm2 ) . 第 4 章　概率 4. 1　 随机事件与可能性 ①必然发生　 ②一定不发生　 例 1　 B　 例 2　 (1)不可能 　 (2)必然 　 (3) 8　 2　 (4) 9　 1　 ((3) (4)答案不唯一) 例 3　 (1)黑　 (2)4　 2　 例 4　 不公平　 4. 2　 概率及其计算 4. 2. 1　概率的概念 ① m n 　 ②1　 ③0　 ④0　 ⑤1　 例 1　 ①　 例 2　 2 5 　 例 3　 1 3 　 例 4　 B　 4. 2. 2　用列举法求概率 第 1 课时　 用列表法求概率 ①两　 ② m n 　 例 1　 A　 例 2　 解:(1)P(能配成紫色)= 1 3 ; (2)公平,理由如下:∵ 共有 9 种等可能的结果,其中两个 转盘转出同种颜色的有 3 种结果, ∴ P(小亮赢)= 1 3 . ∵ P(小红赢) = P(能配成紫色) = 1 3 , ∴ P(小红赢)= P(小亮赢),∴ 这个约定对双方公平. 例 3　 解:小华的想法不正确. 理由如下: 首先把红色分成相等的两部分,记为红1 ,红2 ,列表如下: 红1 红2 黄 蓝 红1 (红1 ,红1 ) (红1 ,红2 ) (红1 ,黄) (红1 ,蓝) 红2 (红2 ,红1 ) (红2 ,红2 ) (红2 ,黄) (红2 ,蓝) 黄 (黄,红1 ) (黄,红2 ) (黄,黄) (黄,蓝) 蓝 (蓝,红1 ) (蓝,红2 ) (蓝,黄) (蓝,蓝) ∵ 共有 16 种等可能的结果,其中能配成紫色的有 4 种结果, ∴ 能配成紫色的概率为 4 16 = 1 4 ,∴ 小华的想法不正确. 第 2 课时　 用树状图法求概率 ①等可能　 例 1　 摆出的三位数是 2 的倍数的概率 P= 2 3 . 例 2　 解:(1)画树状图略. 共有 4 种等可能的结果,其中毽子踢到小吴处的结果有 1 种, 所以从小李开始,经过两次踢毽子后,毽子踢到小吴处的 概率为 1 4 ; (2)要使毽子踢到小吴处的可能性最大,则应从小吴开 始踢. 理由如下:由(1)得从小李开始,经过两次踢毽子后,毽子 踢到小吴处的概率为 1 4 ,同理可得从小张开始,经过两次 踢毽子后,毽子踢到小吴处的概率为 1 4 , 若从小吴开始踢,画树状图略. 共有 4 种等可能的结果,其中毽子踢到小吴处的结果有 2 种, 所以经过两次踢毽子后, 毽子踢到小吴处的概率为 2 4 = 1 2 , 因为 1 2 > 1 4 ,所以要使毽子踢到小吴处的可能性最大,则应 从小吴开始踢. 例 3　 3 16 　 例 4　 2 3 　 4. 3　 用频率估计概率 ①大量重复　 ②p　 例 1　 B　 例 2　 C　 例 3　 0. 4　 例 4　 1 600　 例 5　 解:(1) 1 3 　 (2)这种说法是错误的. 理由如下: 在 60 次试验中,“4 朝下”的频率为 1 6 并不能说明“4 朝下” 这一事件发生的概率为 1 6 . 只有当试验的总次数很大时,才能用事件发生的频率估计 相应的事件发生的概率. 课堂 10 分钟 第 1 章　反比例函数 1. 1　 反比例函数 1. C　 2. C　 3. I= 48 R 　 4.解:(1)y 关于 x 的函数表达式为 y= 3 x ; (2)这个函数的比例系数为 3,自变量的取值范围为 x≠0; (3)当 y= -4 时,自变量 x 的值为- 3 4 . 1. 2　 反比例函数的图象与性质 第 1 课时　 反比例函数 y= k x (k>0) 的图象与性质 1. A　 2. 3　 3. y1 <y2 　 4.解:作出函数图象略. (1)当 x= -2 时,y= 6-2 = -3; (2)当-1<x<2 时,y<-6 或 y>3. 第 2 课时　 反比例函数 y= k x (k<0) 的图象与性质 1. C　 2. C　 3. D　 4.解:(1)k= -12,画出函数图象略; (2)由图象可以看出,当 x>0 时,函数 y 的值小于 0. 第 3 课时　 反比例函数图象与性质的综合运用 1. B　 2. A　 3. (-2,-2)　 4.