专题09 函数的综合应用（讲义） -山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题：函数的综合应用。本专题涵盖函数的综合、函数的实际应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 函数的综合应用（讲义） 知识点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 知识点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 1．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 2．（24-25高三下·江苏·职教高考）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）有一批材料可以建成长为的围墙，现用该材料围成一块矩形场地，矩形场地一边靠墙，中间用同样的材料隔成个面积相等的小矩形（如图）.设与墙垂直的一边长为，试写出围成矩形的面积(单位：)关于边长的函数解析式. 4．（14-15高三·重庆·职教高考）某公司生产某种设备每年需固定支出120万元，此外每台设备还需支出其它费用2万元．设该公司年产量为台，当时，公司年销售总收入为万元，当时，公司年销售总收入为万元． (1)求该公司年利润与年产量的函数关系式（年利润年销售总收入-年总支出）； (2)当该公司年产量为多少台时，所获年利润最大？最大利润是多少？ 5．（22-23高三·广东·职教高考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 6． （19-20高三下·黑龙江·对口/高职单招）如果一个三角形的底边与该边上的高之和为4，求该三角形的面积关于高的函数解析式，以及当高为多少时，面积S最大?最大面积是多少? 1．已知函数为偶函数，则（   ） A．7 B．4 C． D． 2．已知函数且的定义域为，若，则（   ） A． B．6 C． D． 3．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点A，B不在该反比例函数的图象上，则k的值可以为（   ） A． B． C． D． 6．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（   ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 7．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10 天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（   ） A．215份 B．350份 C．400份 D．250份 8．生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：m）与时间（单位：min）的函数关系图像．则下列结论正确的是（   ） A．后800m的速度为 B．中途停留了10min C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 9．将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时，用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 11．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A类 7.5 B类 6 若制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值为 万元． 12．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速沿原路跑回家.小明拿到书后以原速的快步赶学校，并在从家出发23后到校（小明被爸爸追上时，两人交流的时间忽略不计）.两人之间相距的路程与小明从家出发步行到学校的时间之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 . 13．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为，在B地的销售利润（单位：万元）为，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 万元. 14．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最多不超过400吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使处理成本最低？ (2)要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？ 15．某公司分别在A、B两城生产同种产品，共300件，A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系，B城生产产品每件的成本为50元. (1)若A城的成本为3080元，则B城的成本为多少元？ (2)当A城生产多少件产品时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题：函数的综合应用。本专题涵盖函数的综合、函数的实际应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 函数的综合应用（讲义） 知识点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 知识点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 1．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【分析】设阴影部分的面积为，根据题意列出阴影部分面积的函数，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设阴影部分的面积为， 则， 所以当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 2．（24-25高三下·江苏·职教高考）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】(1)75元 (2)65元；72000元 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【详解】（1）当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． （2）设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润为收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）有一批材料可以建成长为的围墙，现用该材料围成一块矩形场地，矩形场地一边靠墙，中间用同样的材料隔成个面积相等的小矩形（如图）.设与墙垂直的一边长为，试写出围成矩形的面积(单位：)关于边长的函数解析式. 【答案】 【分析】因为与墙垂直的一边长为米，通过计算与墙平行的边长，即可得出矩形场地的面积关于边长的函数解析式. 【详解】因为与墙垂直的一边长为，所以小矩形的另一边长为. 由得，所以， 即围成矩形的面积关于边长的函数解析式为. 4．（14-15高三·重庆·职教高考）某公司生产某种设备每年需固定支出120万元，此外每台设备还需支出其它费用2万元．设该公司年产量为台，当时，公司年销售总收入为万元，当时，公司年销售总收入为万元． (1)求该公司年利润与年产量的函数关系式（年利润年销售总收入-年总支出）； (2)当该公司年产量为多少台时，所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该公司年产量为16台时，所获年利润最大，最大利润是136万元 【分析】（1）根据题意，结合分段函数求解析式，分别求出和时，对应的年利润，即可求解； （2）根据题意，结合分段函数求最值，分别求出每段区间上函数的最大值，比较即可求解. 【详解】（1）由题意，得当，时，； 当，时，， 所以年利润与年产量的函数关系式为； （2）由（1）得当，时，， 所以当时，函数取得最大值； 当，时，， 所以当时，函数取得最大值，即； 综上所述，当时，函数取得最大值， 即当该公司年产量为16台时，所获年利润最大，最大利润是136万元. 5．（22-23高三·广东·职教高考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是函数图像上一点，点、分别在轴和轴上，四边形为矩形． (1)求矩形的面积； (2)若矩形的周长为，求点的坐标． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）设，再由矩形的性质可得，再由矩形的面积公式列式即可求值. （2）联立方程组，求解即可. 【详解】（1）如图，设，因为四边形为矩形， 所以， 因为，是函数图像上一点， 所以，即， 所以矩形面积为， （2）由（1）可知， 由矩形的周长为，得， 联立方程组，整理得， 解得或， 所以点的坐标为. 6．（19-20高三下·黑龙江·对口/高职单招）如果一个三角形的底边与该边上的高之和为4，求该三角形的面积关于高的函数解析式，以及当高为多少时，面积S最大?最大面积是多少? 【答案】，当时，面积S最大，最大面积是2． 【分析】根据三角形面积公式求解函数解析式即可，再由二次函数的性质即可求解最大值. 