2.1分式的概念及基本性质（第2课时分式的基本性质）（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

2.1分式的概念及基本性质 第二课时 （7大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值变化情况 题型四 将分式的分子分母最高次项系数化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型一 判断分式变形是否正确 1．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 6．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 7．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 求使分式变形成立的条件 8．用分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入： （2）；括号内应填入： （3）．括号内应填入： 9．．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写： 10．若成立，则的取值范围是 ． 11．当取何值时，等式成立？ 题型三 利用分式的基本性质判断分式值变化情况 12．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 13．把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 14．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 15．将的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 16．若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 17．若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 题型四 将分式的分子分母最高次项系数化为正数 18．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 19．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 20．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 21．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 22．在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 23．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 24．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 题型六 最简分式 25．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 26．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 27．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 28．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型七 约分 29．要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 30．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 31．若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 32．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．约分： (1)； (2)； (3)． 34．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 35．化简． 36．因为，所以（第一步） 所以．（第二步） (1)回答问题： ①第一步运用了 ___________的基本性质； ②第二步的解题过程运用了 ___________的方法，是对分式进行了 ___________． (2)模仿材料解答：已知，求的值． 37．已知数x，y满足，求的值． 38．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)； (2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值． 39．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 40．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 41．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 42．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 43．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“设参法求分式的值”的研究报告 勤学小组 研究对象：设参法求分式的值 研究思路：设参数为，把含参数的式子代入原式进行化简求值 【问题提出】已知，求分式的值． 【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式，因而有，，，于是将它们分别代入分式中，即可通过化简求得分式的值． 解：设，则，，， ∴原式___▲____． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)已知，，满足等式，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1分式的概念及基本性质 第二课时 （7大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值变化情况 题型四 将分式的分子分母最高次项系数化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型一 判断分式变形是否正确 1．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A：分子和分母同时加2，不符合分式基本性质中“乘以或除以”的要求，故错误； B：分子可提取公因式，化简为，故错误； C：分子和分母同时乘以3，满足分式基本性质，，故正确； D：分子和分母平方后相当于原式乘以，若，值会改变，故错误； 故选：C． 2．根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分子分母需同乘或同除同一个非零整式，分式的值不变．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，分子分母同乘，若则分母为0，分式无意义，故A错误． 选项B：，左边分子分母同乘，得，与右边相等，故B正确． 选项C：，分子分母分别平方，相当于分子乘、分母乘，若，分式值改变，故C错误． 选项D：，分子分母同减，不符合分式基本性质（需同乘或同除），如，，时，左边为，右边为，显然不等，故D错误． 故选：B． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质及符号变化规则，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质及符号变化规则逐项判断即可． 【详解】解：A．左边（分子负负得正），右边，显然不等，故A错误． B．左边（分子整体取反），右边，分子符号不同，故B错误． C．左边，与右边完全相同，故C正确． D．左边，右边，左边为负，右边为正，故D错误． 故选C． 4．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解；分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】选项A： 分子分母同时加2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等。故A错误． 选项B： 分子分母同时减2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故B错误． 选项C： 左边为，右边为，仅当或时成立． 但，且时虽成立，但非普遍情况． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故C错误． 选项D： 计算左边：，右边为，显然左边=右边． 故D正确． 故选：D． 5．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×）  ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√）  ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案． 【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分． ② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分． ③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分． ④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分． ⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分． 综上，得分分， 故选B． 6．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 7．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）直接将两个负号消掉即可； （2）将分子的负号移到分数线前面即可； （3）直接将两个负号消掉即可； （4）将分子和分母中的负号消掉即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 题型二 求使分式变形成立的条件 8．用分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入： （2）；括号内应填入： （3）．括号内应填入： 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． （1）由分子可知，进而得到分母，从而得到答案； （2）由分母可知，进而得到分子，从而得到答案； （3）由分子可知，进而得到分母为，从而得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， 故答案为：； （3）， ， 故答案为：． 9．．第一个括号内填写： ，第二个括号内填写： 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：，． 10．若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 11．当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 题型三 利用分式的基本性质判断分式值变化情况 12．