5.2 解一元一次方程教学设计 (1) 2025—2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕解一元一次方程展开，介绍合并同类项、移项等步骤，承接代数式等知识背景，为后续函数等学习奠基。通过实际问题建模，培养学生数学抽象、运算、逻辑推理等核心素养，强化用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的能力。 该设计亮点在于以问题情境激发兴趣，采用师生互动等教法。从学生层面提升运算与问题解决能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点，助力学生掌握解方程方法。

5.2 解一元一次方程 教材分析 本节课内容为解一元一次方程，依次介绍了合并同类项、移项、去括号、去分母等解方程的基本步骤，并通过实际问题引出方程的解法，逐步展示了解一元一次方程的一般流程。教材从具体问题出发，引导学生理解并掌握解方程的核心思想和操作方法。教学过程以问题情境引入，通过设未知数、列方程、解方程的过程，帮助学生掌握代数运算和等式变形的基本技能。本节内容与前面的代数式、等式性质、方程概念等内容紧密联系，是对方程求解方法的系统学习。本节课不仅提升学生的代数运算能力和逻辑推理能力，还为后续学习一次函数、不等式及实际问题建模等知识奠定基础，具有承上启下的重要作用。 学情分析 七年级学生已经学习了代数式的概念、等式的基本性质、一元一次方程的意义以及简单的方程解法，具备了合并同类项、去括号、系数化为1等基本运算技能，为本节课学习“解一元一次方程”奠定了知识基础。此阶段的学生正处于由具体运算向抽象思维过渡的阶段，逻辑思维能力逐步增强，但对含有多个步骤的方程变形仍存在理解困难，特别是在移项、去括号和去分母的过程中容易出现符号错误或操作顺序混乱。本节课要求学生通过实际问题建立方程模型，并运用合并同类项、移项、去括号、去分母等步骤解方程，旨在提升学生的代数运算能力和问题解决能力，帮助学生理解解方程的本质是通过等式变形逐步求出未知数的值，同时培养学生的数学建模意识和应用意识，为进一步学习函数、不等式等内容打下坚实基础。 教学目标 理解合并同类项在解一元一次方程中的作用，掌握其基本操作步骤，通过实际问题建模提升数学抽象与运算能力，发展逻辑推理和问题解决能力。 掌握移项的概念与方法，理解其依据是等式的性质，通过方程变形提高代数运算能力和符号意识，增强分析与转化问题的能力。 熟悉去括号、去分母的解方程步骤，能够正确进行复杂方程的化简与求解，培养细致运算习惯，提升数学运算素养和逻辑思维能力。 理解解一元一次方程的整体思路，掌握“转化”思想，能系统运用各步骤解方程，提升综合运算能力和结构化思维水平。 重点难点 重点： 掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）并能熟练解方程。 难点： 理解移项的依据及作用，去分母时防止漏乘不含分母的项。 课堂导入 同学们，老师先给大家讲个有趣的故事。小明去文具店买文具，他买了若干支单价为3元的铅笔，又买了单价为5元的笔记本数量是铅笔的2倍，还买了单价为8元的钢笔数量是笔记本的一半，最后小明一共花了100元。大家能帮小明算算他买了多少支铅笔吗？我们不妨设铅笔数量为支，那么笔记本数量就是本，钢笔数量为支，由此可列出方程。这个方程该怎么求解呢？今天我们就来学习一种重要的解方程方法——合并同类项，学完后大家就能轻松帮小明解决问题啦。 解一元一次方程—合并同类项 探究新知 （一）知识精讲 让我们通过一个实际问题来学习如何解一元一次方程。观察下面的问题：某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这所学校购买了多少台计算机？ 首先，我们需要设未知数。设前年购买计算机台，那么去年购买的数量就是台，今年购买的数量就是台（因为今年是去年的2倍）。根据题意，三年总共购买了140台计算机，我们可以列出方程： 接下来，我们需要合并同类项。观察方程左边，、和都是含有的项，我们可以将它们相加： 最后，我们将系数化为1，两边同时除以7： 因此，前年这所学校购买了20台计算机。