22.1 二次函数的图象和性质 暑期预习讲义-2025-2026学年九年级上册数学人教版

22.1 二次函数的图象和性质 【暑期预习讲义】 思维导图 知识导航 一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项。 2.注意事项： （1）强调，若，函数就变成了一次函数。 （2）二次函数的表达式是整式形式，自变量的最高次数是2。 二、二次函数的图象 1.二次函数（）的图象 （1）形状：是一条抛物线。 （2）对称轴：轴（即直线）。 （3）顶点坐标：。 （4）当时：抛物线开口向上，在对称轴左侧（即时），随的增大而减小；在对称轴右侧（即时），随的增大而增大；函数有最小值，当时，。 （5）当时：抛物线开口向下，在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小；函数有最大值，当时，。 2.二次函数（）的图象 （1）对称轴：直线。 （2）顶点坐标：通过将代入函数解析式求出对应的值，可得顶点坐标为。 （3）图象的平移规律：二次函数图象的平移，实质上是它的顶点位置的移动（点的移动规律）。可以先将二次函数解析式化为顶点式（，其中为顶点坐标），然后按照“左加右减，上加下减”的规律来平移。例如，将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为。 三、二次函数的性质 1.开口方向：由二次项系数决定。 （1）当时，开口向上； （2）当时，开口向下。 2.对称轴：直线，它将二次函数的图象分成左右两部分，这两部分关于对称轴对称。 3.顶点坐标：，顶点是二次函数图象的最高点（时）或最低点（时）。 4.增减性： （1）当时，在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。 （2）当时，在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小。 5.最值： （1）当时，函数有最小值，，此时。 （2）当时，函数有最大值，，此时。 易错点提示 1.二次函数的定义： （1）易错点在于忽略这个条件，在判断一个函数是否为二次函数时，一定要先检查二次项系数是否不为零。 （2）例如：函数，若它是二次函数，则需满足，即。 2.对称轴公式的运用： （1）要牢记对称轴公式，容易出错的地方是符号问题，特别是在一次项系数为负数时，计算时要格外小心。 （2）比如对于函数，对称轴是，有的同学可能会错误地计算成。 3.顶点坐标的计算： （1）首先要准确代入对称轴的值到函数解析式中求顶点的纵坐标。在计算过程中，涉及到较多的运算，要注意运算顺序和符号，避免计算错误。 （2）例如：求函数的顶点坐标，先算对称轴，再代入求纵坐标，顶点坐标为，在这些计算步骤中都要仔细，防止出错。 4.图象的平移： （1）要严格按照“左加右减，上加下减”的规律进行操作，并且是针对自变量和函数值进行相应的加减。容易出现的错误是记错规律或者只对一部分进行了错误的操作。 （2）比如将函数向右平移3个单位，应得到，而不是（这是错误的理解了规律，只对函数值进行了减法操作）。 5.增减性的判断： （1）一定要先确定对称轴的位置，然后根据的正负以及自变量与对称轴的关系来准确判断函数的增减性。容易出现的错误是不考虑对称轴，直接根据的正负就判断增减性，或者在判断自变量与对称轴的关系时出现错误。 （2）例如：对于函数，对称轴是，当判断时函数的增减性，要结合，得出在时，随的增大而减小，不能只看就说在整个实数范围内随的增大而减小。 巩固练习 一、选择题 1．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．生产100吨钢材，工作效率和工作时间之间的关系 B．当速度为时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长与宽之间的关系 D．圆的面积与半径之间的关系 2．下列函数中是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 5．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线的对称轴为（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（　　） A．25 B．－5 C．5 D．10 8．若二次函数 的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（　　） A． B． C． D． 9．二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．二次函数的图像开口向　 　(填“上”或“下”) 11．将二次函数 化为 的形式，则 　 　． 12．如果是二次函数，则的值为　 　． 13．如果一条抛物线经过平移后能与抛物线重合，且顶点坐标为，则它的解析式为　 　． 14．已知关于的二次函数，当时，的取值范围为　 　 15．若二次函数 的图象过 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是　 　． 三、解答题 16．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 17．已知二次函数，其图象过点． （1）求此二次函数的解析式，并写出顶点的坐标． （2）设此二次函数与轴交于，两点，直接写出的面积． 18．已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（-3，9），对称轴为直线. （1）求二次函数的表达式； （2）若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值. （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围. 参考答案 1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．下 11． 12．​​​​​​​ 13． 14． 15． 16．（1）解：由 是二次函数，且当 时，y随x的增大而增大，得 ， 解得： 或 （舍去）； 二次函数的解析式为 ， 如图所示： （2）解：点 是此二次函数的图象上一点， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时，n取最大值， ， ∴当 时， ． 17．（1）解：由题意得：， 解得：， 此二次函数的解析式为：，顶点 （2）解：当时，， 解得：，， ，； 的面积为：． 18．（1）解：∵二次函数 (b，c为常数) 的图象经过点 对称轴为直线 解得，， ∴二次函数的表达式为 （2）解：点B(1，6)向左平移 个单位长度，向上平移 )个单位长度后所得的点坐标为即 把 代入 得： 解得 或 (舍去)， ∴m的值为5； （3）解：， ∴抛物线 经过点( 顶点为 对称轴为直线 ∴点 )关于对称轴的对称点坐标为(2，9)， 且当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为6.25， 学科网（北京）股份有限公司 $$