3.2 平行线分线段成比例&3.3 相似图形(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

吃透教材 广西数学(XJ) 3. 2　 平行线分线段成比例 一阶 教材知识梳理 1.平行线等分线段定理:两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么 在另一条直线上截得的线段①　 也相等　 . 2.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段②　 成比例　 (简称平行线分线段成比 例) . 3.推论:③ 　 平行 　 于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线),所得的对应线段 ④　 成比例　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　平行线分线段成比例 例 1　 (教材 P69 动脑筋改编)如图,直线 l1∥l2∥l3,直线 AC 分别交 l1,l2,l3 于点 A, B,C,直线 DF 分别交 l1,l2,l3 于点 D,E,F,已知 AB AC = 1 3 ,则EF DE = 　 　 　 　 . 【变式】在例 1 的基础上,下列结论正确的有　 ③④　 . (填序号) ①AB BC =DE DF ;②AB DE =BC DF ;③AB AC =DE DF ;④AC DF =BC EF . 【注意】平行线分线段成比例一定要注意所截线段在位置上的对应关系. 教材母题 2　平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例 例 2　 (教材 P71 练习 T2 改编)如图,在△ABC 中,DE∥BC,AD = 12,DB = 6,AE = 8,则 EC 的长 为　 　 　 　 . 例 2 题图 　 　 　 　 　 变式题图 【变式】如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 CA,BA 的延长线上,且 DE∥BC,如果 AB = 6,AE = 3,CD = 5, 那么 AC= 　 　 　 　 . 三阶 易错剖析 易错点　平行线位置不确定时应分类讨论 例 3　 在平面内,已知△ABC,DE∥BC 且分别交直线 AB,AC 于点 D,E,若 AD ∶AB = 1 ∶ 3,EC = 12, 则 AE= 　 3 或 6　 . 特 别 提 醒 在已知三角形中,平行于底边的直线交另外两条边所在直线于两点,当平行直线位置 未确定时,需考虑平行直线是否经过三角形内部两种情况. 92 吃透教材 广西数学(XJ) 3. 3　 相似图形 一阶 教材知识梳理 1.相似图形:直观上,把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是①　 相似的　 . 2.相似三角形 (1)性质:相似三角形的对应角②　 相等　 ,对应边③　 成比例　 . (2)相似三角形的判定:三个角对应相等,且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形. 若 △ABC 与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,对应边的比叫作相似比. 一般地,若△ABC 与 △A′B′C′的相似比为 k,则△A′B′C′与△ABC 的相似比为④　 　 　 　 . 【温馨提示】若两个三角形的相似比为 1,则这两个三角形全等. 3.相似多边形:(1)判定:对于两个边数相同的多边形,如果他们的对应角⑤　 相等　 ,对应边⑥　 比例　 , 那么这两个多边形叫作相似多边形,相似多边形的对应边的比叫作相似比. (2)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　相似图形 例 1　 下面几对图形中,是相似图形的是 ( C ) A 　 　 　 　 B 　 　 　 　 C 　 　 　 　 D 【温馨提示】 相似图形是指形状完全相同的图形,与它们的大小、位置、方向无关. (例如教材 P75T2) . 所有正方形都是相似图形,但不是所有的菱形都是相似图形(边成比例但角不一定相等) . 教材母题 2　相似三角形的概念及性质（角、边） 例 2　 (教材 P75 练习 T1 改编)如果△ABC∽△A′B′C′,BC = 3,B′C′= 1. 8,A′B′= 1. 5,那么△ABC 与 △A′B′C′的相似比为　 5 ∶3　 ,AB 的长为　 2. 5　 . 【方法总结】利用相似三角形求边或角的一般步骤:(1)确定相似三角形;(2)求边:先确定对应边, 再利用对应边成比例求解;(3)求角:先确定对应角,再利用相似三角形对应角相等求解. 教材母题 3　相似多边形的概念及性质 例 3　 (教材 P75 练习 T2 改编)下列各组多边形相似的是 ( B ) 　 　 　 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 例 4　 装裱一幅宽为 40 cm、长为 60 cm 的矩形画,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似,与原矩 形的短边相接的装裱部分的宽都为 15 cm,若与原矩形的长边相接的装裱部分的宽都为 x cm, 则 x= 　 10　 . 