解:(1)y2 = -2 x ;(2)(2,-1); (3)根据图象可知,当-2<x<0 或 x>2 时,y1 <y2 . 1. 3　 反比例函数的应用 1. D　 2. 越来越亮　 3. F>12 N　 4.解:(1)v= 150 t 　 (2)小汽车匀速行驶的速度为 60 km / h 时, 从乙地返回甲地需要 2. 5 h. 第 2 章　一元二次方程 2. 1　 一元二次方程 1. D　 2. C　 3. x(x -1) 2 = 28　 4.解:(1)x2 -x-m= 0. (2)x2 +2x-100 = 0. 2. 2　 一元二次方程的解法 2. 2. 1　配方法 第 1 课时　 利用平方根的意义解一元二次方程 1. A　 2. D　 3. A　 4. -1　 5. (1)x1 = 5 ,x2 = - 5 ;(2)x1 = 3 2 ,x2 = - 1 2 ; (3)x1 = 3,x2 = 7. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 吃透教材 广西数学(XJ) ※ 2. 5. 3　切线长定理 一阶 教材知识梳理 1.切线长:经过①　 圆外　 一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长. 【温馨提示】切线和切线长的区别:切线是直线,无法度量;切线长是切线上一条线段的长,即圆外 一点与切点之间的距离,可以度量. 2.切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长②　 相等　 ,圆心和这一点的连线③　 平分　 两 条切线的夹角. 【温馨提示】经过圆上一点作圆的切线,有且只有一条,过切点的半径垂直于这条切线;经过圆外一 点作圆的切线,有两条,这点和两个切点所连的两条线段相等. 二阶 教材母题变式 教材母题　切线长和切线长定理 例 1　 (教材 P72 练习 T1 改编)如图,PA,PB 分别与☉O 相切于点 A,B,点 C 为 AB ( 上的点,过点 C 的切线分别交 PA,PB 于点 M,N. 若 PA = 8,则 △PMN 的周长为　 16　 . 例 2　 (教材 P71 例 5 改编)如图,PA,PB 是☉O 的切线,A,B 为切点,AC 是 ☉O 的直径,∠BAC= 25°,求∠PAB 和∠P 的度数. 解:∵PA 是☉O 的切线,∴OA⊥PA,∴∠PAO= 90°, ∵∠BAC= 25°, ∴∠PAB= 90°-25°= 65°, ∵PA,PB 是☉O 的切线, ∴PA=PB,∴∠PBA=∠PAB= 65°, ∴∠P= 180°-65°-65°= 50°. 【方法总结】与切线长定理有关的常见结论:如图,PA,PB 是☉O 的两条切线,则 由图可得的结论有:① 等腰 △PAB,等腰 △OAB;②OP 平分 ∠AOB,PO 平分 ∠APB;③OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB. 【变式】如图,PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切点,连接 AB,直线 OP 交☉O 于点 D,E,交 AB 于点 C,连 接 OA,OB,AE,BE. (1)图中的垂直关系共有　 3　 组,分别为　 OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥PC　 ; (2)图中与∠OAC 相等的角共有　 3　 个,分别为　 ∠AP C ,∠BPC　 ; (3)AC 与 BC 的数量关系为　 AC=BC　 ; (4)图中的等腰三角形共有　 5　 个,分别为　 △ABP,△AOB△BOE　 . 48 吃透教材 广西数学(XJ) 2. 5. 4　三角形的内切圆 一阶 教材知识梳理 1.三角形的内切圆:与三角形各边都①　 相切　 的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角 形的内心,这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.