1.1.1 空间向量及其线性运算【4个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【1.1.1空间向量及其线性运算】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．平面向量的相等与共线 【知识点的认识】 相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量． 共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任一向量平行． 注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移． 【解题方法点拨】 平行向量与相等向量的关系： （1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行； （2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等． （3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量． （4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量． 2．空间向量的概念及属性 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 3．空间向量的加减运算 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 4．空间向量的数乘及线性运算 【知识点的认识】 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 5．空间向量的共线与共面 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/10 21:55:11；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．空间向量的概念及属性（共6小题） 1．下列命题是真命题的是（　　） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 2．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．下列命题中为真命题的是（　　） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相反的向量是（　　） A． B． C． D． （多选）5．下列说法，错误的为（　　） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是A与C重合，B与D重合 （多选）6．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 二．空间向量的加减运算（共6小题） 7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简（　　） A． B． C． D． 9．已知在四面体ABCD中，点M是棱BC上一点，且BM＝3MC，点N是棱AD的中点，若xyz其中x，y，z为实数，则x+y+z的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．2 10．如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是（　　） A． B． C． D． 12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列关于的表达中错误的一个是（　　） A． B． C． D． 三．空间向量的数乘及线性运算（共6小题） 13．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 14．如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　） A． B． C． D． 15．如图，在边长为2的正四面体P﹣ABC中，N是△ABC的中心，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 16．在四面体O﹣ABC中，，，，，N是线段BC上靠近B点的三等分点，且，则λ＝（　　） A．1 B． C．3 D． 17．如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（　　） A． B． C． D． 18．如图，在四面体A﹣BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（　　） A． B． C． D． 四．空间向量的共线与共面（共6小题） 19．已知空间向量，，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　） A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D 20．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则t＝（　　） A．1 B． C． D． 21．已知空间中有5个点E、A、B、C、D，若满足，且A、B、C、D四点共面，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 22．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA的中点，点F满足，点Q满足，若B、E、F、Q四点共面，则λ＝（　　） A． B． C． D． 23．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则m为（　　） A． B． C． D． 24．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点，，，D，E，F，G四点共面，则λ＝（　　） A．1 B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【1.1.1空间向量及其线性运算】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．平面向量的相等与共线 【知识点的认识】 相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量． 共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任一向量平行． 注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移． 【解题方法点拨】 平行向量与相等向量的关系： （1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行； （2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等． （3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量． （4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量． 2．空间向量的概念及属性 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 3．空间向量的加减运算 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 4．空间向量的数乘及线性运算 【知识点的认识】 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 5．空间向量的共线与共面 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/10 21:55:11；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．空间向量的概念及属性（共6小题） 1．下列命题是真命题的是（　　） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【考点】空间向量的概念及属性．版权所有 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可． 【解答】解：对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与是相反向量，由定义可知它们的长度是相等的，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查空间向量的相关概念的应用，属于基础题． 2．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】空间向量的概念及属性．版权所有 【分析】直接利用向量的相关概念求出结果． 【解答】解：对于①零向量的方向是任意的；正确 ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；错误； ③若空间向量，满足，则，错误； ④空间中任意两个单位向量必相等，应该为模相等，错误． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：向量的相关概念，主要考查学生对基础知识点的理解，属于基础题． 3．下列命题中为真命题的是（　　） A．向量与的长度相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【考点】空间向量的概念及属性．版权所有 【分析】直接利用向量的定义，向量的模，向量和有向线段的关系判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：对于A：向量与的长度相等，方向相反，故A正确； 对于B：空间向量可以用有向线段表示，但是不是有向线段，故B错误； 对于C：若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误； 对于D：对于不相等的两个空间向量，它的模不一定不相等，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查的知识要点：向量的定义，向量的模，向量和有向线段的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相反的向量是（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的概念及属性．版权所有 【分析】直接利用相反向量的定义求出结果． 【解答】解：如图所示： 与相反的向量为． 故选：A． 【点评】本题考查的知识要点：相反向量，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． （多选）5．下列说法，错误的为（　　） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是A与C重合，B与D重合 【考点】空间向量的概念及属性．版权所有 【分析】利用向量与有向线段的区别判断出A、D两项的正误，根据向量的定义与性质判断出B项的正误，利用相反向量的定义判断出C项的正误，从而可得本题答案． 【解答】解：向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不一定相同， 表示它们的有向线段也不一定起点相同且终点也相同，故A、D两项错误； 两个向量的模长可比大小，但是两个向量本身不可以比较大小，故B项错误； 根据相反向量的定义，可知：若两个非零向量与满足，则为相反向量，故C项正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查向量的定义与基本概念，考查概念的理解能力，属于基础题． （多选）6．