21.3 实际问题与一元二次方程(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 13　 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 一阶 教材知识梳理 1.传播问题:若初始数据为 a, 每次传播 x 个, 则第一轮后共有 a ( 1 + x) 个, 第二轮后共有 ①　 a(1+x) 2 　 个. 2.握手、单循环问题:若共有 n 人,则握手(单循环赛)的总次数为②　 　 　 　 　 　 . 3.互赠礼物、双循环问题:若共有 n 人,则送礼物的总份数为③　 　 　 　 　 　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　传播问题 例 1　 (教材 P19 探究 1 改编)某地有两人患了流感,经过两轮传染后共有 98 人患了流感,每轮传染 中平均一个人传染了几个人? 解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 人, 根据题意,得 2(1+x) 2 = 98,解得 x1 = 6,x2 =-8(不符合题意,舍去), ∴每轮传染中平均一个人传染了 6 个人. 【变式】某地有两人患了流感,经过两轮传染后又有 70 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几 个人? 解:设每轮传染中平均一个人传染 x 个人,则第一轮传染中有 2x 人被传染,第二轮传染中有 x(2+2x)人被传染, 根据题意,得 2x+x(2+2x)= 70,整理,得 x2+2x-35= 0, 解得 x1 = 5,x2 =-7(不符合题意,舍去), ∴每轮传染中平均一个人传染了 5 个人. 【方法总结】应用一元二次方程解决实际问题的步骤: 教材母题 2　循环问题 例 2　 (教材 P22 习题 T6 改编)一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,经统计所有人 一共握了 10 次手,则这次会议到会的人数是　 5　 . 【变式】初中毕业时,某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送 1 260 张照片. 设全班有 x 名同学,可列方程为 ( A ) A. x(x-1)= 1 260　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. x(x+1)= 1 260 C. x(x-1)= 1 260×2 D. x(x+1)= 1 260×2 教材母题 3　数字问题 例 3　 (教材 P21 习题 T2 改编)一个两位数,十位数字比个位数字大 2,把这个两位数的个位数字 和十位数字交换后平方,所得数值比原来的两位数大 138,则原来的两位数为　 31　 . 吃透教材 14　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 一阶 教材知识梳理 1.平均变化率问题:设 a 为原来的量,b 为变化后的量. (1)若平均增长率为 x,增长次数为 2,则①　 a(1+x) 2 =b　 ; (2)若平均下降率为 x,下降次数为 2,则②　 a(1-x) 2 =b　 . 2.销售利润问题: (1)每件利润=每件售价-每件成本; (2)总利润=每件利润×③　 销售量　 . 二阶 教材母题变式 教材母题 1　平均变化率问题 例 1　 (教材 P19 探究 2 改编)某工厂一月份的生产成本是 400 万元,由于改进技术,生产成本逐月 下降,三月份的生产成本是 289 万元,假设每月成本的下降率相同. 求每月生产成本的下降率. 解:设每月生产成本的下降率为 x, 依题意,得 400(1-x) 2 = 289, 解得 x1 = 0. 15= 15%,x2 = 1. 85(不符合题意,舍去) . 答:每月生产成本的下降率为 15%. 【变式】(教材 P26 复习题 T10 改编)我国快递行业迅速发展,经调查,某快递公司今年 2 月份投递快 递总件数为 20 万件,4 月份投递快递总件数为 33. 8 万件. 假设该公司每月投递快递总件数的增 长率相同. (1)求该公司投递快递总件数的月平均增长率. (2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,则 5 月份投递快递总件数能否达到 45 万件? 解:(1)设该公司投递快递总件数的月平均增长率为 x, 依题意,得 20(1+x) 2 = 33. 8, 解得 x1 = 0. 3= 30%,x2 =-2. 3(不符合题意,舍去) . 答:该公司投递快递总件数的月平均增长率为 30%. (2)33. 8×(1+30%)= 43. 94(万件) . ∵43. 94<45, ∴5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 15　 教材母题 2　销售利润问题 例 2　 某种服装,平均每天可销售 20 件,每件盈利 44 元. 在每件降价幅度不超过 10 元的情况下,若 每件降价 1 元,则每天可多售 5 件. 如果每天要盈利 1 600 元, 那么每件应降价多少元? 解:设每件降价 x(0≤x≤10)元. 根据题意,得(44-x)(20+5x)= 1 600. 化简,得 x2-40x+144= 0, ∴ (x-4)(x-36)= 0, 解得 x1 = 4,x2 = 36(不符合题意,舍去) . 答:每件应降价 4 元. 