专题02 将军饮马之双线段差最大值（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题02 将军饮马之双线段差最大值 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.将军饮马模型（双线段差的最大值） 3 8 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 图（1） 图（2） 模型1.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25·福建泉州·七年级期末）如图，在网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．(1)画出关于直线l对称的图形；(2)点P在直线l上，直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析(2)2 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：（当、、共线时，取等号）， 的最大值为的长，即的最大值为2． 例2（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线成轴对称的．(2)的面积为 ． (3)在直线上找一点，使的值最小．(4)在上找一点，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析(2)5(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：；故答案为：5； （3）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求； 由对称知，，则最小值为线段的长； （4）解：如图，延长交于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 例3（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；(2)在直线上找一点P，使，说明主要依据；(3)在上找一点Q，使值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，点即为所求； 理由：∵关于对称，∴，∵，∴； （3）解：如图，延长交于点，点即为所求． 理由：∵当不共线时，由三角形三边关系可得， 当共线时，，∴当共线时，的值最大． 例4（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （2）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 例5（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    【答案】6 【详解】解：∵A、C两点关于直线MN对称，∴，    ∵的周长是16，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，，， ∵A、C两点关于直线MN对称，∴，∴， 故的最大值为6，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：6． 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【详解】解：∵A、C两点关于直线MN对称，， 又，，， 在上取点，连接、、， ∵A、C两点关于直线MN对称，，，在中， 当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时．故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵A、C两点关于直线MN对称，∴， ∵的周长是18，， ∴的周长，点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线MN对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 3．（24-25·贵州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， B、C两点关于直线EF对称，点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________ 【答案】3 【详解】解：如图所示，延长BA交直线EF于点P，此时|PA-PB|=AB=3最大，故答案为：3． 4．（2024·河南·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴， ∵点A与A′关于CD对称，∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 5．（2024·广东·八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，，都在格点上．画出关于直线对称的；在直线上找一点，使的值最大，在图形上画出点的位置，并直接写出的最大值． 【答案】见解析；图见解析， 取到最大值 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求.在中，，即，，三点共线时，取到最大值. 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上.（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1； （2）在图1中直线l上找出一点Q,使得 QA+QC1的值最小；（3）在图1中直线l上找出一点P,使得 |PA−PC1| 的值最大； 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析. 【详解】如图所示：   图1 7．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，的三个顶点A，B，C都在格点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)在直线l上找出一点Q，使得的值最小；（描出该点并标注字母Q） (3)在直线l上找出一点P，使得的值最大．（保留作图痕迹并标注点P） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，点Q即为所求． （3）如图，点P即为所求． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小．(3)在直线l上画出点Q，使得最小． 【答案】(1)图见解析；6(2)图见解析(3)图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求． 的面积为：故答案为：6． （2）解：如图，连接，交直线l于点P，连接， 根据轴对称性质可知：，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小，则点P即为所求． （3）解：如图，作线段的垂直平分线，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 根据线段垂直平分线的性质可知：，∴，∴此时最小． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ； (3)在直线l上找点P使得最小；(4)直线l上找一点Q使得最大． 【答案】(1)见解析(2)11(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，的面积为．故答案为：11； （3）解：如图，点P即为所作； （4）解：如图，点Q即为所作； ． 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的；(2)在网格中画出关于直线m对称的；(3)在直线m上画一点P，使得的值最大（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形；    （3）解：连接，并延长，交直线m于一点，该点即为点P，如图所示： ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当、、P在同一直线上时，的值最大． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 将军饮马之双线段差最大值 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.将军饮马模型（双线段差的最大值） 3 8 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 图（1） 图（2） 模型1.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25·福建泉州·七年级期末）如图，在网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．(1)画出关于直线l对称的图形；(2)点P在直线l上，直接写出的最大值． 例2（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线成轴对称的．(2)的面积为 ． (3)在直线上找一点，使的值最小．(4)在上找一点，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 例3（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；(2)在直线上找一点P，使，说明主要依据；(3)在上找一点Q，使值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．） 例4（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例5（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 3．（24-25·贵州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， B、C两点关于直线EF对称，点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________ 4．（2024·河南·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 5．（2024·广东·八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，，都在格点上．画出关于直线对称的；在直线上找一点，使的值最大，在图形上画出点的位置，并直接写出的最大值． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上.（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1； （2）在图1中直线l上找出一点Q,使得 QA+QC1的值最小；（3）在图1中直线l上找出一点P,使得 |PA−PC1| 的值最大； 7．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，的三个顶点A，B，C都在格点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)在直线l上找出一点Q，使得的值最小；（描出该点并标注字母Q） (3)在直线l上找出一点P，使得的值最大．（保留作图痕迹并标注点P） 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小．(3)在直线l上画出点Q，使得最小． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ；(3)在直线l上找点P使得最小；(4)直线l上找一点Q使得最大． 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的；(2)在网格中画出关于直线m对称的；(3)在直线m上画一点P，使得的值最大（保留作图痕迹）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$