指数函数与对数函数的应用(1)-知识点训练卷 山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第20卷（原卷版+解析版）

编写说明：山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的66份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的24份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第20卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数与对数函数的应用的掌握情况。 山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第20卷 指数函数与对数函数的应用（1） 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：年）满足对数函数.若投资年后收益为元，则的值为（   ）. A． B． C． D． 3．某新兴企业的市场估值（单位：亿元）与成立年数满足.若该企业市场估值达到亿元，它大约成立了多少年（     ）. A．6 年 B．7 年 C．8 年 D．9 年 4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（ ） A．3 B． C．4 D． 6．与的图象关于（　　） A．x轴对称 B．直线对称 C．原点对称 D．y轴对称 7．若点与点关于y轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．点关于轴的对称点是，则与的值分别是（    ） A． B． C．1，1 D． 9．某厂年的产值是万元，计划以后每一年的产值比上一年增加，则该厂 年的产值（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 10．在一个安静的图书馆环境中，噪音强度（单位：）与距离噪音源的距离（单位：米）的关系为.当噪音强度为时，距离噪音源大约多远（    ）.（参考数据：） A．10 米 B．50 米 C．100 米 D．1000 米 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．某机械零件的磨损程度与使用时间（单位：小时）满足对数函数关系，当时，，则当时， . 12．一杯热水的温度（单位：）随时间（单位：分钟）的变化规律为，当分钟时，水温 . 13．函数， ， 则 ． 14．若关于坐标原点的对称点是，则实数 ． 15．已知，若，则实数的值为 ． 16．某市2022年GDP为20亿元，计划在今后10年内，平均每年增长，试问：到2032年时，该市的GDP为 亿元（不计算）. 17．某种债券的本金为1000元，利率为每年，按复利计算，x 年后债券价值y（元）的表达式为 . 18．某机械加工设备的精度损耗与加工零件数量（单位：个）遵循对数函数.已知当加工个零件时，精度损耗，那么当加工个零件时，精度损耗 . 三、解答题（本题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分） 19．根据条件求下列各式中的： (1)； (2)． 20．解方程：． 21．声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：）. 一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为;求人听觉的声强级范围. 22．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与成正比，且当时，.求出V关于Q的函数解析式. 23．已知对数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)解方程． 24．已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几小时（精确到0.1）．（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的66份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、不等式、函数等11个章节的24份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第20卷，是知识点训练卷，主要考查指数函数与对数函数的应用的掌握情况。 山西省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第20卷 指数函数与对数函数的应用（1） 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的性质解不等式即可． 【详解】因为，其中， 所以在上为减函数，故； 因为，其中， 所以在上为增函数，故． 故选：C． 2．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：年）满足对数函数.若投资年后收益为元，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入表达式再根据对数的运算求解即可. 【详解】已知，当时，， 化简得，解得，解得，即. 故选： A. 3．某新兴企业的市场估值（单位：亿元）与成立年数满足.若该企业市场估值达到亿元，它大约成立了多少年（     ）. A．6 年 B．7 年 C．8 年 D．9 年 【答案】A 【分析】将代入表达式，再根据对数的运算求解. 【详解】当时，代入，得到. 即，解得，最接近年. 故选 ：A. 4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干列出解析式，根据解析式选择函数图像即可. 【详解】设原来森林蓄积量为a， ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长， ∴一年后，森林蓄积量为， 两年后，森林蓄积量为， 经过y年，森林蓄积量为， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年， ∴， ∴则； 由于函数是对数函数，，由对数函数图像可知， 函数的图象大致为D. 故选：D． 5．已知，则的值为（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质即可解得. 【详解】由得， 故， 故选：A. 6．与的图象关于（　　） A．