【变式】某商店准备销售一种多功能旅行背包,计划从厂家以每个 30 元的价格进货,经过市场调查发 现,当每个背包的售价为 40 元时,月均销量为 280 个,售价每增长 1 元,月均销量就相应减少 10 个. (1)若要使这种背包的月均销量不低于 130 个,则每个背包售价不高于　 55　 元; (2)在(1)的条件下,当这种背包的销售单价为多少元时,销售利润是 3 120 元? (3)这种背包的销售利润有可能达到 3 700 元吗? 若能,请求出此时的销售单价;若不能,请说明 理由. 解:(2)设这种背包的销售单价为 x 元,由题意,得(x-30)[280-10(x-40)] = 3 120, 整理,得 x2-98x+2 352= 0, 解得 x1 = 42,x2 = 56(不符合题意,舍去) . 答:当这种背包的销售单价为 42 元时,销售利润是 3 120 元. (3)这种背包的销售利润不可能达到 3 700 元. 理由如下: 由题意,得(x-30)[280-10(x-40)] = 3 700, 整理,得 x2-98x+2 410= 0, ∵Δ=(-98) 2-4×1×2 410=-36<0, ∴该方程没有实数根, 即这种背包的销售利润不可能达到 3 700 元. 吃透教材 16　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 3 课时　 面积问题 一阶 教材知识梳理 设阴影部分的宽为 x,则图 1 中 S空白 = ①　 (a-2x)(b-2x) 　 ,图 2 中 S空白 = ②　 (a-x)(b-x) 　 ,图 3 中 S空白 =③　 (a-x)(b-x)　 . 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 二阶 教材母题变式 教材母题 1　规则图形问题 例 1　 (教材 P21 习题 T3 改编)一个直角三角形的两条直角边的和是 7 cm,面积是 6 cm2,求两条直 角边的长. 解:设其中一条直角边的长为 x cm,则另一条直角边的长为(7-x)cm, 由题意,得 1 2 x(7-x)= 6, 整理,得 x2-7x+12= 0,解得 x1 = 3,x2 = 4. 当 x= 3 时,7-x= 4; 当 x= 4 时,7-x= 3. 答:两条直角边的长分别为 3 cm,4 cm. 【变式】(教材 P25 复习题 T5 改编)等腰梯形的面积为 160 cm2,上底比高多 4 cm,下底比高多 20 cm, 这个梯形的高为 ( A ) A. 8 cm　 　 　 　 　 　 　 B. 10 cm　 　 　 　 　 　 　 C. 16 cm　 　 　 　 　 　 　 D. 20 cm 【方法总结】利用一元二次方程解决规则图形问题时,一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式 或体积公式,然后利用公式进行建模并解决相关问题. 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 17　 教材母题 2　边框与甬道问题 例 2　 (教材 P20 探究 3 改编)如图,要设计一本画册的封面,封面长 40 cm,宽 30 cm,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形画. 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的 1 5 ,上、下边衬 等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度. 解:封面的长宽之比为 4 ∶ 3,中央的矩形的长宽之比也应为 4 ∶ 3, 设中央的矩形的长和宽分别是 4x cm 和 3x cm, 要使四周的边衬所占面积是封面面积的 1 5 ,则中央矩形面积是封面面积的 4 5 . 于是可列方程 4x·3x= 4 5 ×40×30, 整理,得 x2 = 80, 解得 x= 4 5或 x=-4 5(不符合题意,舍去), 则上、下边衬的宽为(40-16 5)cm,左、右边衬的宽为(30-12 5)cm. 【变式】如图,某农家乐老板计划在一块长 130 米,宽 60 米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼 塘,它们的面积之和为 5 750 平方米,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓 通道的宽度为 ( B ) A. 4. 5 米 B. 5 米 C. 5. 5 米 D. 6 米 教材母题 3　围墙问题 例 3　 (教材 P25 复习题 T8 改编)如图,某中学准备建一个面积为 150 m2 的矩形花园,它的一边利用 图书馆的后墙,另外三边所围的栅栏的总长度是 40 m,求垂直于墙的边 AB 的长度(后墙 MN 最 长可利用 25 m) . 解:设 AB 为 x m,则 BC 为(40-2x)m, 根据题意,得 x(40-2x)= 150,即 2x2-40x+150= 0,解得 x1 = 15,x2 = 5. ∵40-2x≤25,∴ x≥7. 5,∴ x= 15. 答:垂直于墙的边 AB 的长度为 15 m. 34　 21. 2. 3　 因式分解法 ①0　 ②降次　 ③a= 0　 ④b= 0 例 1　 物体经过约 2. 04 s 落回地面. 【变式】(1)x1 = x2 = 1. 　 (2)x1 = 1,x2 = 1 3 . 【方法总结】(1)0　 (2)积　 (3)0　 ①x+2 = 0 或 x+3 = 0　 ②x1 = -2,x2 = -3 例 2　 (1)x1 = 2,x2 = -5. (2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 . (3)x1 = -2,x2 = 1. (4)x1 = 3,x2 = -1. 