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】C 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得，扩大为原来的3倍， 故选：C． 13．把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 14．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故选：C． 15．将的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质逐一判断即可． 【分析】解：A． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值不变； B． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值改变； C． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值改变； D． 将的值均扩大为原来的2倍得：，分式的值改变； 故选：A． 16．若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，通过代入和化简来判断分式值的变化是解题的关键．根据、的值扩大倍得到新的、值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化情况． 【详解】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得： ∵分子分母可提取公因式， ∴ 新分式与原分式相同，所以分式的值不变． 故选：B． 17．若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即． 选项A：，扩大后仍为3，不满足． 选项B：，扩大后为，而，不相等． 选项C：，扩大后为，而，不相等． 选项D：，扩大后为，而，相等． 故选D． 题型四 将分式的分子分母最高次项系数化为正数 18．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 19．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 20．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 21．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 22．在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 23．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 24．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型六 最简分式 25．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最贱分式的定义逐项分析即可． 【详解】A．分子为，分母为，公因式为，可约分为，故A不是最简分式． B．分子可分解为，分母为，存在公因式，约分后为，故B不是最简分式． C．分子为二项式，分母为单项式．两者无公因式，故C是最简分式． D．分子与分母互为相反数，可化为，存在公因式，故D不是最简分式． 故选C． 26．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的判定，要判断分式是否为最简分式，需检查分子和分母是否存在公因式，若无公因式，则为最简分式．根据最简分式的判断方法，进行判断即可． 【详解】解：选项A：分子系数4与分母系数6的最大公约数为2，可约分为，故A不是最简分式，不符合题意； 选项B：分母可因式分解为，存在公因式，分式化简为，故B不是最简分式，不符合题意； 选项C：分母可分解为，存在公因式，分式化简为，故C不是最简分式，不符合题意； 选项D：分母在实数范围内无法因式分解，分子与分母无公因式，无法约分，故D是最简分式，符合题意． 故选：D． 27．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式；根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式，据此解答即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、不能化简，是最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 28．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：A、，分子为1，分母为，1与任何多项式无公因式，且为一次式不可分解，故为最简分式，符合题意； B、，分子3与分母6有公因数3，约分后为，不是最简分式，不符合题意； C、，分母可分解为，分子与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； D、，分子可提取公因式得，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 题型七 约分 29．要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式约分中公因式的确定，根据公因式由分子分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂组成即可求解，掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：和的公因式为， 故选：． 30．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查约分的性质．熟练掌握，即可解题． 根据分式约分的规则，逐一验证各选项的正确性．约分需分子分母同时除以公因式，且不改变原式的值． 【详解】选项A： 分子分母均为负数，相除结果应为正数．正确结果应为，故A错误． 选项B： 分子与分母相同，当时，分式值为1，而非0，故B错误． 选项C： 分母分解因式得，分子为，约去公因式后结果为（前提且），故C正确． 选项D： 根据分式基本性质，分子分母同时乘以非零数，等式成立，但此操作为分式变形而非约分（约分需约去公因式），故D不符合题意． 综上，正确答案为：C． 31．若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 32．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． （1）直接约分即可得到答案； （2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 33．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提负号和公因式m，然后再利用平方差公式进行分解即可； （3）把看成整体，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，分解因式首先要看是否有公因式，如果有公因式应该先提公因式，然后再观察是否可利用公式，注意一定要分解到不能再分解为止． 34．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【答案】两人的说法都是错的，见解析 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可． 【详解】解：他们两人的说法都是错的． ①式是对的， 左边的分式是一定有意义的， ， 分式的分子、分母同时除以，分式的值不变． ②式是错的， 分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为， 分式的值可能改变． 35．化简． 【答案】 【分析】先将分子、分母因式分解，再找出分子、分母的最大公因式并约去． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了分式的约分，能彻底分解因式是解题的关键．本题考查了拆项分组分解法，难度较大． 36．因为，所以（第一步） 所以．（第二步） (1)回答问题： ①第一步运用了 ___________的基本性质； ②第二步的解题过程运用了 ___________的方法，是对分式进行了 ___________． (2)模仿材料解答：已知，求的值． 【答案】(1)等式；代入，约分 (2) 【分析】本题主要考查了等式的性质，约分，分式化简求值等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据等式的基本性质、约分的定义进行解答即可； （2）令，再用表示出、、的值，然后代入分式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步运用了等式的基本性质； 第二步的解题过程运用了代入的方法，由得到，是对分式进行了约分； 故答案为：等式；代入，约分； （2）解：， 令，则，，， 原式． 37．已知数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键． 由去分母得到，代入即可求得答案． 【详解】解： x，y满足， ， ． 38．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)； (2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值． 【答案】(1)②③④ (2)或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可； （2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ①，是“和谐分式”； ②，分式可以约分，不是“和谐分式”； ③，分式可以约分，不是“和谐分式”； ④，分式可以约分，不是“和谐分式”； 综上，不是“和谐分式”的是②③④； 故答案为：②③④； （2）解：∵为“和谐分式”， ∴可以进行因式分解，且不能有因式， ∴或或或， ∴或或． 【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键． 39．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 40．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 41．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 42．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“设参法求分式的值”的研究报告 勤学小组 研究对象：设参法求分式的值 研究思路：设参数为，把含参数的式子代入原式进行化简求值 【问题提出】已知，求分式的值． 【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式，因而有，，，于是将它们分别代入分式中，即可通过化简求得分式的值． 解：设，则，，， ∴原式___▲____． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)已知，，满足等式，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的求值和三元一次方程组的求解，正确理解题干信息、掌握求解的方法是关键； （1）直接约分即可得到答案； （2）仿照研究报告中的方法设参求解即可． 【详解】（1）解：解：设，则，，， ∴原式． 故答案为：； （2）解：设， 则，解得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$