通过这个过程，我们可以看到合并同类项在解方程中起到了简化方程的作用。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在解这个方程时，我们为什么要先合并同类项呢？如果不合并，直接解方程会怎样？ 学生思考后回答：合并同类项可以让方程变得更简单，更容易求解。如果不合并，我们就无法直接得到的值。 教师追问：很好！那如果题目中今年购买的数量是去年的3倍，而不是2倍，方程应该怎么列呢？ 学生回答：那么今年就是台，方程就变成，合并后是。 教师继续引导：正确！那么请大家思考一下，合并同类项的依据是什么？ 学生讨论后回答：依据是分配律，因为。 （三）设计意图 通过实际问题的引入，让学生体会数学知识在解决实际问题中的应用价值。通过列方程、合并同类项、解方程的过程，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。师生互动环节通过层层递进的提问，引导学生深入思考合并同类项的原理和作用，帮助学生建立知识之间的联系，培养他们的数学思维和探究精神。整个设计注重从具体到抽象的思维过程，让学生在解决问题的过程中掌握数学方法，体会数学的简洁美和实用价值。 新知应用 例1题目： 解下列方程： (1) (2) 解答： (1) 我们先来看第一个方程： 第一步：合并左边的含 的项。 将 和 合并，注意统一成同分母进行计算： 所以： 右边是常数项： 于是原方程变为： 第二步：系数化为1。 两边同时乘以 （即除以 ）： (2) 再来看第二个方程： 第一步：合并左边的含 的项。 依次合并： 第二步：计算右边的常数项。 先算乘法： 然后相加： 于是方程变为： 第三步：系数化为1。 两边同时除以6： 总结： 1. 题目考查内容 ① 一元一次方程的基本解法； ② 合并同类项的运算技巧； ③ 系数化为1的操作方法。 2. 题目求解要点 ① 对于含有分数或小数的代数项，要统一形式后合并； ② 注意符号变化，尤其是负号的位置； ③ 常数项的计算要准确，尤其是涉及多个乘法和减法时； ④ 最后一步要熟练掌握如何将系数化为1，从而求出未知数。 例2题目： 有一列数：1、-3、9、-27、81、-243、…，其中第 个数是 （）。如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？ 解答： 第一步：理解数列规律。 观察数列：1、-3、9、-27、81、-243、… 可以看出，每个数都是前一个数乘以 ，即这是一个等比数列，公比为 。 第二步：设未知数。 设这三个相邻数中的第一个数为 ，则第二个数为 ，第三个数为 。 第三步：根据题意列方程。 已知这三个数的和是 ，所以： 第四步：合并同类项。 所以方程变为： 第五步：解方程。 第六步：求出另外两个数。 第二个数： 第三个数： 总结： 1. 题目考查内容 ① 等比数列的概念与通项表达； ② 利用设未知数的方法建立方程； ③ 一元一次方程的解法（合并同类项、系数化为1）。 2. 题目求解要点 ① 能识别数列为等比数列，并能写出相邻三项的表达式； ② 正确列出关于三个相邻数之和的方程； ③ 准确进行代数运算，特别是合并同类项和解简单的一元一次方程； ④ 注意符号的变化，尤其是在乘以负数时。 新知巩固 题目： 已知关于的方程组 的解满足，则的值为（ ） 选项： A． B．3 C． D．5 解答： 我们已知这个方程组的解满足 ，因此可以利用这个条件来求解参数 。 第一步：设方程组的解为 和 ，且满足 。 我们可以将两个方程相加： 左边合并同类项： 右边合并常数项和含 的项： 所以得到： 两边同时除以7： 又因为题目中给出 ，所以代入得： 解这个等式： 因此，，选择 D 选项。 总结： 1. 题目考查内容： 本题主要考查： 二元一次方程组的解； 方程组解的性质； 参数 的求解； 合并同类项与等式变形； 利用已知条件 来建立与参数之间的关系。 2. 题目求解要点： 将两个方程相加，目的是简化方程形式，便于提取 的表达式； 合并同类项后，将结果与已知条件 建立联系； 通过等式变形求出参数 ； 整个过程体现了“整体思想”和“消元思想”的结合运用。 