【方法总结】①直接开平方　 ②配方法　 ③因式分解法　 ④公式法 例 3　 (1)佳琪同学的解法错误,原因是第一步出现错误,方 程两边不能同时除以 x+2. (2)x1 = -2,x2 = 4. ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 ③相反数　 ④二次项系数　 ⑤≥ 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0,∴ 方程有两个实数根 x1 , x2 ,∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1. (2)将原方程整理,得 3x2 +x-3 = 0,Δ= 12 -4×3×( -3)= 37> 0,∴ 方程有两个实数根 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -1. 例 2　 解:设方程的另一根为 x1 ,∵ x1 +3 = 1,∴ x1 = -2. ∵ x1 ·3 = -2×3 = c,∴ c= -6. 【变式 1】2　 【变式 2】1 例 3　 (1)x1 +x2 -x1x2 = 2. (2)x21 +x 2 2 = 21 4 . (3) 1 x1 + 1 x2 = 5. 例 4　 -3 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 ①a(1+x) 2 　 ②n(n -1) 2 　 ③n(n-1) 例 1　 每轮传染中平均一个人传染了 6 个人. 【变式】每轮传染中平均一个人传染了 5 个人. 例 2　 5　 【变式】A　 例 3　 31 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量 例 1　 每月生产成本的下降率为 15%. 【变式】(1)该公司投递快递总件数的月平均增长率为 30%. (2)5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 例 2　 每件应降价 4 元. 【变式】(1)55 (2) 当这种背包的销售单价为 42 元时, 销售利润是 3 120 元. (3)这种背包的销售利润不可能达到 3 700 元. 理由略. 第 3 课时　 面积问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x) 例 1　 两条直角边的长分别为 3 cm,4 cm. 【变式】A 例 2　 上、下边衬的宽为( 40 - 16 5 ) cm,左、右边衬的宽为 (30-12 5 )cm. 【变式】B　 例 3　 垂直于墙的边 AB 的长度为 15 m. 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 ①y=ax2 +bx+c　 ②常数项　 ③2　 ④二次项 例 1　 解:(1)y= 2x2 -3 是二次函数, 二次项系数是 2,一次项系数是 0,常数项是-3. (2)y= 3x-1 不是二次函数,是一次函数. (3)y= (2x-1)(1-x)= -2x2 +3x-1 是二次函数, 二次项系数是-2,一次项系数是 3,常数项是-1. (4)y= 1 x2 +1 不是二次函数. 【变式】D 例 2　 m= 1 2 n(n-1)　 是　 例 3　 y= 50(1+x) 2 例 4　 解:(1)S= 2x2 +4×6x= 2x2 +24x,V= 6x2 . (2)它们都是关于 x 的二次函数. 例 5　 2　 【变式】-1 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 ①抛物线　 ②抛物线　 ③向上　 ④向下　 ⑤越小　 ⑥y 轴　 ⑦低　 ⑧高　 ⑨减小　 ⑩增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 例 1　 4　 1　 0　 1　 4 描点、连线略. (1)开口向上　 (2)对称轴是 y 轴 (3)当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 的增 大而增大(答案不唯一) 例 2　 解:画图象略. 这些抛物线的特点:当 a> 0 时,开口向上,有最小值,在对 称轴左侧,y 随 x 的增大而减小;在对称轴右侧,y 随 x 的增 大而增大. 当 a<0 时,开口向下,有最大值,在对称轴左侧,y 随 x 的增 大而增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小. 【变式】①③② 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③y 轴　 ④(0,k)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨k　 ⑩k 例 1　 8　 4. 5　 2　 0. 5　 0　 0. 5　 2　 4. 5　 8 9　 5. 5　 3　 1. 5　 1　 1. 5　 3　 5. 5　 9 7　 3. 5　 1　 -0. 5　 -1　 -0. 5　 1　 3. 5　 7 描点、连线略. 向上　 y 轴　 (0,0) 　 向上　 y 轴　 (0,1) 　 向上　 y 轴　 (0,-1) 【思考 1】答:a 决定开口方向和开口大小:当 a> 0 时,开口 向上;当 a<0 时,开口向下; | a |越大,开口越小. 【思考 2】答:k 决定顶点的纵坐标. (答案不唯一,合理即 可) 例 2　 (1)上　 1　 (2)下　 1　 (3)下　 1　 (4)上　 1 (5)下　 2　 (6)上　 2　 【思考】上　 下　 | k | 例 3　 -6≤y≤-2 第 2 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③x=h　 ④(h,0)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨0　 ⑩0 例 1　 -4. 