03 37　 　 (3)当 y≤3 000 = 0. 3 万元时,即60 x ≤0. 3,解得 x≥200. 答:若计划平均每月偿还贷款不超过 3 000 元,则至少需要 200 个月还清. 例 2　 解:(1)v 与 t 的函数表达式为 v= 24 t ; (2)当 v=120 时,t= 24 120 =0. 2,当 v=80 时,t= 24 80 =0. 3, ∴ 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间 AB 段的时间范 围为 0. 2≤t≤0. 3. 例 3　 解:(1)p= 4. 8 V (V>0); (2)当 p= 150 时,V = 4. 8 150 = 0. 032,∴ 4 3 × 3r3 = 0. 032,解得 r= 0. 2, ∵ k= 4. 8> 0,∴ p 随 V 的增大而减小,∴ 要使气球不会爆 炸,则 V≥0. 032,此时 r≥0. 2, ∴ 估计气球的半径至少为 0. 2 m 时,气球不会爆炸; (3)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大则容易导 致爆胎. 例 4　 l1 <l2 　 第 2 章　一元二次方程 2. 1　 一元二次方程 ①0　 ②一个　 ③二　 ④a,b,c　 ⑤二次项系数　 例 1　 D　 【变式 1】 　 解:x2 -mx(2x-m+ 1) = x,x2 - 2mx2 +m2x-mx = x, (1-2m)x2 +(m2 -m-1)x= 0, 当 1-2m≠0,即 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx( 2x-m+ 1)= x 是一元二次方程. 当 m= 1 2 时,1-2m= 0,此时原方程不是一元二次方程. 【变式 2】 　 3x2 -3x-5 = 0　 3　 -3　 -5　 例 2　 (32-2x)　 (20-x)　 (32-2x)(20-x)= 570 【变式应用】(1)x2 -7x+6 = 0　 (2)x2 +2x-48 = 0　 例 3　 1　 2. 2　 一元二次方程的解法 2. 2. 1　配方法 第 1 课时　 利用平方根的意义解一元二次方程 ① p 　 ②降次　 例 1　 C　 【变式】 　 4　 例 2　 x1 = 7 ,x2 = - 7 　 【变式】 　 (1)x1 = 5,x2 = -5;(2)x1 = 5 9 ,x2 = - 5 9 . 例 3　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 3,x2 = -1. 例 4　 x1 = -7,x2 = - 1 3 . 第 2 课时　 配方法———二次项系数为 1 ①一次项系数的一半　 ②一元一次　 例 1　 (1)2　 1　 (2)-　 (-5)　 (3) 3 2 　 (- 7 4 )　 【变式】 　 C　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -9;(2)x1 = 4,x2 = 2. 例 3　 -3 例 4　 解:(1)配方法　 (2)②　 等号右边没有加 9 (3)正确的解答过程为: x2 +6x-4 = 0, 移项,得 x2 +6x= 4, 配方,得 x2 +6x+9 = 4+9,即(x+3) 2 = 13, ∴ x+3 = ± 13 ,∴ x+3 = 13或 x+3 = - 13 , ∴ x1 = 13 -3,x2 = - 13 -3. 【变式】 　 B　 第 3 课时　 配方法———二次项系数不为 1 ①1　 ②配方　 例 1　 (1)x1 = -2+ 6 2 ,x2 = -2- 6 2 ; (2)x1 = 10 +3 2 ,x2 = - 10 +3 2 . 例 2　 C　 2. 2. 2　公式法 ①x= -b± b2 -4ac 2a 　 例 1　 (1)x1 = 4+ 21 ,x2 = 4- 21 ; (2)x1 = x2 = 2 2 ; (3)此方程无实数根. 【变式】 　 A　 例 2　 解:(1)一　 (2)原方程化为 x2 -5x- 1 = 0,∵ a = 1,b = - 5,c = - 1,∴ b2 - 4ac= ( - 5) 2 - 4 × 1 × ( - 1) = 29 > 0. ∴ x = 5± 29 2 , ∴ x1 = 5- 29 2 ,x2 = 5+ 29 2 . 2. 2. 3　因式分解法 第 1 课时　 用因式分解法解一元二次方程 ①降次　 ②一元一次　 例 1　 C　 【变式】 　 x1 = 1,x2 = 5. 例 2　 x1 = 2,x2 = 2 3 　 例 3　 (1)x1 = 3 7 ,x2 = -5;　 (2)x1 = x2 = 4. 例 4　 (x+5) 2 -4 = 0　 (x+3)(x+7)= 0　 -3　 -7　 第 2 课时　 用适当的方法解一元二次方程 ①直接开平方法　 ②配方法 　 ③因式分解法 　 ④公式法 　 例 1　 A　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 ; (3)x1 = -2,x2 = 1;(4)x1 = 3,x2 = -1. 2. 