21.3 实际问题与一元二次方程 暑期预习讲义-2025-2026学年九年级上册数学人教版

21.3 实际问题与一元二次方程 暑期预习讲义 知识点梳理 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题，找出题目中的关键信息和等量关系。 2.设未知数：根据题目要求，合理设出未知数。通常可直接设所求的量为未知数，也可间接设与所求量相关的其他量为未知数。 3.列方程：根据找出的等量关系，将已知数和未知数代入，列出一元二次方程。 4.解方程：运用合适的方法求解所列出的一元二次方程，如因式分解法、配方法、公式法等。 5.检验： （1）检验所求得的解是否是原方程的解，将解代入原方程，看等式两边是否相等。 （2）检验解是否符合实际问题的情境，例如在涉及人数、物品数量等实际情况时，解必须是正整数；在涉及长度、面积等物理量时，解不能为负数等不符合实际意义的值。 6.答：根据检验后的结果，写出符合题意的答案，回答题目所提出的问题。 二、常见的实际问题类型及对应的等量关系 （一）传播问题 1.传播模型： （1）若某种传染病，开始有一人患病，每轮平均一个病人能传染给个人。 （2）那么经过一轮传染后，共有人患病；经过两轮传染后，共有人患病；经过轮传染后，共有人患病。 2.等量关系：通常根据经过若干轮传染后患病的总人数来列方程。 （二）增长率问题 1.增长率公式： （1）设基数为，平均增长率为，增长次数为，则增长后的量。 （2）同理，若为降低率问题，设平均降低率为，则降低后的量。 2.等量关系：根据增长（或降低）前后的数量关系来列方程，比如已知原来的数量、增长率（或降低率）以及增长（或降低）后的数量，就可以利用上述公式列出方程。 （三）面积问题 1.常见图形及面积公式： （1）矩形：面积 = 长×宽。 （2）正方形：面积 = 边长×边长。 （3）三角形：面积 = 底×高。 （4）圆：面积 = （为半径）等。 2.等量关系： （1）例如，在矩形场地中，已知原来的长和宽，对其进行扩建或改造，使面积发生变化，就可以根据变化前后的面积关系来列方程。一般是用改造后的面积表达式等于已知的变化后面积值来建立方程。 （2）又如，在一个圆形花坛周围铺一条环形小路，已知花坛半径和小路宽，可根据大圆（花坛和小路组成）面积减去花坛面积等于小路面积来列方程。 （四）利润问题 1.相关公式： （1）利润 = 售价 - 进价。 （2）总利润 = 每件利润×销售量。 2.等量关系：例如，已知进价、售价以及销售量与售价之间的某种关系（如售价每提高多少元，销售量就减少多少件），就可以根据总利润的计算公式来列方程。通常是先表示出每件利润和销售量关于售价的表达式，然后代入总利润公式列出方程。 三、易错点提示 （一）审题方面 1.对题目中的关键信息理解不准确，导致找不出正确的等量关系。比如在利润问题中，没有正确理解销售量与售价之间的变化关系，就无法准确列出方程。 2.忽略题目中的限制条件，如在实际问题中，人数、物品数量等通常应为正整数，面积、长度等不能为负数，但在解题过程中可能会得出不符合这些条件的解，如果不加以检验和排除，就会得出错误答案。 （二）设未知数方面 1.设未知数不合理，使得后续列方程和求解过程变得复杂。例如，在有些问题中，间接设未知数可能会更便于列出方程，但却直接设了所求量为未知数，导致方程复杂难列。 2.没有明确说明所设未知数代表的含义，在解题过程中容易自己混淆，也不利于他人理解解题思路。 （三）列方程方面 1.等量关系找错，这是最常见的错误之一。比如在面积问题中，把应该是长方形的长乘宽的面积关系，错误地写成了长加宽等其他错误的表达式来列方程。 2.列方程时，对一些数学术语和概念的运用不准确。例如，在增长率问题中，没有正确区分增长率和增长后的量这两个概念，导致方程列错。 （四）解方程方面 1.解方程方法选择不当，导致解题过程繁琐甚至无法求解。比如，有些方程本可以用因式分解法简便求解，但却选用了配方法或公式法，增加了计算量和出错的可能性。 2.在解方程过程中，计算错误。尤其是在运用公式法求解时，对于一元二次方程的求根公式，可能会在代入数值计算时出现符号错误、运算顺序错误等。 （五）检验方面 1.只检验了所求得的解是否是原方程的解，而忽略了检验解是否符合实际问题的情境。如在人数问题中，得到的解为小数或负数，没有及时排除，就直接作为答案。 2.对实际问题情境的检验不全面，比如在利润问题中，除了要检验销售量不能为负数外，还可能要考虑市场实际情况，如售价不能过高导致销售量为零等，但往往容易忽略这些更细致的实际情况检验。 巩固练习 一、选择题 1．两个连续正整数的积等于12，其中较小的一个正整数是x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 3．某商店销售美味的靖远羊肉，去年第二季度的总利润达13902元，4月的利润为4200元．设该商店5，6月销售羊肉利润的月平均增长率为，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 4．在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多卖6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（　　） A．7 B． C．9 D． 7．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A． B． C． D． 8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为　 　． 10．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位数字比十位数字大2，则这个两位数是　 　． 11．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从年到年茶叶产量从增长到，则茶叶产量从年到年平均每年增长率为　 　． 12．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干、小分支的总个数是73，则每个支干长出　 　个小分支． 三、解答题 13．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． （1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） （2）下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 14．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆256人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆达到576人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由. 15．如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 16．2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元． （1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ （3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由． 参考答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9． x（x﹣1）=2×5 10． 11． 12．8 13．（1）解：由题意知，规定用电x度，可得用电90度超过了规定度数（90－x）度， 因为超过部分按每度元交电费，所以超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶由题意知，2月份用电量超过x度，依题意得x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0．解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， 所以电厂规定的x≥45，所以x1＝30不合题意，舍去． 所以x＝50．答：电厂规定的x度为50度． 14．（1）解：设进馆人次的月平均增长率是，依题意， 得∶， 解得∶，(不合题意，舍去)． 答∶进馆人次的月平均增长率是． （2）解：能，理由如下∶ 能够接纳． 答∶校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 15．（1）；； （2）解：由题意得矩形花园的面积为，当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； （3）解：嘉嘉的说法不正确；理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 16．（1）36 （2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2100元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元； （3）店主不能获得每天2200元的利润．，理由如下： 设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2200元， 由题意得：， 整理得：， ， 此方程无实数根， 店主不能获得每天2200元的利润． 学科网（北京）股份有限公司 $$