21.2 解一元二次方程第1课时 配方法(1) 同步提优训练 2025-2026学年 人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 第1课时 配方法(1) 目标1.能运用直接开平方的方法解形如 或 的一元二次方程. 2.学会将二次项系数比较简单的一元二次方程转化为 的形式并进行求解. 基础巩固 1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16 【思路点拔】先移项得到x2＝4，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：x2＝4， x＝±2， 所以x1＝﹣2，x2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 2．若一元二次方程（x＋6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝8，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x＋6＝8 D．x＋6＝﹣8 【思路点拔】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：∵（x＋6）2＝64， ∴x＋6＝8或x＋6＝﹣8， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2﹣2（m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m≥﹣1且m≠1 D．m＞﹣1且m≠1 【思路点拔】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2﹣2（m＋1）x＋1＝0有实数根， ∴m2﹣1≠0，且Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m＋1）]2﹣4（m2﹣1）•1＝8m＋8≥0， 解之得m＞﹣1且m≠1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 4．一元二次方程2x2＝18的根为 　x1＝3，x2＝﹣3　． 【思路点拔】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：2x2＝18， ∴x2＝9， ∴x＝±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 　3或﹣3　． 【思路点拔】根据题意可得：3x2﹣6＝21，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 3x2﹣6＝21， 3x2＝27， x2＝9， x1＝3，x2＝﹣3， ∴x的值为3或﹣3， 故答案为：3或﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝3； （2）2（x﹣3）2＝72； （3）9（y＋4）2﹣49＝0； （4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 【思路点拔】（1）利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形得到（x﹣3）2＝36，然后利用直接开平方法解方程； （3）先把方程变形得到（y＋4）2，然后利用直接开平方法解方程； （4）先两边开方得到2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）（x﹣3）2＝36， x﹣3＝±6， ∴x1＝9，x2＝﹣3； （3）9（y＋4）2＝49， ∴（y＋4）2， ∴y＋4＝±， ∴y1，y2； （4）∵2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1）， ∴y1，y2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 思维拓展 7．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为﹣10，则输入x的值为（　　） A．﹣8 B．或 C．或 D． 【思路点拔】根据程序计算器列方程，解方程可解答． 【解答】解：由题意得：（x＋1）2×（﹣2）＝﹣10， ∴（x＋1）2＝5， ∴x＋1＝±， ∴x＝﹣1±． 故选：C． 【点评】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握程序计算器的运算顺序． 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]x2的解为（　　） A．0或 B．0或1 C．1或 D．或 【思路点拔】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，则x2＝1；当0≤x＜1时，则x2＝0；当﹣1≤x＜0时，则x2＝﹣1；当﹣2≤x＜﹣1时，则x2＝﹣2；然后分别解关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1，x2（舍去）； 当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0； 当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解； 当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解； 所以方程[x]x2的解为0或． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，也考查了实数的大小比较． 9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m＋1与m﹣7，则为 　　． 【思路点拔】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2m＋1＋m﹣7＝0， ∴m＝2， ∴2m＋1＝5， ∵ax2＝b（ab＞0）， ∴x2， ∴（2m＋1）2＝25， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键． 10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 　±2　． 【思路点拔】根据定义的新运算可得3x2＝12，然后再利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：∵y＝x3，y′＝12， ∴3x2＝12， x2＝4， x＝±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，理解定义的新运算是解题的关键． 11．关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），则关于a（x＋m＋2）2＋b＝0的解是　x1＝1，x2＝4　． 【思路点拔】把后面一个方程中的x＋2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【解答】解：∵关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x＋m＋2）2＋b＝0变形为a[（x＋2）＋m]2＋b＝0，即此方程中x＋2＝3或x＋2＝6， 解得x＝1或x＝4． 故方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的解为x1＝1，x2＝4． 故答案为：x1＝1，x2＝4． 【点评】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解．注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算． 12．解关于x的方程：x2﹣3＝1＋ax2（a≠1）． 【思路点拔】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2， 当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝±±； 当1﹣a＜0，即a＞1时，无解． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，利用了分类讨论的思想，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键． 