指数函数与对数函数的应用(2)-知识点训练卷 山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第21卷（原卷版+解析版）

编写说明：山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的66份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的24份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第21卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数与对数函数的应用的掌握情况。 山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第21卷 指数函数与对数函数的应用（2） 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 2．函数，，若，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知（其中1），则函数与的图像是（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 4．当时，在同一坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ）. A．   B．   C．     D．   5．某种产品，2005年每件成本是100元，若成本每件每年降低10%，则2010年每件产品 的成本约是（    ） A．59元 B．60元 C．61元 D．62元 6．某市2012年的专利申请量为10万件，为了落实“科教兴鲁”战略，该市计划2017年专利申请量达到20万件，其年平均增长率最少为（    ） A．12.25% B．13.32% C．14.87% D．18.92% 7．某人年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到年7月1日可取款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某新型机械的生产效率（件/小时）与使用年限的关系为.使用年后，该机械的生产效率约为（    ）（参考数据：） A．件/小时 B．件/小时 C．件/小时 D．件/小时 10．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（   ）小时后才可以驾驶机动车． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知函数，直线y=a与函数f（x）的图象恒有两个不同的交点， 则a的取值范围是 . 12．若，，则 ． 13．设函数则 ． 14．某机械零件的疲劳寿命（单位：次）与所承受的应力（单位：兆帕）的关系为 .当应力兆帕时，零件的疲劳寿命 . 15．某厂技术创新，经过5年年产值翻了两番，若每年比上一年平均增长率为，则可得关 系式为 ． 16．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单 位国内生产总值能耗降低.如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程 是 17．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式， 这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得 ． 18．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为，2021年该市的生活的垃圾量为吨，由此 可以预测2031年该市的生活垃圾量为 吨． 三、解答题（本题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分） 19．将下列指数式、对数式互化： (1)； (2)； 20．解下列不等式 (1)； (2) 21．指数函数在上最大值与最小值的和是， (1)求a的值； (2)当，解不等式． 22．（1）将下列各指数式写成对数式：；． （2）把下列对数式写成指数式：； 23．某产品投放市场以来，经三次降价，单价由原来的512元，降到216元，则该产品每次 降价的百分率是多少？ 24．我们知道，候鸟每年秋天都要从北方飞向南方过冬．假如某种候鸟的飞行速度可 以表示为函数，其中x表示这种候鸟的耗氧量的单位数. (1)当这种候鸟的飞行速度为时，它的耗氧量是多少单位； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的66份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的24份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第21卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数与对数函数的应用的掌握情况。 山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第21卷 指数函数与对数函数的应用（2） 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．函数，，若，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由等式代入即可得k的值. 【详解】已知，， ，则， 解得. 故选：C. 3．已知（其中1），则函数与的图像是（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】由得，则，即可判断函数图象得对称性. 【详解】因为， 则，即， 所以， 所以函数与的图像关于y轴对称. 故选：C. 4．当时，在同一坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ）. A．   B．   C．     D．   【答案】B 【分析】由的范围，结合指数函数和对数函数的图象和性质分析即可. 【详解】当时，在上为增函数，图象位于轴右侧，自左而右逐渐上升，C、D选项的图象没有显示这种特征，故排除C、D选项； 当时，在上为减函数，图象位于轴上方，自左而右逐渐下降，A选项的图象没有显示这种特征，故排除A选项，B选项符合要求. 故选：B 5．某种产品，2005年每件成本是100元，若成本每件每年降低10%，则2010年每件产品的成本约是（    ） A．59元 B．60元 C．61元 D．62元 【答案】A 【分析】根据题意列出含指数算式易得答案. 【详解】因为2005年每件成本是100元，成本每件每年降低10%， 则2010年每件产品的成本约是． 故选：A. 6．某市2012年的专利申请量为10万件，为了落实“科教兴鲁”战略，该市计划2017年专利申请量达到20万件，其年平均增长率最少为（    ） A．