x轴对称 B．直线对称 C．原点对称 D．y轴对称 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，结合反函数的图象性质即可得解. 【详解】函数与函数是互为反函数， 故它们的图象关于直线对称． 故选：B. 7．若点与点关于y轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用点关于y轴对称的性质，结合指数函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】因为点与点关于y轴对称， 所以，，解得，. 故选：A. 8．点关于轴的对称点是，则与的值分别是（    ） A． B． C．1，1 D． 【答案】A 【分析】根据两点关于轴对称的特点，找到横纵坐标的关系，即可求解. 【详解】∵点和关于轴的对称点， 即横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴，得到，. 故选：A． 9．某厂年的产值是万元，计划以后每一年的产值比上一年增加，则该厂 年的产值（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，每年产值比上一年增加，利用指数函数的应用即可求解. 【详解】由题意得，该厂自到年经过了次增长， 所以经过年后，即2010年的产值为. 故选：B. 10．在一个安静的图书馆环境中，噪音强度（单位：）与距离噪音源的距离（单位：米）的关系为.当噪音强度为时，距离噪音源大约多远（    ）.（参考数据：） A．10 米 B．50 米 C．100 米 D．1000 米 【答案】B 【分析】将代入表达式再根据对数的运算求解即可. 【详解】已知，代入，得到. 移项得，即.解得. 故选： B. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．某机械零件的磨损程度与使用时间（单位：小时）满足对数函数关系，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】首先根据当时，求出函数表达式，再将代入求解. 【详解】把，代入，可得，即. 即，解得. 所以函数为，当时，. 故答案为：1. 12．一杯热水的温度（单位：）随时间（单位：分钟）的变化规律为，当分钟时，水温 . 【答案】 【分析】将代入表达式，再根据对数的运算求解即可. 【详解】把代入， 得. 故答案为：20. 13．函数， ， 则 ． 【答案】0 【分析】根据题意表示出，得出即可得解. 【详解】因为①， 用去替换①中的得， 即②， ①+②可得， 所以若， 则， 故答案为：0． 14．若关于坐标原点的对称点是，则实数 ． 【答案】11 【分析】由点的对称得到的坐标，进而求解. 【详解】∵与关于原点对称， 得 故答案为：11. 15．已知，若，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】分别求得，，根据，解方程可求解. 【详解】因为， 所以，. 由题得，所以，解得. 故答案为： 16．某市2022年GDP为20亿元，计划在今后10年内，平均每年增长，试问：到2032年时，该市的GDP为 亿元（不计算）. 【答案】 【分析】利用指数函数模型的应用即可得解. 【详解】指数函数模型公式， 某市2022年GDP，亿元， 在今后10年内，平均每年增长率， 到2032年该市的GDP为， 故答案为： 17．某种债券的本金为1000元，利率为每年，按复利计算，x 年后债券价值y（元）的表达式为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出函数关系，即可求解. 【详解】由题意知某种债券的本金为1000元，利率为每年， 则按复利x 年后债券价值. 故答案为：. 18．某机械加工设备的精度损耗与加工零件数量（单位：个）遵循对数函数.已知当加工个零件时，精度损耗，那么当加工个零件时，精度损耗 . 【答案】 【分析】首先根据题目条件求出函数的表达式，再将代入求解. 【详解】将，代入，可得，即. 即，解得.所以函数为. 当时，. 故答案为：. 三、解答题（本题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分） 19．根据条件求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据自变量的位置，指数式化成对数式，直接求解． （2）根据自变量的位置，对数式化成指数式，直接求解． 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. 20．解方程：． 【答案】 【分析】根据指对互化即可求解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴，即原方程的解为． 21．声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：）. 一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为;求人听觉的声强级范围. 【答案】 【分析】判断出函数是单调递增函数，再根据对数的运算代值求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以令得，， 令得，， 所以人听觉得声强级范围为. 22．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与成正比，且当时，.求出V关于Q的函数解析式. 【答案】 【分析】根据函数关系设函数解析式，利用待定系数法易得答案； 【详解】由题意得设， ∵当时，， ∴， ∴，∴V关于Q的函数解析式为； 23．已知对数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据指对互化即可求解. 【详解】（1）由题意设(且)， 由函数图象过点可得， 即，所以， 解得，故． （2）方程，即， 所以，所以方程的解是． 24．已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几小时（精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】(1)，其中． (2)7.2 【分析】（1）根据题意列出方程，再根据指数与对数的关系求解即可. （2）根据题意列出不等式，再根据转化关系求解即可. 【详解】（1）由已知，， 所以，其中． （2）由，即． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$