第三章 导数及其应用（举一反三综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

第三章 导数及其应用（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【解答过程】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B. 2．（5分）（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【解题思路】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 3．（5分）（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可. 【解答过程】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 4．（5分）（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求导公式求出函数的导数，再将切点的横坐标代入导数中，得到切线的斜率，最后利用点斜式方程求出切线方程. 【解答过程】对求导：. 将代入中，可得切线的斜率. 已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为. 将其化简为一般式： ， 的图象在点处的切线方程是. 故选：D. 5．（5分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 6．（5分）（2025·山东聊城·三模）已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ） A．60 B．40 C．20 D．8 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可. 【解答过程】因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以，且， 所以，，所以， 所以，所以的周期为4， 因为，令，可得， 令， 所以 所以. 故选：B. 7．（5分）（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【解答过程】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 8．（5分）（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【解答过程】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 【答案】BD 【解题思路】对于选项A，B，当时，，求出导函数，利用导数的几何意义求出点处切线斜率，即可求出切线方程，即可判断；对于选项C，D，当时，，求出导函数，利用导数几何意义求出在点处的切线斜率，即可判断. 【解答过程】对于选项A，B，当时，，，有， 又，故曲线在点处的切线方程为，故选项B正确，A错误； 对于选项C，D，当时，，则， 显然，即曲线在点处的切线斜率为0，故选项C错误，选项D正确. 故选：BD. 10．（6分）（2025·甘肃白银·二模）已知函数，的定义域均为R，其导函数分别是，，且满足．若是奇函数，当时，，则（   ） A．是偶函数 B．的图象关于点对称 C．的周期为4 D． 【答案】ABC 【解题思路】根据函数得出对称中心判断A，求导数得出函数是偶函数判断B，应用对称性与周期性判断C，应用周期性求函数值计算求解D. 【解答过程】因为函数，的定义域均为R，，所以， 所以关于对称，的图象关于点对称， 又因为是奇函数，，所以，， 所以是偶函数，所以是偶函数，A选项正确；B选项正确； 是奇函数，关于对称，所以， 所以，所以的周期为4，C选项正确； ，D选项错误； 故选：ABC. 11．（6分）（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 【答案】AC 【解题思路】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC；有单调性举反例当可判断D. 【解答过程】对于A，， 当时，，有唯一零点； 当时，恒成立，函数单调递增， 当时，，当时，，由零点存在定理可得有唯一的零点， 综上时，有唯一的零点，故A正确； 对于B、C，令，可得， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极大值，故B错误，C正确； 对于D，因为，所以， 由B选项可得当，函数取得极大值，此时， 所以，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题意可得存在，使得，求解即可. 【解答过程】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【解答过程】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【解答过程】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【解题思路】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【解答过程】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 16．（15分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分类讨论求得的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为. 令， 解得，所以的取值范围为. 17．（15分）（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值点； (2)已知有两个极值点，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，无减区间，无极值点 (2)过程见解析. 【解题思路】（1）求导，研究导函数的正负性即可判断其单调性； （2）为的两根，化简得出，令，则，构造函数即可求证. 【解答过程】（1）当时，，则， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，故的单调递增区间为，无减区间，无极值点. （2）因有两个极值点，则为的两根， 即，即， 即， 令，则，， 则， 欲证，只需证， 令，则， 故在上单调递增，则，则成立， 故得证. 18．（17分）（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. (2). 【解题思路】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案； （2）由（1）得出的最小值，得出，设，求导，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. 19．（17分）（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)若，判断并证明的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)在上单调递增； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解题思路】（1）若时，，对其求导得，设，求导得，求其单调性再判断的单调性； （2）（ⅰ）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （ⅱ）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【解答过程】（1）若时，，求导得， 设，求导得， 令，解得， 当时，，则即单调递减； 当时，，则即单调递增； 所以在处取得最小值， 因为，所以， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）（ⅰ）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，. 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （ⅱ）由（ⅰ）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， ， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以， 即，故， 即，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 导数及其应用（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 2．（5分）（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 3．（5分）（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 6．（5分）（2025·山东聊城·三模）已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ） A．60 B．40 C．20 D．8 7．（5分）（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 10．（6分）（2025·甘肃白银·二模）已知函数，的定义域均为R，其导函数分别是，，且满足．若是奇函数，当时，，则（   ） A．是偶函数 B．的图象关于点对称 C．的周期为4 D． 11．（6分）（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（    ） A．时，有唯一的零点 B．时，存在极小值 C．时，存在极大值 D．若，则的范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 13．（5分）（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 14．（5分）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·河北·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（15分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 17．（15分）（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值点； (2)已知有两个极值点，证明：． 18．（17分）（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 19．（17分）（2025·海南·模拟预测）已知函数． (1)若，判断并证明的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$