12.25% B．13.32% C．14.87% D．18.92% 【答案】C 【分析】根据题意列方程，结合指数幂运算法则计算即可. 【详解】设年平均增长率最少为x, 因为2012年的专利申请量为10万件， 要使2017年专利申请量达到20万件， 则． 故选：C. 7．某人年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到年7月1日可取款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据复利计算方法即可求解. 【详解】由题意知，年7月1日可取款元； 年7月1日可取款元； 年7月1日可取款元． 故选：D. 8．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据立方的性质和指数函数的性质易得答案. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当， 即，， 所以二者互为充要条件. 故选：C. 9．某新型机械的生产效率（件/小时）与使用年限的关系为.使用年后，该机械的生产效率约为（    ）（参考数据：） A．件/小时 B．件/小时 C．件/小时 D．件/小时 【答案】B 【分析】根据指数的运算，即可求解. 【详解】把代入，得件/小时. 故选：B. 10．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（   ）小时后才可以驾驶机动车． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意列出酒精含量与时间的关系式，进而求解. 【详解】设小时后才可以驾车，据题意得， ， 解得： 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知函数，直线y=a与函数f（x）的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 . 【答案】0<a≤1. 【分析】结合指数函数对数函数的图像求解. 【详解】画出两个函数图像，数形结合解决问题.    函数f（x）的图象如图所示， 要使直线y=a与的图象有两个不同的交点，则0<a≤1. 故答案为： 12．若，，则 ． 【答案】 【分析】由指数式化成对数式，再根据对数的运算即可求解. 【详解】将化成对数式， 由， 可得. 故答案为：. 13．设函数则 ． 【答案】0 【分析】由对数函数，指数函数及分段函数的函数值即可得解. 【详解】因为函数， 所以，则. 故答案为：0. 14．某机械零件的疲劳寿命（单位：次）与所承受的应力（单位：兆帕）的关系为.当应力兆帕时，零件的疲劳寿命 . 【答案】 【分析】将代入表达式，再根据对数的运算求解即可. 【详解】将代入， 即. 故答案为：300. 15．某厂技术创新，经过5年年产值翻了两番，若每年比上一年平均增长率为，则可得关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出年产值与增长率的函数关系. 【详解】由题意，设年产值第1年为，每年比上一年平均增长率为，则经过5年后为. 而经过5年年产值翻了两番，即为. 故，即． 故答案为. 16．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低.如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是 【答案】 【分析】根据题目可知每年的国民生产总值是上一年的，然后列出方程即可. 【详解】由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的，由题意可得. 故答案为：. 17．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得 ． 【答案】 【分析】由复指数函数和三角函数的关系式直接计算即得. 【详解】∵， ∴将代入. 故答案为：. 18．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为，2021年该市的生活的垃圾量为吨，由此可以预测2031年该市的生活垃圾量为 吨． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】因为2021年该市的生活的垃圾量为吨，年增长率为， 所以可预测2031年该市的生活垃圾量为吨． 故答案为：. 三、解答题（本题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分） 19．将下列指数式、对数式互化： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数式和对数式的互化原则进行互化即可. 【详解】（1）. （2）. 20．解下列不等式 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转换为，再利用指数函数单调性即可求得该不等式的解集； （2）因为，将写成，再利用对数函数单调性化简不等式，即可求得该不等式的解集. 【详解】（1）由可得，即， 因为为上增函数， 所以，解之得， 所以不等式的解集为. （2）， 因为对数函数在上单调递增， 则，解之得， 所以不等式的解集为. 21．指数函数在上最大值与最小值的和是， (1)求a的值； (2)当，解不等式． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】（1）根据函数的最大值与最小值的和求解即可. （2）根据指数函数的单调性求解不等式. 【详解】（1）由题可知，解得：或． （2）因为由（1）可知， 所以， 解得，解得： 所以不等式的解集为． 22．（1）将下列各指数式写成对数式：；． （2）把下列对数式写成指数式：； 【答案】（1），；（2），. 【分析】根据对数的定义即可得解. 【详解】解：（1）转化为对数式：． 转化为对数式：． （2）转化为指数式： 转化为指数式：． 23．某产品投放市场以来，经三次降价，单价由原来的512元，降到216元，则该产品每次降价的百分率是多少？ 【答案】12.5% 【分析】根据题意列出含指数的方程，解方程易得答案. 【详解】由题意设每次降价百分率为， 则， 解得． 答：则该产品每次降价的百分率是 24．我们知道，候鸟每年秋天都要从北方飞向南方过冬．假如某种候鸟的飞行速度可以表示为函数，其中x表示这种候鸟的耗氧量的单位数. (1)当这种候鸟的飞行速度为时，它的耗氧量是多少单位； (2)当这种候鸟的耗氧量是160个单位时，它的飞行速度是多少？ 【答案】(1)20单位. (2)80m/s. 【分析】（1）将代入所给的表达式中，即可求出它的耗氧量； （2）将代入所给的表达式中，即可求出它的飞行速度. 【详解】（1）由题知，则 ， 解得（单位）， 所以当这种候鸟飞行速度为时，它的耗氧量是20单位. （2）由题知，则     所以当这种候鸟耗氧量是160单位时，它的飞行速度是. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$