3　 一元二次方程根的判别式 ①Δ　 ②Δ= b2 -4ac　 ③两个相等　 ④没有　 例 1　 A　 例 2　 (1)此方程有两个不相等的实数根; (2)此方程有两个相等的实数根; (3)此方程没有实数根. 例 3　 k≥- 1 8 且 k≠0　 【变式 1】 　 B　 【变式 2】 　 -4<k<4　 例 4　 k>3 且 k≠5　 例 5　 k 的取值范围为 k≥- 1 8 . ※2. 4　 一元二次方程根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0. ∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1; (2)原式整理得:3x2 +x- 3 = 0. Δ = 12 - 4× 3×( - 3) = 37> 0. ∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -3 3 = -1. 例 2　 2　 例 3　 20　 例 4　 7　 例 5　 2　 2. 5　 一元二次方程的应用 第 1 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量　 例 1　 解:(1)该公司投递快递总件数的月增长率为 30% ; (2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那 么 5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 【变式】 　 20% 　 例 2　 每件应降价 4 元. 例 3　 解:(1)y 与 x 之间的函数关系式为 y = 10x+100(0<x< 20); (2)这种排球每个的实际售价是 48 元. 例 4　 10　 第 2 课时　 几何问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x)　 例 1　 B　 例 2　 8 或 12　 例 3　 2x　 (180+2×2x) 　 (90+2x) 　 上下边衬的宽度是 4. 5 cm. 例 4　 48 例 5　 解:(1)(6-t)　 2t　 (2)出发 2 秒后,四边形 APQC 的面积为 16 cm2 . 例 6　 15　 第 3 章　图形的相似 3. 1　 比例线段 3. 1. 1　比例的基本性质 ①内项　 ②外项　 ③bc　 例 1　 C　 【变式】 　 A　 【思考】1,9,16　 例 2　 4 ∶3　 【变式】 　 D 例 3　 -4　 3. 1. 2　成比例线段 ① m n 　 ②短　 ③长　 ④长　 例 1　 C　 例 2　 D　 例 3　 解:∵ a,b,c,d 是比例线段,∴ a ∶b= c ∶d,∴ ad= bc. (1)∵ a= 4,b= 1,c= 12, ∴ 4d= 1×12,∴ d= 3; (2)∵ a= 1. 5,b= 2. 5,d= 2,∴ 1. 5×2 = 2. 5c,∴ c= 1. 2. 【变式】 　 B　 例 4　 C　 【变式】 　 C　 例 5　 解:不正确,正确的解答如下: 设所加的线段长为 x, 则根据成比例线段得, 3 4 = 6 x 或 3 4 = x 6 或 3 x = 4 6 或 x 3 = 4 6 ,解得 x= 8 或 x= 9 2 或 x= 2. 即所加的线段长为 8 或 9 2 或 2. 3. 2　 平行线分线段成比例 ①也相等　 ②成比例　 ③平行　 ④成比例　 例 1　 2　 【变式】③④　 例 2　 4　 【变式】 　 10 3 　 例 3　 3 或 6　 3. 3　 相似图形 ①相似的　 ②相等　 ③成比例　 ④ 1 k 　 ⑤相等　 ⑥成比例 例 1　 C　 例 2　 5 ∶3　 2. 5　 例 3　 B　 例 4　 10　 3. 4　 相似三角形的判定与性质 3. 4. 1　相似三角形的判定 第 1 课时　 利用平行线判定三角形相似 ①相似　 例 1　 3　 例 2　 AF CF = 2 5 . 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 ①相等　 例 1　 证明略. 例 2　 解:(1)证明略; (2)∵ AB= 5,BC= 3,∠C= 90°,∴ AC= AB2 -BC2 = 4, ∵ △ADE∽△ABC,∴ AD AB =AE AC ,即 3 5 =AE 4 ,∴ AE= 12 5 . 第 3 课时　 相似三角形的判定定理 2 ①成比例　 ②相等　 例 1　 A　 【变式】 　 解:∵ AE= 1. 5,AC= 4. 5,且 AB= 3AD, ∴ AE AC = 1 3 ,AD AB = 1 3 ,∴ AE AC =AD AB , ∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ABC, ∴ DE BC = 1 3 ,∴ BC= 3DE= 3×2 = 6. 例 2　 2　 第 4 课时　 相似三角形的判定定理 3 ①成比例　 例 1　 解:(1)△ABC 和△DEF 不相似. 理由:∵ AB DE = 1 2 ,BC EF = 1 2 ,AC DF = 2 3 ,∴ AB DE =BC EF ≠AC DF , ∴ △ABC 和△DEF 不相似; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案