5.3 实际问题与一元一次方程教学设计 2025—2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕实际问题与一元一次方程展开，通过销售盈亏等典型问题，引导学生掌握用方程解决实际问题的全过程。承接一元一次方程解法学习，为后续函数等实际应用奠基，培养学生数学抽象、建模等核心素养，在分析问题、建立方程模型环节渗透。 该设计亮点在于紧密联系生活实际，采用案例分析、师生互动等教法。从学生层面提升解决实际问题能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点，增强课堂互动性。

5.3 实际问题与一元一次方程 教材分析 本节课内容是人教版初中数学七年级上册第三章“一元一次方程”中“实际问题与一元一次方程”的专题学习，主要通过销售盈亏、球赛积分、空调费用比较三个典型问题，引导学生经历用一元一次方程解决实际问题的全过程。教学过程围绕问题情境展开，通过设未知数、列方程、解方程、检验结果等步骤，帮助学生掌握建模思想和应用意识。本节内容承接了前面对一元一次方程解法的学习，是将方程知识应用于实际的重要环节。它不仅巩固了方程的解法，还提升了学生分析数量关系、建立数学模型的能力，为后续学习二元一次方程组、不等式及函数的实际应用打下基础，具有承上启下的作用。 学情分析 七年级学生已经学习了一元一次方程的基本概念和解法，具备列方程和解方程的能力，同时对实际问题中的数量关系有初步理解，为本节课的学习奠定了基础。这个阶段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的时期，具备一定的分析问题和逻辑推理能力，但面对较为复杂的实际问题，如销售盈亏、积分表、能效比较等问题时，仍容易在寻找等量关系和建立方程模型上遇到困难。本节课要求学生能够结合生活实际，准确找出问题中的相等关系并列出方程，进一步提升数学建模能力和应用意识，通过设未知数、列方程、解方程、检验结果等步骤，体会数学与生活的紧密联系，发展综合运用数学知识解决实际问题的能力。 课堂导入 同学们，在生活中我们经常会遇到各种实际问题，比如去商店买东西，商家的盈亏情况如何呢？假设你开了一家文具店，一支钢笔进价10元，你以12元卖出，盈利了多少？如果另一支笔进价15元，以12元卖出，又亏损多少？再如，学校举办篮球比赛，比赛结束后，怎样通过积分表来了解胜一场、负一场各积多少分呢？还有，购买电器时，不同能效的电器价格和耗电不同，怎样选择综合费用更低呢？这些问题都可以通过一元一次方程来解决，今天我们就一起探究用一元一次方程解决实际问题。 实际问题与一元一次方程 探究新知 （一）知识精讲 首先，我们来探究销售中的盈亏问题。观察下图，一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%。我们需要判断卖这两件衣服总的是盈利还是亏损。 要解决这个问题，关键在于计算两件衣服的总进价和总售价。设盈利25%的那件衣服的进价为元，根据盈利的定义，商品利润为元。根据售价等于进价加利润，可以列出方程： 解得元。同理，设亏损25%的那件衣服的进价为元，列出方程： 解得元。因此，总进价为元，总售价为元。比较可知总售价小于总进价，所以总共亏损8元。 接下来我们研究球赛积分表问题。观察下表，这是某次篮球联赛的积分情况： 通过分析表格数据可以发现，负一场积1分。设胜一场积分，根据第一行数据列出方程： 解得，即胜一场积2分。由此可以推导出总积分与胜、负场数的关系式：若胜场，则总积分为。进一步探究发现，不存在胜场总积分等于负场总积分的情况，因为解得不是整数，不符合实际意义。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在销售盈亏问题中，为什么不能简单地认为盈利25%和亏损25%相互抵消？ 学生回答：因为盈利和亏损的基数（进价）可能不同，需要分别计算两件衣服的实际进价才能比较总盈亏。 教师追问：在球赛积分问题中，为什么这个解没有实际意义？ 学生思考后回答：因为比赛的胜场数必须是整数，不是整数，所以这个解不符合实际情况。 教师继续提问：如果空调使用时间恰好是5年，两款空调的综合费用会怎样？ 学生回答：当时，两款空调的综合费用相等，都是4600元。 （三）设计意图 通过具体的销售盈亏和球赛积分案例，培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力。引导学生理解数学建模的过程，包括设未知数、列方程、解方程和检验结果等步骤。强调数学解必须符合实际意义，培养学生严谨的数学思维和解决实际问题的能力。通过师生互动，帮助学生深入理解问题的本质，掌握分析问题的方法，体会数学在实际生活中的应用价值。 新知应用 例1题目： 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母。为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 解答： 我们来一步步分析这个问题： 第一步：设未知数 设安排 名工人生产螺栓，则剩下的 名工人生产螺母。 第二步：表示每天生产的数量 每人每天生产1200个螺栓，所以 名工人共生产 个螺栓； 每人每天生产2000个螺母，所以 名工人共生产 个螺母。 