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的概念及属性．版权所有 【分析】直接利用相等向量的定义求出结果． 【解答】解：根据相等向量的定义与相等的向量有． 故选：BD． 【点评】本题考查的知识点：相等向量的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题． 二．空间向量的加减运算（共6小题） 7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的加减运算．版权所有 【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可． 【解答】解：由已知得． 故选：C． 【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，相等向量的定义，是基础题． 8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的加减运算．版权所有 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算，即可得出结论． 【解答】解：如图所示， 平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， （）． 故选：A． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目． 9．已知在四面体ABCD中，点M是棱BC上一点，且BM＝3MC，点N是棱AD的中点，若xyz其中x，y，z为实数，则x+y+z的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【考点】空间向量的加减运算．版权所有 【分析】根据空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，数形结合，先用向量 ，，表示出向量 ，再对比已知条件xyz，分别求出x，y，z的值，然后就可以得到x+y+z的值． 【解答】解：因为BM＝3MC，点N是棱AD的中点； ∴，；∵； ∴（）；① ∵xyz ②； ∴x，y，z； ∴x+y+z． 故选：B． 【点评】本题考查了空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，考查了推理能力与计算能力、数形结合，属于基础题 10．如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的加减运算．版权所有 【分析】根据向量的加法，减法法则化简计算即可． 【解答】解：E是棱AB上一点，且AEAB，F是棱CD的中点， ，， ． 故选：D． 【点评】本题考查向量的表示，属于基础题． 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的加减运算．版权所有 【分析】根据平面向量的线性运算结合正方体的结构特征逐一判断即可． 【解答】解：由向量加法的三角形及多边形法则可知， 对于A，， 对于B，， 对于C，因为， 则， 对于D，． 故选：A． 【点评】本题主要考查向量的加减法法则，考查数形结合的能力，属于基础题． 12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列关于的表达中错误的一个是（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的加减运算．版权所有 【分析】根据向量的加法运算和相等向量即可找到正确选项． 【解答】解：根据向量的线性运算，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 有，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：C． 【点评】考查向量的加法运算和向量相等，属基础题． 三．空间向量的数乘及线性运算（共6小题） 13．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的数乘及线性运算．版权所有 【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【解答】解：因为空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点， 所以 ． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 14．如图，空间四边形OABC中，，点M为BC中点，点N在侧棱OA上，且ON＝2NA，则（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的数乘及线性运算．版权所有 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 15．如图，在边长为2的正四面体P﹣ABC中，N是△ABC的中心，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的数乘及线性运算．版权所有 【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确． 【解答】解：在边长为2的正四面体P﹣ABC中，N是△ABC的中心， 设基底为，由于四面体P﹣ABC为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为． 对于A：，∴，故A错误； 对于B：，∴，故B错误； 对于C、D：延长CN交AB于M，易得M为AB的中点，由于N是△ABC的中心，如下图所示： 可得． 又，故C错误． ， ，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 16．在四面体O﹣ABC中，，，，，N是线段BC上靠近B点的三等分点，且，则λ＝（　　） A．1 B． C．3 D． 【考点】空间向量的数乘及线性运算．版权所有 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量的线性运算法则，求解即可． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示： 因为，N是线段BC上靠近B点的三等分点， 所以， 又，所以λ＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题． 17．如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的数乘及线性运算．版权所有 【分析】根据条件可得出，然后根据向量减法的几何意义即可得解． 【解答】解：，∴， ∵E是BC的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，是基础题． 18．如图，在四面体A﹣BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的数乘及线性运算．版权所有 【分析】连接EC，ED，利用空间向量运算的几何表示求解． 【解答】解：连接EC，ED，如图所示， （）（）（）． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 四．空间向量的共线与共面（共6小题） 19．已知空间向量，，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　） A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D 【考点】空间向量的共线与共面；平面向量的相等与共线．版权所有 【分析】根据已知条件，结合向量的加法，以及向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：∵56，72， ∴， ∵2， ∴，即A，B，D共线． 故选：C． 【点评】本题主要考查向量的加法，以及向量共线的性质，属于基础题． 20．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则t＝（　　） A．1 B． C． D． 【考点】空间向量的共线与共面．版权所有 【分析】由A，B，C，P四点共面的充要条件得到，用向量的差整理成与O共起点的向量表示式，结合已知由空间向量的基本定理列出方程组，解出t即可． 【解答】解：若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对（x，y），使， 所以，整理得：， 又由题知，由空间向量的基本定理知： ，解得，所以． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 21．已知空间中有5个点E、A、B、C、D，若满足，且A、B、C、D四点共面，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的共线与共面．版权所有 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求λ的值． 【解答】解：根据题意可知，， ， 得， 即， 根据空间向量共面定理的推论，，解得． 故选：B． 【点评】本题考查了空间共面向量定理的推论，属于基础题． 22．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA的中点，点F满足，点Q满足，若B、E、F、Q四点共面，则λ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的共线与共面．版权所有 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于k、m、n的方程组，解出k的值，即可得出λ的值． 【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E为PA的中点，点F满足，点Q满足， 如下图所示： 因为B、E、F、Q四点共面，且、不共线， 则存在m、n∈R，使得， 即， 所以， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 23．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则m为（　　） A． B． C． D． 【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底．版权所有 【分析】以为基底，表示向量，由x+y+z＝1可求m的值． 【解答】解：因为． 由G，B，P，D四点共面，所以， 整理得：． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，共面向量的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 24．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点，，，D，E，F，G四点共面，则λ＝（　　） A．1 B． C． D． 【考点】空间向量的共线与共面；空间向量基本定理及空间向量的基底．版权所有 【分析】由题意可得，，，再由D，E，F，G四点共面，可得xyz，且x+y+z＝1，由此求得入的值． 【解答】解：由题意可得，因为D，E，F，G四点共面，设，且x+y+z＝1， 即， 所以， 因为A，B，C，D四点不共面，所以x＝0，，， 所以，所以． 故选：C． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$