3.5 相似三角形的应用&3.6 位似(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

吃透教材 广西数学(XJ) 3. 5　 相似三角形的应用 一阶 教材知识梳理 利用相似三角形解决实际问题的一般思路:(1)根据题意建立相似三角形模型;(2)证明三角形相 似;(3)根据相似三角形的性质得比例线段,列方程求解. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　利用相似三角形测量宽度 例 1　 【情境引入】(教材 P91 动脑筋改编)在一次数学活动课上,为了测量河宽 AB,小聪采用了如下 方法:如图,从 A 处沿与 AB 垂直的方向直行 45 m 到达 C 处,插一根标杆,然后沿同方向继续直行 15 m 到达 D 处,再右转 90°直行到 E 处,使点 B,C,E 恰好在一条直线上,量得 DE = 20 m,这样就 可以求出河宽 AB. 请说明理由,并计算出结果. 【模型建立】通过两个垂直和对顶角相等,构造相似三角形(△ACB∽△DCE), 进而利用相似三角形的性质求解. 解:∵∠A=∠D= 90°,∠ACB=∠DCE, ∴△ACB∽△DCE,∴AC DC =AB DE . ∵AC= 45 m,DC= 15 m,DE= 20 m, ∴45 15 =AB 20 ,∴AB= 60 m. 答:河宽 AB 为 60 m. 【方法指导】利用相似三角形测量宽度,常指某些物体的宽度不能直接测量,通过构造相似三角形 进行计算. 常见构造的模型如下:(1)构造“X”型相似三角形,如图 1,通过可测量的 BC,CD,DE 求 出宽度 AB;(2)构造“A”型相似三角形,如图 2,通过可测量的 BD,CE,BC 求出宽度 AB. 图 1 　 　 图 2 教材母题 2　利用相似三角形测量高度 例 2　 (教材 P94 习题 T5 改编)如图,线段 AB,EF,CD 的长分别表示人、竹竿、楼房的高度,且 A,E,C 三点在同一直线上. 测得人和竹竿的水平距离 BF 为 1. 2 m,人和楼房的水平 距离 BD 为 20 m,人的高度为 1. 5 m,竹竿的高度为 3 m,则楼房的高度是 ( B ) A. 25 m 　 　 　 　 B. 26. 5 m C. 50 m 　 　 　 　 D. 51. 5 m 【方法指导】利用相似三角形测量高度,常见的构造方法:(1)利用平行光线的影长;(2)利用平面镜 反射;(3)利用标杆和视线. 73 吃透教材 广西数学(XJ) 3. 6　 位似 第 1 课时　 位似图形的概念、性质及画法 一阶 教材知识梳理 1.位似图形:一般地,取定一个点 O,如果一个图 形 G 上每一个点 P 对应于另一个图形 G′上的 点 P′(如图),且满足: (1)直线 PP′经过点①　 O　 ; 图 1 图 2 (2)OP′ OP = | k | ,其中 k 为非零常数,当 k>0 时,点 P′在②　 射线 OP　 上(如图 1),当 k<0 时,点 P′ 在③　 射线 OP 的反向延长线　 上(如图 2) . 那么称图形 G 与图形 G′是位似图形. 点④　 O　 叫作位似中心,常数 k 叫作位似比. 2.位似图形的性质:(1)位似图形具有相似图形的所有性质;(2)对应点的连线相交于一点,对应边 ⑤　 互相平行　 (或在同一直线上) . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　位似图形的概念及性质 例 1　 (教材 P97 练习 T1 改编)下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF,这两个三角形 不是位似图形的是 ( B ) A 　 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 　 D 例 2　 如图,△A1B1C1 与△ABC 是位似图形,且周长比为 2 ∶3,则下列结论正确 的是　 ①②③　 (填序号) . ①点 O 为位似中心,位似比为 2 3 ;②A1B1∥AB,A1B1 ∶AB= 2 ∶3; ③OA1 ∶OA= 2 ∶3;④△A1B1C1 与△ABC 的面积比为 2 ∶3. 