3. 同类型题目解题步骤： 列出方程组，观察是否能通过加减法简化； 合并同类项，整理出关于 和 的整体表达式； 利用已知条件（如 、 等）建立等式； 代入并解出参数； 验证或对照选项，得出最终答案。 解一元一次方程—移项 探究新知 （一）知识精讲 在解一元一次方程时，我们经常会遇到方程两边都含有未知数项和常数项的情况。以问题2中的方程为例，我们需要将其转化为的形式。 观察这个方程，左边有和，右边有和。为了使方程更简单，我们可以利用等式的性质1，即等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。 首先，为了使右边没有含的项，我们可以在等式两边同时减去： 化简后得到： 接下来，为了使左边没有常数项，我们可以在等式两边同时减去： 化简后得到： 最后，将系数化为1，即两边同时除以，得到： 在这个过程中，我们发现可以将方程中的项从一边移到另一边，但要注意移动时需要改变符号。这种变形方法称为移项。 如图，移项的本质是将等式一边的某项变号后移到另一边。例如，将从左边移到右边变为，将从右边移到左边变为。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在解方程时，我们为什么要先减去，而不是先减去呢？ 学生回答：因为减去可以让右边的项消失，这样方程就只剩下一边有的项，更容易求解。 教师追问：很好！那如果我们在移项时忘记变号，比如直接把移到右边变成，会得到什么结果？ 学生思考后回答：这样会导致方程的解不正确，因为移项必须变号，否则等式就不成立了。 （三）设计意图 通过具体方程的求解过程，引导学生理解移项的原理和操作方法，培养学生的逻辑思维能力和方程变形能力。借助直观的图示和逐步推导，帮助学生掌握移项的技巧，并强调变号的重要性。通过师生互动，让学生主动思考移项的作用和易错点，加深对解方程步骤的理解，培养严谨的数学学习态度。 新知应用 例3题目： 解下列方程： (1) (2) 解答： (1) 我们来解这个方程： 第一步：移项 将含 的项移到等号一边，常数项移到另一边。 把 移到左边变成 ，把 移到右边变成 ，得到： 第二步：合并同类项 第三步：系数化为1 两边同时除以5： (2) 解方程： 第一步：移项 将含 的项移到一边，常数项移到另一边。 把 移到左边变成 ，把 移到右边变成 ，得到： 第二步：合并同类项 第三步：系数化为1 两边同时乘以 ： 总结： 1.题目考查内容 ① 一元一次方程的解法； ② 移项的基本操作与原理； ③ 合并同类项和系数化为1的步骤。 2.题目求解要点 ① 移项时注意变号，保持等式平衡； ② 合并同类项要准确，避免符号错误； ③ 系数化为1时，注意分数运算的准确性； ④ 解题过程要规范、步骤清晰，不能跳步。 例4题目： 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t。新、旧工艺的废水排量之比为2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 解答： 设采用新工艺的废水排量为 吨，旧工艺的废水排量为 吨。 根据题意： 旧工艺废水排量比环保限制最大值多200吨，即环保限制最大值为： 新工艺废水排量比环保限制最大值少100吨，即环保限制最大值也为： 由于这两个表达式都表示同一个环保限制最大值，因此可以列出方程： 第一步：移项 将含 的项移到左边，常数项移到右边： 第二步：合并同类项 第三步：解出 第四步：代入求新旧工艺废水排量 新工艺： 吨 旧工艺： 吨 总结： 1.题目考查内容 ① 一元一次方程的实际应用； ② 比例关系的理解与设未知数； ③ 利用等量关系列方程的能力。 2.题目求解要点 ① 根据比例设未知数（如设为 和 ）； ② 准确理解“比最大值多”和“比最大值少”的含义，建立等量关系； ③ 正确列出方程并进行求解； ④ 最后代入还原实际问题中的具体数值。 新知巩固 题目： 已知关于的方程的解是，求的值。 解答： 我们知道，方程的解是使得方程成立的未知数的值。 题目中给出方程，并且已知它的解是。 我们可以将代入方程中，求出的值。 