13．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b3，求关于y的方程c＝0的根． 【思路点拔】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出a，进而求出b，根据一元二次方程解的定义求出c，利用直接开平方法解出一元二次方程． 【解答】解：由题意得：a﹣2≥0，4﹣2a≥0， 解得：a＝2， ∴b＝﹣3， ∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是1， ∴a＋b＋c＝0， ∴c＝1， 则方程为y2﹣1＝0， 整理得：y2＝4， ∴y1＝2，y2＝﹣2． 【点评】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程、二次根式有意义的条件、一元二次方程解的定义，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 14．（原创题）如果(7a＋7b＋)(7a＋7b－)＝2024，求a＋b的值． 【思路点拔】利用平方差公式，直接开平方计算． 【解答】解：∵(7a＋7b＋)(7a＋7b－)＝2024， 即（7a＋7b）2﹣34＝2024， ∴49（a＋b）2＝2024＋34＝2058，化简得（a＋b）2＝42， ∴a＋b＝±. 【点评】本题考查了平方差公式，直接开平方，解题的关键是掌握平方差公式，直接开平方，整体思想.． 延伸探究 15．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长． 【思路点拔】由一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用直接开平方法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案． 【解答】解：∵（x﹣3）2＝1， ∴x﹣3＝±1， 解得，x1＝4，x2＝2， ∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时， ∴△ABC的周长为：2＋4＋4＝10． 【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用． 16．对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2， （1）请直接写出max{，}的值： （2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决下面问题：若max{（x﹣1）2，x2}＝4，求x的值． 【思路点拔】（1）比较大小得出，根据定义即可得； （2）分x＝0.5、x＞0.5、x＜0.5三种情况，根据定义列出关于x的方程求解可得． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴max{，}； （2）当x＝0.5时，（x﹣1）2＝x2＝0.25≠4，不符合题意； 当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2， 则x2＝4， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍）； 当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2， ∴（x﹣1）2＝4， 解得：x＝3（舍）或x＝﹣1； 故x的值为2或﹣1． 【点评】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握新定义及实数的大小比较． 中考提分 17．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为m，n，且m＞n，则2m＋n的值是（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．6 D．9 【思路点拔】先利用直接开平方法解方程得到m＝2，n＝2，然后计算代数式2m＋n的值． 【解答】解：（x﹣2）2＝3， x﹣2或x﹣2， 所以x1＝2，x2＝2， 即m＝2，n＝2， 所以2m＋n＝4＋2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键． 18．解方程：（2x＋3）2＝（3x＋2）2． 【思路点拔】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可． 【解答】解：方程：（2x＋3）2＝（3x＋2）2， 开方得：2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝﹣3x﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 解一元二次方程 第1课时 配方法(1) 目标1.能运用直接开平方的方法解形如 或 的一元二次方程. 2.学会将二次项系数比较简单的一元二次方程转化为 的形式并进行求解. 基础巩固 1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16 2．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8 3．关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2﹣2（m+1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m≥﹣1且m≠1 D．m＞﹣1且m≠1 4．一元二次方程2x2＝18的根为 　 　． 5．要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 　 　． 6．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝3； （2）2（x﹣3）2＝72； （3）9（y+4）2﹣49＝0； （4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 思维拓展 7．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为﹣10，则输入x的值为（　　） A．﹣8 B．或 C．或 D． 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]x2的解为（　　） A．0或 B．0或1 C．1或 D．或 9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为 　 　． 10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 　 　． 11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），则关于a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　． 12．解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）． 13．（原创题）如果(7a+7b+)(7a+7b-)=2024，求a+b的值. 14．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b3，求关于y的方程c＝0的根． 延伸探究 15．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长． 16．对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2， （1）请直接写出max{，}的值： （2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决下面问题：若max{（x﹣1）2，x2}＝4，求x的值． 中考提分 17．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为m，n，且m＞n，则2m+n的值是（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．6 D．9 18．解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2． 学科网（北京）股份有限公司 $$