教材母题 2　位似图形的画法 例 3　 (教材 P97 做一做改编)如图,在 6×6 的正方形网格中,点 A,B,C 都在格点上,以点 C 为位似 中心,位似比为 1 2 ,在该网格中将△ABC 放大得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1 . 　 　 　 解:如解图,△A1B1C1 即为所求. 83 吃透教材 广西数学(XJ) 第 2 课时　 平面直角坐标系中的位似 一阶 教材知识梳理 平面直角坐标系中的位似:一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小①　 相同　 的倍数,所得到的图 形与原图形是以②　 坐标原点　 为位似中心的位似图形. 【注意】如果以坐标原点为位似中心,位似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　以坐标原点为位似中心的位似变换 例 1　 (教材 P100 习题 T3 改编)在平面直角坐标系中,已知点 A(2,4),B(4,1),以原点 O 为位似中 心,相似比为 2,把△OAB 放大,则点 A 的对应点 A′的坐标是 ( D ) A. (1,2) B. (4,8) C. (8,2)或( -8,-2) D. (4,8)或( -4,-8) 教材母题 2　平面直角坐标系中的位似作图 例 2　 (教材 P99 例题改编)在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0,0),A(6, 0),B(3,6),C( -3,3),以点 O 为位似中心,画出一个四边形 OABC 的位似图形,使它与四边形 OABC 的位似比为 1 3 . 解:如解图,四边形 OA1B1C1 即为所求. 三阶 易错剖析 易错点　平面直角坐标系中位似的漏解 例 3　 在平面直角坐标系中,已知△ABC 的顶点 A(3,1),将△ABC 缩小为原来的 1 3 得到△A1B1C1,则 点 A 的对应点 A1 的坐标是　 　 　 　 　 　 . 特 别 提 醒 若题干未说明相似比或位似图形的位置时,则与已知图形关于某点位似的图形有两 个,要考虑全面,避免漏解. 93 38　 (2)△ABC 和△DEF 相似. 理由:∵ AB DF =BC EF = AC DE = 1 2 ,∴ △ABC∽△DFE. 例 2　 证明:∵ OA′ ∶ AA′ = OB′ ∶BB′ = 1 ∶ 2,∴ OA′ ∶OA = OB′ ∶ OB= 1 ∶3,∵ ∠A′OB′= ∠AOB,∴ △OA′B′∽△OAB,∴ A′B′ ∶ AB= 1 ∶ 3,∵ OC′ = 2,OC = 6,∴ OC′ ∶ OC = 1 ∶ 3,同理可得 △B′OC′∽△BOC,△C′OA′∽△COA,即 B′C′ ∶BC = C′A′ ∶ CA=A′B′ ∶AB= 1 ∶3,∴ △A′B′C′∽△ABC. 3. 4. 2　相似三角形的性质 第 1 课时　 相似三角形的性质 (高、角平分线、中线) ①相似比　 ②相似比　 ③相似比　 例 1　 D　 例 2　 小正方形的边长为60 61 . 例 3　 8　 例 4　 5 3 　 第 2 课时　 相似三角形的性质(面积、周长) ①相似比的平方　 ②相似比　 例 1　 A　 例 2　 AD ∶AB= 3 ∶5. 例 3　 60　 1 ∶4　 【变式】 　 另一个三角形的三边长分别为 10 cm, 25 cm, 20 cm. 3. 5　 相似三角形的应用 例 1　 河宽 AB 为 60 m. 例 2　 B　 3. 6　 位似 第 1 课时　 位似图形的概念、性质及画法 ①O　 ②射线 OP　 ③射线 OP 的反向延长线　 ④O　 ⑤互相平行　 例 1　 B　 例 2　 ①②③　 例 3　 画图略. 第 2 课时　 平面直角坐标系中的位似 ①相同　 ②坐标原点 例 1　 D　 例 2　 画图略. 　 例 3　 (1, 1 3 )或(-1,- 1 3 )　 第 4 章　锐角三角函数 4. 