代入得： 计算左边： 接下来，我们解这个方程求。 将等式两边同时减去2： 两边同时乘以，得到： 因此，的值为。 总结： 1. 题目考查内容 一元一次方程的解的含义； 代入法求参数的值； 简单的一元一次方程的解法。 2. 题目求解要点 理解“解是”的含义，即当时，方程成立； 将已知解代入原方程，得到关于的方程； 通过移项、化简等步骤求出参数的值。 3. 同类型题目解题步骤 明确已知条件：题目给出方程和它的解； 代入已知解：将解代入原方程； 解关于参数的方程：通过移项、合并同类项等方法，求出参数； 检验结果（可选）：将求得的参数值代回原方程，验证是否满足给定解。 解一元一次方程 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来探究如何用一元一次方程解决实际问题。观察这个用电量问题：某工厂去年下半年比上半年月平均用电量减少2000 kW·h，全年用电量是150000 kW·h。我们需要求出去年上半年平均每月的用电量。 首先，设未知数。设去年上半年平均每月的用电量为 kW·h，那么下半年平均每月的用电量就是 kW·h。这里要注意单位的一致性，都要用kW·h表示。 接下来，建立等量关系。上半年有6个月，用电量就是 kW·h；下半年也是6个月，用电量就是 kW·h。全年用电量是这两部分的和，所以可以列出方程： 然后，我们解这个方程。第一步去括号： 第二步合并同类项： 第三步移项： 最后系数化为1： 通过这样的步骤，我们得出去年上半年平均每月的用电量是13500 kW·h。这个解题过程展示了如何将实际问题转化为数学方程，并通过解方程得到答案。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果题目中"下半年比上半年月平均用电量减少2000 kW·h"改为"下半年比上半年月平均用电量减少20%"，其他条件不变，该怎么设未知数和列方程呢？ 学生思考后回答：可以设上半年月平均用电量为 kW·h，那么下半年就是 kW·h。全年用电量方程就是。 教师追问：很好！那如果题目中"全年用电量是150000 kW·h"改为"下半年比上半年总共少用电12000 kW·h"，又该怎么列方程呢？ 学生回答：这时可以列，这个方程化简后是恒等式，说明这个条件与第一个条件是一致的。 （三）设计意图 通过具体的生活实例引入一元一次方程的应用，帮助学生理解如何将实际问题转化为数学模型。在解题过程中强调设未知数的技巧和建立等量关系的重要性，培养学生的数学建模能力。通过师生互动中的变式练习，加深学生对数量关系的理解，提高他们灵活运用知识的能力。整个探究过程注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，体现数学来源于生活又服务于生活的价值。 新知应用 例5题目： 解下列方程： （1）; （2） 解答： （1） 原方程为： 第一步：去括号 注意括号前的负号和乘法分配律： 化简得： 第二步：移项 将含 的项移到一边，常数项移到另一边： 即： 第三步：系数化为1 两边同时除以 -6： （2） 原方程为： 第一步：去括号 注意负号对括号内每一项的影响： 化简得： 第二步：移项 将含 的项移到左边，常数移到右边： 即： 第三步：系数化为1 两边同时除以 -2： 总结： 1.题目考查内容 ① 一元一次方程的解法； ② 去括号、移项、合并同类项、系数化为1等基本运算技能。 2.题目求解要点 ① 去括号时注意符号变化，尤其是括号前有负号的情况； ② 移项要变号，确保等式平衡； ③ 合并同类项要准确，避免计算错误； ④ 最后一步系数化为1时注意正负号处理。 例6题目： 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5小时。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。 解答： 设船在静水中的平均速度为 km/h。 则： 顺水速度为 km/h； 逆水速度为 km/h。 