专题2.3 直线的方程（11类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册（解析版）

专题2.3 直线的方程 【知识梳理】 1 【考点1：点斜式方程】 4 【考点2：斜截式方程】 6 【考点3：两点式方程】 8 【考点4：截距式方程】 10 【考点5：一般式方程】 12 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 14 【考点7：直线过定点问题】 16 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 19 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 21 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 24 【考点11：直线方程的实际应用】 30 【知识梳理】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 8．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 9．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 10．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 11．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 12．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【考点1：点斜式方程】 1．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 5．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 【考点2：斜截式方程】 1．（24-25高一·全国·课后作业）直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2 C．k＝－，b＝－3 D．k＝－，b＝－3 【答案】C 【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程y=kx+b，即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可． 【详解】方程变形为：， ∴此直线的斜率，直线在y轴上的截距． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的斜截式方程求解即可得出答案. 【详解】倾斜角为，直线的斜率为1， 在轴上的截距是，直线方程. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川南充·期末）已知直线，则“”是“直线过第一､二象限”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线的解析式及性质判断充分与必要性即可. 【详解】充分性：当时， 由直线图像知，直线过第一、二、三象限； 同理可知，当时，直线过第一、二象限；当时，直线过第一、二、四象限；即充分性得证； 必要性：当直线l过第一、二象限时，直线与y轴上的交点一定在正半轴上，即，必要性得证； 即“”是直线l过第一、二象限的充要条件； 故选：C 5．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 【考点3：两点式方程】 1．（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【分析】根据两点式方程的定义计算可得. 【详解】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 4．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线与的交点坐标，再求直线方程可得出答案. 【详解】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 【考点4：截距式方程】 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 3．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 4．（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【分析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由题意可得，化简得出，可知为的正约数，列举出的所有可能取值，即可得解. 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 5．（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 【考点5：一般式方程】 1．（24-25高二上·河北邢台·期末）直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的一般式方程表示直线斜率，利用倾斜角和斜率之间的关系可得结果. 【详解】由题意得，直线方程可化为，直线斜率为， ∵直线的倾斜角为， ∴，即. 故选：D. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 4．（多选）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【分析】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【详解】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】将直线化为确定定点判断A；由，直线为判定B；注意直线过原点的情况判断C；根据平移得，整理后有即可判断D. 【详解】A：由，显然直线恒过，对； B：由，则， 而直线可化为，所以直线不经过第四象限，对； C：若直线过原点时，直线为，即，错； D：令原直线为，根据平移有， 所以与为同一直线， 所以，对. 故选：ABD 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 1．（24-25高二上·上海静安·期末）过点且与向量平行的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】据题意，由点的坐标以及直线的方向向量，将其直接代入直线的点方向式方程即可得答案． 【详解】解：根据题意，直线过点，且以向量为方向向量， 则其方程为：；化简得 故答案为：． 【点睛】本题考查求直线的方程，属于基础题． 2．（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而求出的方向向量. 【详解】依题意，直线l的斜率为，所以直线的方向向量可以取为. 故选：A 3．（2025高一下·全国·专题练习）将直线l：y=2x按向量平移得到直线l′，则l′的方程为 A．y=2x–3 B．y=2x+3 C．y=2（x–3） D．y=2（x+3） 【答案】C 【分析】根据题意可知直线l′的斜率 为2，且过点(3,0)点，利用点斜式，可得l′的方程. 【详解】由题意可得：直线l′的斜率 为2，且过点(3,0)点， 可得其方程为：，故选C. 【点睛】本题考查向量的平移，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于基础题. 4．（24-25高二上·广东佛山·期末）与向量平行，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点斜式求得直线方程. 【详解】依题意可知，所求直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. 故选：A 5．（2025·山东济南·二模）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出两直线的交点坐标，然后再根据所求直线平行于向量，从而可求出答案. 【详解】由，得，所以交点坐标为， 又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为， 即. 故选：C. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，且向量是直线l的一个方向向量，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意得到直线的一个方向向量为，再结合已知条件，利用向量共线求解即可. 【详解】因为直线，直线的一个方向向量为， 又因为向量是直线l的一个方向向量， 所以，解得或. 故选：D 【考点7：直线过定点问题】 1．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 4．（2025·浙江温州·二模）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：； 5．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 1．（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 【答案】 【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解. 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用直线平行设直线为，再应用点在线上计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 4．（多选）（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先利用几何意义得到直线与平行或经过的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 6．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行得斜率相等，再根据点斜式方程即可求解； （2）根据题意可知所求直线与AC平行或者过A，C中点，分类求解即可. 【详解】（1），∴直线BC的斜率为：. ∴过点A且平行于BC的直线的方程为：，即. （2）由题知可知：的中点坐标为：，直线的方程为：. 当直线与AC平行时，直线的一般方程为：； 当直线经过A，C中点时，，此时直线的方程为：，即. 综上所述：过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程为：或. 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，先根据对称得到方程，求出点坐标，数形结合得到，直线垂直于直线时，点到直线的距离最大，根据的斜率求出直线的斜率为，得到直线方程. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，解得，即 设点到直线的距离为， 又直线经过点，所以当垂直于直线时，取得最大值， 而， 因此直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 故选：B 6．（24-25高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点，和 ，运用点斜式得方程；（2）求出，运用点斜式得方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 7．（24-25高二上·河南安阳·阶段练习）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【详解】（1）边所在的直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由（1）得，边所在直线斜率，所以边垂直平分线的斜率为， 的中点坐标为，所以边的垂直平分线方程，即. 