1　 正弦和余弦 第 1 课时　 正弦及 30°角的正弦值 ①对边　 ②斜边　 ③对边　 ④斜边　 ⑤ 1 2 　 ⑥一半　 例 1　 解:(1)sinB=AC AB =CD BC =AD AC ;(2)sinB= 4 5 . 例 2　 AC= 5 . 　 【变式设问】 5 3 　 例 3　 C　 【变式】 　 钝角　 例 4　 ④⑦　 第 2 课时　 45°,60°角的正弦值及用计算器 求锐角的正弦值或对应的锐角 ① 2 2 　 ②相等　 ③ 3 2 　 ④一半　 例 1　 原式= 1. 　 例 2　 3 2 　 【变式设问】2 3 　 例 3　 A　 例 4　 解:(1)①sin33°≈0. 544 6;②sin21°18′≈0. 363 3; (2)①∵ sinα= 0. 316 2,∴ α≈18. 43°; ②∵ sinα= 0. 726 6,∴ α≈46. 60°. 第 3 课时　 余弦 ①邻边　 ②斜边　 ③邻边　 ④斜边　 ⑤(90°-α)　 ⑥(90°-α)　 ⑦ 3 2 　 ⑧ 2 2 　 ⑨ 1 2 　 例 1　 12 13 　 【变式设问】 5 13 　 例 2　 3 4 　 【变式】 　 60　 例 3　 解:(1)原式= 0;(2)原式= 2 2 . 例 4　 (1)0. 857 2　 (2)0. 449 6　 例 5　 (1)42. 9°　 (2)27. 3° 4. 2　 正切 ①对边　 ②邻边　 ③对边　 ④邻边　 ⑤ 3 3 　 ⑥1　 ⑦ 3 　 ⑧ 2 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 2 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 1 2 　 􀃊􀁉􀁕 3 3 　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗 3 　 例 1　 2 2 　 2 4 　 【变式】 　 3　 例 2　 原式= 4- 3 . 例 3　 (1)12. 03　 (2)2. 46　 例 4　 37. 48　 例 5　 解:(1)BC= 3 5 ; (2)sinA=BC AB = 5 3 ,cosB=BC AB = 5 3 ,tanA=BC AC = 5 2 . 例 6　 ②③④　 4. 3　 解直角三角形 ①a2 +b2 = c2 　 ②∠A+∠B= 90°　 ③ b c 　 ④ a b 　 ⑤ b a 　 ⑥2　 ⑦边　 ⑧3　 例 1　 解:∵ ∠C = 90°, ∠A = 45°, ∴ ∠B = 90° - ∠A = 45°. ∵ cosB= a c ,∴ a= c·cosB= 2 2 × 2 2 = 2,∴ b= c2 -a2 = 2. 例 2　 AC= 12,BC= 16. 【变式】 　 B　 例 3　 解:在 Rt △ABC 中,由勾股定理,得 c = a2 +b2 = 4, ∵ sinA= a c = 2 3 4 = 3 2 ,∴ ∠A= 60°,∴ ∠B= 90°-60° = 30°. 例 4　 1 或 3　 4. 4　 解直角三角形的应用 第 1 课时　 与仰角、俯角及夹角 有关的应用问题 ①上方　 ②下方　 例 1　 这栋高楼的高 BC 为 60 米. 【变式】 　 C　 例 2　 旗杆的高度约为 8. 7 m. 例 3　 ∠BAC　 ∠FBA　 ∠FBD　 ∠BDE　 第 2 课时　 与坡度、坡角及方位角有关 的应用问题 ①坡角　 ②比　 ③陡　 ④北偏东 30°　 ⑤南偏东 60°　 ⑥西北 例 1　 解:(1)车库的高度 AH 为 6 米; (2)点 B 与点 C 之间的距离约为 12 米. 例 2　 解:(1)∠C 的度数为 45°; (2)B,C 两地的距离为 5 6千米. 例 3　 2 10 　 第 5 章　用样本推断总体 5. 