根据题意，往返路程相等，列出方程： 第一步：去括号 第二步：移项并合并同类项 将含 的项移到一边，常数项移到另一边： 即： 第三步：系数化为1 两边同时除以 -0.5： 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h。 总结： 1.题目考查内容 ① 一元一次方程的实际应用； ② 行程问题中速度、时间与路程之间的关系； ③ 静水速度与水流速度的关系理解。 2.题目求解要点 ① 理解顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度； ② 利用“往返路程相等”建立等量关系列方程； ③ 掌握小数系数的运算技巧，如移项、合并、化简等步骤。 新知巩固 题目： 某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h，全年的用电量是150000 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 解答： 我们设去年上半年平均每月的用电量是 kW·h。 那么，下半年平均每月的用电量就是 kW·h。 因为一年有12个月，上半年和下半年各6个月，所以： 上半年的总用电量是： kW·h 下半年的总用电量是： kW·h 根据题意，全年用电总量为150000 kW·h，因此可以列出方程： 接下来我们逐步解这个方程： 第一步：去括号 第二步：合并同类项 第三步：移项 即： 第四步：系数化为1 所以，这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 13500 kW·h。 总结： 1. 题目考查内容 本题主要考查一元一次方程的实际应用，涉及列方程、解方程的基本技能，以及对实际问题中数量关系的理解与建模能力。 2. 题目求解要点 能够根据题意设定未知数 ； 正确表示上下半年的用电量表达式； 根据全年总用电量建立等量关系； 掌握解一元一次方程的完整步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； 注意单位的一致性和实际意义。 3. 同类型题目解题步骤 审题：理解题意，找出已知量和未知量之间的关系； 设未知数：通常用 表示所求量； 列方程：根据题目的等量关系列出一元一次方程； 解方程：按照标准步骤解方程； 检验答案：检查结果是否符合实际意义； 作答：写出最终答案并标明单位。 解一元一次方程的一般步骤 探究新知 （一）知识精讲 我们来看一个实际问题：如图5.2-1所示，翠湖位于青山和绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km。一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表5.2-1所示。现在要求解王家庄距翠湖的路程有多远。 设王家庄距翠湖的路程为 km，则根据题意可以得到两个表达式：王家庄距青山的路程为 km，王家庄距绿水的路程为 km。由表5.2-1可知，汽车从王家庄到青山用时3小时，从王家庄到绿水用时5小时。由于汽车是匀速行驶，因此可以列出方程： 这个方程的特点是含有分数系数。为了简化计算，我们可以利用等式的基本性质，两边同时乘以分母的最小公倍数15，得到： 接下来按照解一元一次方程的步骤进行： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为1： 因此，王家庄距翠湖的路程为230 km。 为了更系统地掌握解一元一次方程的方法，我们再以方程为例，总结解一元一次方程的一般步骤： 归纳起来，解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。这些步骤的依据是等式的基本性质和运算律，最终目的是将方程转化为的形式。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在解方程时，为什么我们要选择15作为两边同乘的数呢？ 学生回答：因为15是分母3和5的最小公倍数，这样可以把分母都消去，使方程变为整数系数的方程。 教师追问：很好！那如果方程是，我们应该选择什么数来去分母呢？ 学生思考后回答：应该选择12，因为12是4和6的最小公倍数。 