第三步：根据配套关系列方程 题目中说“1个螺栓需要配2个螺母”，也就是说： 螺母的数量 = 螺栓数量 × 2 即： 第四步：解这个方程 先化简右边： 展开左边： 把含 的项移到一边： 合并同类项： 两边同时除以4400： 第五步：求出另一部分人数 总人数是22人，所以生产螺母的人数是： 第六步：作答 答：应安排 10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。 总结： 1. 题目考查内容 ① 一元一次方程在实际问题中的应用； ② 根据实际问题建立等量关系并列出方程的能力； ③ 解一元一次方程的基本技能。 2. 题目求解要点 ① 正确理解“配套”关系，即螺母数量是螺栓数量的2倍； ② 合理设定未知数，并用代数式表示相关数量； ③ 列出正确的方程并准确求解； ④ 注意单位和实际意义，确保答案符合题意。 例2题目： 整理一批图书，由1人整理需要40小时完成。现计划由一部分人先整理4小时，然后增加2人与他们一起整理8小时，完成该项工作。假设这些人的工作效率相同，应该安排多少人进行整理？ 解答： 我们来逐步分析并解答这个问题： 第一步：设定总工作量 将整个工作量看作单位“1”。 第二步：确定人均效率 1人完成全部工作需要40小时，所以每人的工作效率是： 第三步：设未知数 设最初安排 人先整理4小时。 这 人4小时完成的工作量是： 之后又增加了2人，变成 人，一起再整理8小时，完成的工作量是： 第四步：根据总工作量列方程 两部分工作量加起来等于1： 第五步：解这个方程 通分后合并分子： 展开括号： 合并同类项： 两边同时乘以40： 移项： 解得： 第六步：作答 答：应先安排 2人 进行整理。 总结： 1. 题目考查内容 ① 一元一次方程在工程类问题中的应用； ② 工作效率、工作时间与工作总量之间的关系； ③ 分阶段计算工作量并建立等量关系的能力。 2. 题目求解要点 ① 将总工作量设为单位“1”，便于建立比例关系； ② 理解“人均效率”的概念，并能正确表示多人多时段的工作量； ③ 准确列出方程并求解； ④ 注意检验结果是否合理，是否符合实际情境。 新知巩固 题目： 第1题：某商店以240元/件的价格卖出两件衣服，一件赚20%，一件赔20%，则在本次交易中，该商店（　　） A．赚20元 B．赔20元 C．不赔不赚 D．无法确定 解答： 我们设第一件衣服的进价为 元，第二件衣服的进价为 元。 根据题意： 第一件衣服盈利20%，售价为240元，因此有： 第二件衣服亏损20%，售价也为240元，因此有： 所以，这两件衣服的总进价是： 而总售价是： 因此，该商店在这次交易中亏损了： 答案：B．赔20元 总结： 1. 题目考查内容 本题考查一元一次方程在销售盈亏问题中的应用，涉及百分数的计算和实际问题建模能力。 2. 题目求解要点 明确“售价 = 进价 + 利润”或“售价 = 进价 - 亏损”的关系； 正确列出两个一元一次方程分别求出两件衣服的进价； 计算总进价与总售价，判断盈亏情况； 注意不能简单地认为“盈利20%和亏损20%相互抵消”。 3. 同类型题目解题步骤 设未知数（如进价）； 根据利润或亏损比例建立等式； 列出方程并求解； 比较总进价与总售价； 得出盈亏结论； 检查是否符合实际意义。 题目： 第2题：某校组织传统文化知识竞赛，共设20道选择题，每题必答。甲、乙、丙三人的得分情况如下表所示： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 问另一名参赛学生丁的得分可能是（　　） A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 解答： 从甲的成绩可知：答对20题得100分，说明每题答对得： 设每题答错扣 分。 根据乙的成绩：答对18题，得 分；答错2题，共被扣 分，总得分为88分，列方程： 验证丙的成绩：答对10题得 分，答错10题扣 分，总得分为： 与题目一致，说明设定正确。 现在分析丁的可能得分： 设丁答对 题，则答错 题，其得分为： 我们依次代入选项，看哪个值能使得 成立，并且 是整数（因为答对题数必须是整数）： A. 54： ❌ B. 64： ✅ C. 78： ❌ D. 93： ❌ 只有选项 B（64分） 对应的 是整数，符合题意。 答案：B．64分 板书设计 实际问题与一元一次方程 ├─ 解题基本过程 │ ├─ 设：设未知数 │ ├─ 列：列方程 │ ├─ 解：解方程 │ ├─ 检：检验结果 │ └─ 答：确定答案 ├─ 探究1：销售中的盈亏 │ ├─ 分析：总售价与总进价比较 │ ├─ 方程：盈利，亏损 │ └─ 结论：亏损8元 ├─ 探究2：球赛积分表问题 │ ├─ 分析 │ │ ├─ 胜分，负1分，， │ │ ├─ 胜场，总积分 │ │ └─ 胜场，，（不符实际） │ └─ 总结：方程解需符合实际意义 └─ 探究3：不同能效空调综合费用比较 ├─ 分析：综合费用 = 售价 + 电费 ├─ 方程：， └─ 结论：，3级费用低；，1级费用低 教学反思 本节课围绕实际问题与一元一次方程展开，通过销售盈亏、球赛积分、空调费用比较三个探究问题，引导学生掌握用方程建模解决实际问题的基本过程。教学设计紧扣课程标准，注重数学建模思想的渗透和学生分析能力的培养。从课堂反馈来看，多数学生能正确列出方程并进行求解，基本达成教学目标。成功之处在于通过具体情境激发学生兴趣，强化了“设、列、解、检、答”的解题流程；不足在于部分学生对问题中等量关系的挖掘仍显薄弱，特别是在球赛积分问题中方程解的实际意义理解不到位。今后应加强实际问题中数量关系分析的训练，并通过更多生活实例提升学生的数学抽象与应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$