1　 总体平均数与方差的估计 ①足够大　 ② x1 +x2 +x3 +…+xn n 　 ③越小　 ④越大　 ⑤简单随机 例 1　 C　 【变式设问】600　 例 2　 解:随机抽出的 6 株红色郁金香离地面高度的平均数 x1 、方差 s 2 1 分别为: x1 = (54+44+37+36+35+34)÷6 = 40, s21 = [(54-40) 2 + ( 44 - 40) 2 + ( 37 - 40) 2 + ( 36 - 40) 2 + ( 35 - 40) 2 +(34-40) 2 ]÷6≈49. 67. 随机抽出的 6 株黄色郁金香离地面高度的平均数 x2 、方差 s22 分别为: x2 = (48+35+38+36+43+40)÷6 = 40, s22 = [(48-40) 2 + ( 35 - 40) 2 + ( 38 - 40) 2 + ( 36 - 40) 2 + ( 43 - 40) 2 +(40-40) 2 ]÷6≈19. 67. ∵ s21 >s 2 2 ,∴ 随机抽出的 6 株黄色郁金香长得比较整齐, ∴ 该公园的红、黄两种颜色的郁金香中,黄色的郁金香长 得比较整齐. 5. 2　 统计的简单应用 第 1 课时　 用样本的“率”去估计总体相应的“率” ①百分比　 ②简单随机　 例 1　 解:(1)0. 22　 20　 26　 0. 26 (2)这次考试的优秀率是 42%,该县理化实验操作考试成 绩为优秀的约有 5 880 名学生. 例 2　 750　 第 2 课时　 对事物的发展趋势做出判断和预测 例 1　 解:(1)50　 30　 (2)B 组的频数为 50×20% = 10, 补全频数分布直方图如解图; (3) 1 200×(10% +20% +30% )= 720(万户), 答:估计该市不受影响的家庭总户数为 720 万户. 例 2　 解:(1)①③　 (2)B　 (3)2024 年上半年,该市小学在校学生共有 81. 6 万人. 第 1 章　二次函数 1. 1　 二次函数 ①y=ax2 +bx+c　 ②常数项　 ③2　 ④二次项　 例 1　 解:(1)y= 2x2 -3 是二次函数,二次项系数是 2、一次项 系数是 0、常数项是-3; (2)y=(2x-1)(1-x)= -2x2+3x-1 是二次函数,二次项系数是-2、 一次项系数是 3、常数项是-1; (3)y= 1 x2 +1 不是二次函数. 例 2　 -2　 例 3　 解:(1)S= 2x2 +24x,V= 6x2 ; (2)它们是关于 x 的二次函数. 例 4　 y= - 1 2 x2 +6x　 0< x≤8　 1. 2　 二次函数的图象与性质 第 1 课时　 二次函数 y=ax2(a>0)的图象与性质 ①越小　 ②越大　 ③小　 例 1　 解:画图略. 共同点:图象的开口均向上;对称轴都是 y 轴;函数都有最 小值为 0;在 y 轴左侧,y 随 x 的增大而减小,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而增大. 不同点:开口大小不同. 例 2　 上　 (0,0)　 y 轴(或直线 x= 0)　 <0　 第 2 课时　 二次函数 y=ax2(a<0)的图象与性质 ①越小　 ②越大　 例 1　 解:画图略. . 图象特点:①开口向下;②过原点;③图象经过第三、四象 限. (答案不唯一) 例 2　 ①③②　 例 3　 解:(1)当 a>0 时,函数图象有最低点,最低点的坐标为 (0,0) . (2)①抛物　 下 　 y 轴(或直线 x = 0) 　 (0,0) 　 大 　 0　 ②<　 > 例 4　 解:当 m> 0 时,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而增大,则 x1 >x2 >0 时,y1 >y2 ; 当 m<0 时,在 y 轴右侧,y 随 x 的增大而减小,则 x1 >x2 > 0 时,y1 <y2 . 第 3 课时　 二次函数 y=a(x-h) 2(a≠0) 的图象与性质 ①直线 x=h　 ②(h,0)　 ③向上　 ④向下　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨0　 ⑩0　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案