教师继续引导：正确！那在去分母之后，我们还需要注意什么问题呢？ 学生回答：要注意每一项都要乘以这个最小公倍数，不能漏乘，同时要注意分子如果是多项式，要加上括号。 （三）设计意图 通过实际问题的引入，让学生体会数学知识的应用价值，培养将实际问题转化为数学问题的能力。在解方程的过程中，强调步骤的规范性和依据的合理性，培养学生严谨的数学思维。通过师生互动环节，引导学生思考解方程的关键步骤和注意事项，加深对解一元一次方程方法的理解。整个探究过程注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力，同时通过具体实例帮助学生掌握解一元一次方程的一般步骤和方法。 新知应用 例7题目： 解下列方程： (1) ； (2) 。 解答： (1) 我们先来解第一个方程： 第一步：去分母 观察到分母是2和4，最小公倍数是4。 将方程两边同时乘以4，得： 化简后得到： 第二步：去括号 即： 第三步：移项 把含 的项移到一边，常数项移到另一边： 即： 第四步：合并同类项 第五步：系数化为1 两边同时除以3： (2) 我们再来解第二个方程： 第一步：去分母 观察到分母是2和3，最小公倍数是6。 将方程两边同时乘以6，得： 化简后得到： 第二步：去括号 即： 第三步：移项 把含 的项移到一边，常数项移到另一边： 即： 第四步：合并同类项 第五步：系数化为1 两边同时除以25： 总结： 1.题目考查内容 ① 解一元一次方程的基本步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； ② 分式方程的处理方法，尤其是如何通过通分简化方程结构； ③ 等式的恒等变形与运算律的应用。 2.题目求解要点 ① 去分母时要找准所有分母的最小公倍数，并对方程每一项都乘这个数； ② 去括号时注意符号变化，尤其是括号前有负号的情况； ③ 移项时要改变项的符号，确保等式平衡； ④ 合并同类项时要准确识别变量项和常数项； ⑤ 最终结果要写成“ 数”的形式，且分数应约分为最简形式。 新知巩固 题目： 第1题：已知关于的方程的解是，则的值为（　　） 解答： 题目告诉我们，这个方程的解是，也就是说，当我们将代入原方程时，等式应该成立。 原方程为： 将代入： 计算左边： 接下来解这个等式： 两边同时乘以： 所以，答案是： 总结： 1. 题目考查内容： 本题考查的是一元一次方程的解的意义，即已知一个方程的解，代入后可以求出未知参数的值。 2. 题目求解要点： 理解“解是”的含义，即将其代入原方程后应使等式成立； 掌握代数式的代入与化简； 能够通过简单的代数运算求出参数的值。 3. 同类型题目解题步骤： 明确已知条件：题目给出某个方程的解； 代入解的值：将该解代入原方程； 解关于参数的方程：通过代数运算求出参数的值； 验证结果是否合理（可选）：代入参数值回原方程，确认解是否正确。 板书设计 解一元一次方程 ├─ 合并同类项 │ └─ 例：，合并得， ├─ 移项 │ ├─ 定义：变号移到另一边 │ └─ 例：，移项得， ├─ 综合应用 │ ├─ 例1：，步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1 │ └─ 例2：，步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 └─ 一般步骤 ├─ 去分母 ├─ 去括号 ├─ 移项 ├─ 合并同类项 └─ 系数化为1 教学反思 本节课围绕一元一次方程的解法展开，通过实际问题引出方程建模的必要性，并系统讲解了“合并同类项”“移项”“去括号”“去分母”等关键步骤，帮助学生逐步掌握解方程的基本思路与方法。教学中注重从具体到抽象、从简单到复杂的认知过程，体现了数学建模思想和逻辑推理能力的培养。课堂整体节奏合理，学生能积极参与探究活动，目标达成度较高。成功之处在于通过问题情境激发学生兴趣，并通过对比分析强化对方程变形本质的理解；不足在于部分学生在涉及分数系数方程时运算能力较弱，后续教学中需加强针对性训练，进一步提升学生的代数运算能力和数学表达准确性。 学科网（北京）股份有限公司 $$