【详解】三角形的面积为，高为， 由已知得底边为， 面积， 故当时，面积S最大，最大面积是2． 1．已知函数为偶函数，则（   ） A．7 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数为偶函数，可得，求得m的值，继而求得函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为二次函数为偶函数， 所以，解得， 所以， 所以． 故选：A. 2．已知函数且的定义域为，若，则（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式判断函数的奇偶性，再根据奇偶性求值. 【详解】函数且的定义域为，关于原点对称， ∵，， ∴函数是偶函数． 所以． 故选：B. 3．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例的图象所在象限，即可比较大小. 【详解】因为点都在反比例函数的图象上， 所以，图象位于第二、四象限内， 且在不同象限内，第二象限值的纵坐标大于第四象限值的纵坐标， 因为，所以点B在第四象限，点A在第二象限， 所以. 故选：A． 4．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式确定对应点的坐标，进而判断即可； 【详解】因为点在反比例函数的图象上， 当时，，解得； 当，，解得：； 当时，，解得：； ． 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点A，B不在该反比例函数的图象上，则k的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质即可得解. 【详解】由图象可知：，则， 选项，不满足；选项，满足， 所以的值可以为． 故选：. 6．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（   ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 【答案】B 【详解】由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设， 将和代入得 解得：，，故， 当销售员没有销售量即时，代入解得. 故选：B. 7．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10 天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（   ） A．215份 B．350份 C．400份 D．250份 【答案】C 【分析】根据题意，设每天从报社买进份报纸，每月所获利润为y 元，结合买进、卖出、退回情况分析可得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可. 【详解】由题意，设每天从报社买进x（，）份报纸，每月所获利润为y 元，具体情况如表： 数量/份 单价/元 金额/元 买进 2 卖出 3 退回 0.8 所以，， 因为在上单调递增， 所以当时，y取得最大值， 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元. 故选：C. 8．生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：m）与时间（单位：min）的函数关系图像．则下列结论正确的是（   ） A．后800m的速度为 B．中途停留了10min C．后800m速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【分析】观察图像，针对选项，利用函数，即可求解. 【详解】对于A：后800m的速度为，选项A正确，符合题意； 对于B：中途停留了，选项B错误，不符合题意； 对于C：当时，关于的函数图象是线段， 即后800m速度不变，选项C错误，不符合题意； 对于D：整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A. 9．将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时，用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知与之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后随的增大而减小且呈线性变化即可判断. 【详解】如图所示，当圆柱体刚从水中匀速提起时水面高度不变，故排除A、B选项， 当圆柱体的上表面离开水面时，水面高度开始下将， 因为圆柱体从水中匀速提起，则随的增大而减小，且呈线性变化， 所以其图像为呈下降趋势的直线. 故选：C． 10．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性确定的取值范围，得出一次函数与y轴交点位于y轴的负半轴，由此即可解答. 【详解】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小， 所以，得一次函数与y轴交点在y轴的负半轴， 故A,C错误， 且是逐渐上升的，所以B正确，D错误， 故选：B． 11．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A类 7.5 B类 6 若制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值为 万元． 【答案】 20 330 【分析】先设未知数，根据人员数量限制确定变量范围，进而求解. 【详解】设应开发A类电子器件件，则开发B类电子器件（）件． 根据题意，得，解得， 由题意，总产值， 因为，y随x增大而增大， 当且仅当时，取最大值330． 所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 故答案为：20，330 12．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速沿原路跑回家.小明拿到书后以原速的快步赶学校，并在从家出发23后到校（小明被爸爸追上时，两人交流的时间忽略不计）.两人之间相距的路程与小明从家出发步行到学校的时间之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 . 【答案】2080 【分析】设小明原速度为，爸爸行进速度为，由题意及题图列出方程组求出，进而可得小明家到学校的路程. 【详解】设小明原速度为，则拿到书后的速度为， 则家校距离为. 设爸爸行进速度为， 由题意及题图得， 解得，. 所以小明家到学校的路程为. 故答案为：2080． 13．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为，在B地的销售利润（单位：万元）为，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 万元. 【答案】43 【分析】根据题意列出总利润的函数式，再根据二次函数最值的解法求最大利润. 【详解】设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车辆，所以可获得利润 . 因为且， 所以当或11 时，总利润最大，最大值万元， 故答案为：. 14．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最多不超过400吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使处理成本最低？ (2)要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？ 【答案】(1)150吨 (2) 【分析】（1）先求解二次函数的对称轴，再由二次函数的最值求解即可. （2）现将利润函数表达式表示出来，再由“不亏损”即大于等于零列不等式求解即可. 【详解】（1）二次函数的图像的开口向上， 对称轴为，当时，y取最小值， 故该单位每月处理量为150吨时，才能使处理成本最低. （2）令 要使单位每月不亏损，则， 即 可得，解得， ∵该单位每月的处理量最多不超过400吨， ∴， 故月处理量在内时，该单位每月不亏损. 15．某公司分别在A、B两城生产同种产品，共300件，A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系，B城生产产品每件的成本为50元. (1)若A城的成本为3080元，则B城的成本为多少元？ (2)当A城生产多少件产品时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为多少元？ 【答案】(1)元. (2)当A城生产20件时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为14680元. 【分析】（）将代入中求出A城生产产品的数量为，所以B城生成的数量为，即可得解. （）根据题意列出函数解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）A城生产产品的成本y（元）与产品数量x（件）之间具有函数关系， 令，则， 且，所以， A城成本3080元生产了50件产品， 即B城的成本为元. （2）设A、B两城生产这批产品的总成本为W元， ，， 当时，W有最小值， ， 当A城生产20件时，A、B两城生产这批产品的总成本最少，最少为14680元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$