5　 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2　 -4. 5 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2　 -4. 5　 -8 -8　 -4. 5　 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2 描点、连线略. 向下　 y 轴　 (0,0)　 向下　 x= -1　 (-1,0)　 向下　 x= 1 (1,0) 【归纳】向上　 低　 向下　 高　 x=h　 (h,0) 例 2　 (1)左　 1　 (2)右　 1　 (3)右　 1　 (4)左　 1 (5)右　 2　 (6)左　 2 【思考】右　 左　 | h | 第 3 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 +k 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③x=h　 ④(h,k)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨k　 ⑩k　 􀃊􀁉􀁓左加右减 例 1　 向上　 (1,-1)　 x= 1　 >1　 <1　 1　 小　 -1 【思考】1　 下　 1 例 2　 (1)该抛物线对应的函数解析式为 y = - 3 4 ( x- 1) 2 + 3 (0≤x≤3) . (2)柱形喷水装置的高度为 9 4 m. 例 3　 B　 【变式】D 22. 1. 4　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③- b 2a 　 ④- b 2a 　 ⑤4ac -b2 4a 　 ⑥减小 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 ⑩小　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔- b 2a 　 􀃊􀁉􀁕4ac -b2 4a 例 1　 解:y= 2x2 -4x+6 = 2(x2 -2x+1)-2+6 = 2(x-1) 2 +4, 故该二次函数图象的对称轴为 x= 1,顶点坐标为(1,4) . 例 2　 解:(1)y= x2 -4x+3 = x2 -4x+22 -22 +3 = (x-2) 2 -1, ∴ 抛物线的对称轴为 x= 2,顶点坐标为(2,-1) . (2)由(1)得 y= x2 -4x+3 = (x-2) 2 -1, ∴ 抛物线 y= x2 -4x+3 可以看作是由抛物线 y= x2 先向右平 移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到的. (3)画抛物线略. 例 3　 B　 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 ①(x-h) 2 　 ②(x-x1 )(x-x2 ) 例 1　 能. 这个二次函数的解析式为 y= x2 +2. 例 2　 此抛物线的解析式为 y= -17x2 -34x-8. 【变式】抛物线的解析式为 y= 5 4 x2 -5x. 例 3　 此抛物线的解析式为 y= 5x2 +20x+15. 例 4　 y= 2x2 -4x-6 或 y= -2x2 +4x+6 22. 2　 二次函数与一元二次方程 ①有两个不相等的实数根　 ②有两个相等的实数根 ③无实数根　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 例 1　 解:(1)画出函数图象略. (2)图象与 x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0) . (3)当 x= -1 或 x= 3 时,y= 0,这里 x 的取值是方程 x2 -2x- 3 = 0 的根. 例 2　 解:(1)x1 = -4,x2 = 1 (2)当 x<-4 或 x>1 时,y>0. (3)当-4<x<1 时,y<0. 例 3　 解:画出函数 y= x2 -3x-2 的图象略. (1)方程 x2 -3x-2 = 0 的近似根为 x1 ≈-0. 6,x2 ≈3. 6. (2)方程 x2 -3x-2 = 2 的实数根为 x1 = -1,x2 = 4. (3)方程 x2 -3x-2 = -3 的近似根为 x1 ≈0. 4,x2 ≈2. 6. 例 4　 D　 例 5　 C 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时　 面积问题 例 1　 解:(1)有最小值,最小值为-7. (2)有最大值,最大值为 6. 例 2　 45　 1 350 例 3　 (1) y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 2x2 + 40x( 0<x< 20) . (2)当 AB 边的长为 10 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 200 m2 . 【变式】BC 为 12 m,AB 为 9 m 时,菜园的面积最大,最大面积 为 108 m2 . 第 2 课时　 销售利润问题 例 1　 25 例 2　 当每副春联的售价定为 35 元时,日销售利润最大,最 大日销售利润是 2 250 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案