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 4．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 5．（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解. （2）求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积. 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 6．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为． (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意知直线过点，，代入两点式方程并化简，可得直线：.令，求得纵截距，再求三角形的面积即可； （2）由题知，截距一定不为，根据截距式方程，不妨设直线：，则再计算即可. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线过点，又直线过， 根据两点式，得，即. 令，得， 所以的面积. （2）由题知，截距一定不为，不妨设直线：. 则得或 所以直线在轴上的截距为. 7．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 8．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当直线时，点到直线的距离最大，再用垂直直线斜率乘积结论即可； （2）分情况讨论，当直线轴时和当直线的斜率存在时，求出的面积，结合二次函数知识计算最小值即可. 【详解】（1）当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． （2）当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 【考点11：直线方程的实际应用】 1．（24-25高二·全国·课后作业）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min． 【答案】35 【分析】假设直线方程为，利用待定系数法求得直线方程，代入即可求得结果. 【详解】根据题意，不妨设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为，当时，即，得， 所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min. 故答案为：35. 2．（2025高三·全国·专题练习）设光线从点出发，经过轴反射后经过点，则光线与轴的交点为 ，若该入射光线经轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为 . 【答案】 【分析】首先，根据光线从点射向x轴，得到其关于x轴的对称点，然后根据反射光线的反向延长线经过和，得到直线，即得光线与x轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距. 【详解】由点关于轴的对称点为， 可得直线的斜率为，方程为， 令，可得， 即光线与轴的交点为； 由入射光线可得入射角为， 则折射角为，折射光线的斜率为， 折射光线的方程为，令，可得， 则折射光线所在直线的纵截距为. 故答案为： ； . 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 【答案】A 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程. 【详解】由，得，则的垂心为，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 故选：A 4．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为的顶点，， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：A. 5．（24-25高三上·安徽宣城·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解. 【详解】如图，设关于直线对称的点为， 则有 ，可得，可得， 依题意可得“将军饮马”的最短总路程为， 此时， 故选：D. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线的方程 【知识梳理】 1 【考点1：点斜式方程】 4 【考点2：斜截式方程】 5 【考点3：两点式方程】 6 【考点4：截距式方程】 6 【考点5：一般式方程】 7 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 8 【考点7：直线过定点问题】 8 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 9 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 10 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 12 【考点11：直线方程的实际应用】 15 【知识梳理】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 8．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 9．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 10．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 11．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 12．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【考点1：点斜式方程】 1．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2：斜截式方程】 1．（24-25高一·全国·课后作业）直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2 C．k＝－，b＝－3 D．k＝－，b＝－3 2．（24-25高二上·全国·课后作业）倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川南充·期末）已知直线，则“”是“直线过第一､二象限”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【考点3：两点式方程】 1．（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程 . 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 4．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 5．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【考点4：截距式方程】 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 3．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 4．（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 5．（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【考点5：一般式方程】 1．（24-25高二上·河北邢台·期末）直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 1．（24-25高二上·上海静安·期末）过点且与向量平行的直线的方程为 ． 2．（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一下·全国·专题练习）将直线l：y=2x按向量平移得到直线l′，则l′的方程为 A．y=2x–3 B．y=2x+3 C．y=2（x–3） D．y=2（x+3） 4．（24-25高二上·广东佛山·期末）与向量平行，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·二模）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，且向量是直线l的一个方向向量，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【考点7：直线过定点问题】 1．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 3．（24-25高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 4．（2025·浙江温州·二模）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 5．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 6．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 1．（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 6．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于BC的直线的一般方程； (2)求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 7．（24-25高二上·河南安阳·阶段练习）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 4．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 5．（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 6．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为． (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距． 7．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 8．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【考点11：直线方程的实际应用】 1．（24-25高二·全国·课后作业）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 min． 2．（2025高三·全国·专题练习）设光线从点出发，经过轴反射后经过点，则光线与轴的交点为 ，若该入射光线经轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为 . 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 4．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽宣城·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$