三角形的内心:三角形的内心是这个三角形的三条②　 角平分线　 的交点. 【温馨提示】三角形的内心到三角形三条边的距离相等. 3.三角形的外接圆与内切圆对比 定义 圆心 性质 角度关系 图形 三角形 的外 接圆 经过三角形 ③　 顶点　 的圆 外心: 三条边 ④　 垂 分 线　 的交点 外 心 到 三 角 形 ⑤　 三个顶点　 的 距离相等 ∠BOC= ⑥　 　 　 　 ∠A 三角形 的内 切圆 与三角形各 边 都 相 切 的圆 内 心: 三 条 ⑦　 平分线　 的交点 内 心 到 三 角 形 ⑧　 三条边　 的距 离相等 ∠BOC = 90° + ⑨　 　 　 　 ∠A 二阶 教材母题变式 教材母题　三角形内切圆和内心的相关计算 例 1　 (教材 P76 习题 T8 改编)如图,有一块三角形材料,其中∠ACB= 90°,AB= 10,AC= 6. (1)现要从材料中裁剪一个最大的圆,请用直尺和圆规作出满足条件的圆;(要求保留作图痕迹, 不写作法) (2)求(1)中所作圆的面积. 解:(1)如解图,☉O 为所作; (2)设 Rt△ABC 的内切圆的半径为 r, ∵∠ACB= 90°,AB= 10,AC= 6. ∴BC= 102-62 = 8. ∵S△ABC = 1 2 r·AB+ 1 2 r·AC+ 1 2 r·BC= 1 2 AC·BC, ∴ r= AC·BC AB+AC+BC = 2, ∴Rt△ABC 的内切圆的面积为 π r2 = 4π. 58 吃透教材 广西数学(XJ) 【知识拓展】(1)如图,☉O 是△ABC 的内切圆,D,E,F 是切点,则切线长与三角 形 边 长 的 关 系 为: AE = AF = AB +AC-BC 2 , BD = BF = AB +BC-AC 2 , CD=CE=AC +BC-AB 2 . (2)设 Rt△ABC 的直角边为 a,b,斜边为 c,则 Rt△ABC 的内切圆的半径 r= a +b-c 2 或 r= ab a+b+c . 例 2　 (教材 P74 例 6 改编)如图,点 O 是△ABC 的内心,已知∠ABC = 50°,∠ACB = 80°,则∠BOC 的度 数是 ( B ) A. 100° B. 115° C. 125° D. 130° 例 3　 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,☉O 是△ABC 的内切圆,三个切点分别为点 D,E,F,连接 OD,OE. 若 BF= 3,AF= 10. 求△ABC 的面积. 解:设☉O 的半径为 r. 在四边形 ODCE 中,∠ODC=∠C=∠OEC= 90°, ∴四边形 ODCE 为矩形. 又∵OD=OE,∴四边形 ODCE 为正方形,则 CD=CE. 由切线长定理易知 BD=BF= 3,AE=AF= 10, ∴BC= 3+r,AC= 10+r. 在 Rt△ABC 中,AC2+BC2 =AB2,∴ (10+r) 2+(3+r) 2 = 132 . 整理,得 r2+13r-30= 0,解得 r= 2(负值已舍), ∴AC= 12,BC= 5, ∴S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 ×12×5= 30. 三阶 易错剖析 易错点　三角形内切圆中的惯性思维导致出错 例 4　 如图,△ABC 是一张周长为 17 cm 的三角形纸片,BC= 5 cm,☉O 是它的内切圆,小明准备用剪 刀在☉O 的右侧沿着与☉O 相切的任意一条直线 MN 剪下△AMN,则关于△AMN 的周长的说法 正确的是 ( C ) A. △AMN 的周长随直线 MN 位置的变化而变化 B. △AMN 的周长与线段 MN 的长度有关 C. △AMN 的周长为定值 D. △AMN 的周长无法确定 特 别 提 醒 本题需结合切线长定理和三角形内切圆的性质求解,切勿由 MN 是动直线的惯性思 维导致错选选项 A. 68