分类、分步计数原理- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第128卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第128卷，主要考查概率与统计章节中分类、分步计数原理的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第128卷 分类、分步计数原理 学生练习卷 考试时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（　　） A．种 B．种 C．3种 D．种 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可解得. 【详解】每一封信为一步，每一封信有三种投法， 故有种. 故选：B 2．用四个数字可组成没有重复数字的三位数共有（    ） A．64个 B．48个 C．24个 D．18个 【答案】D 【分析】用分步计数方法分别对百位、十位、个位取值即可. 【详解】三位数由个位、十位、百位构成，可分别从 中取数到百位、十位、个位上： 第一步：取百位数，不能取0，有3种取法； 第二步：取十位数，有3种取法； 第三步：取个位数，有2种取法； 故三位数共有个. 故选：D. 3．如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分步计数原理即可得解. 【详解】从处到处有条最短路径， 从处到处有3条最短路径， 由分步计数原理可得共有条最短路径. 故选：B. 4．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】对个位分类讨论进行分步计数原理易得答案. 【详解】因为0，1，2，3，4中有个偶数，个奇数， 从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数， 当个位为，偶数的个数有种， 当个位不为，偶数的个数有种， 所以偶数的个数有种. 故选：C. 5．设椭圆的焦点在轴上，其中，，则满足上述条件的椭圆个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，得出，再分别列出所有可能，即可解答. 【详解】已知椭圆的焦点在轴上， 则，且，， 当时，，有6个， 当时，，有5个， 当时，，有4个， 当时，，有3个， 当时，，有2个， 由分类加法计数原理得（个）. 故选：A. 6．已知从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有4条，则从A地经B地后，再到C地的不同路线有（   ） A．2条 B．6条 C．8条 D．16条 【答案】C 【分析】完成“从A地经B地后，再到C地”这件事分为两步，先从A地到B地，再从B地到C地，根据分步计数原理即可求解. 【详解】由分步计数原理（乘法原理）可知（条）． 故选：C． 7．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（ ） A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题意百位数字为2或3，十位数字有3种选法，个位数字有2种选法，根据分步计数原理即可求解. 【详解】由题意可知，百位上的数字为2或3， 十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字， 个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个， 故比200大的3位数的个数为， 故选：B. 8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（   ） A．30种 B．50种 C．60种 D．90种 【答案】B 【分析】根据题意，按甲的选择不同分2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分两种情况： ①若甲同学选择牛，则乙有2种选择，丙有10种选择，选法有种； ②若甲同学选择马，则乙有3种选择，丙有10种选择，选法有种， 所以共有种选法． 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．一学习小组有4名男生，3名女生，任选1名学生当数学课代表，共有 种不同选法；若选男女生各1名当组长，共有 种不同选法． 【答案】 7 12 【分析】分别由分类加法计数原理与分步乘法计数原理即可得解. 【详解】任选1名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法． 根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法． 若选男女生各1名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法． 故答案为：7，12. 10．书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4本不同的语文书. （1）从书架上任取1本书，不同的取法种数为 ； （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同的取法种数为 . 【答案】 9 24 【分析】（1）利用分类计数原理作答；（2）利用分步计数原理作答. 【详解】在第1层、第2层，第3层三类取书位置中任选一类，都可以完成这件事（从书架上任取1本书），符合分类计数原理. 第1类：从第1层2本不同的数学书中任取1本书，有2种取法； 第2类：从第2层3本不同的计算机书中任取1本书，有3种取法； 第3类：从第3层4本不同的语文书中任取1本书，有4种取法. 根据分类计数原理，不同的取法共有（种）. （2）解决这个问题可以分成3个步骤，第1步从第1层取1本书，第2步从第2层取1本书，第3步从第3层取1本书.符合分步计数原理. 第1步：从第1层2本不同的数学书中取l本书，有2种取法； 第2步：从第2层3本不同的计算机书中取1本书，有3种取法； 第3步：从第3层4本不同的语文书中取1本书，有4种取法. 根据分步计数原理，不同的取法共有（种）. 故答案为：9 ， 24. 11．已知集合，，从集合S，P中各取一个元素作为点的坐标，在直角坐标系中表示不同点的个数为 . 【答案】29 【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，S集合中选出一个数字共有3种选法，P集合中选出一个数字共有5种结果，取出的两个数字可以作为横标和纵标，因此要乘以2，去掉重复的数字，得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从S集合中选出一个数字共有3种选法， 再从P集合中选出一个数字共有5种结果， 取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标， ∴ 共有， 其中重复了一次．去掉重复的数字有种结果， 故答案为：29 12．乘积展开后，共有 项； 【答案】 【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式，根据多项式乘法法则可得，要得到式子的结果，需要在每个括号中选一个进行乘法运算，分别分析每个括号中的取法数目，相乘得结果. 【详解】根据多项式的乘法法则， 展开后每一项都必须是在 两式中任取一项后相乘，得到的式子， 而在中有种取法， 在中有种取法， 由乘法原理，可得共有：种情况. 故原式展开后有项， 故答案为： 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 已知，且，则有序自然数对有多少个? 【答案】15 【分析】按照分类计数原理求解即可. 【详解】按x的取值进行分类. 当时，，共构成5个有序自然数对； 当时，，共构成4个有序自然数对； 当时，，共构成3个有序自然数对； 当时，，共构成2个有序自然数对； 当时，，共构成1个有序自然数对. 根据分类计数原理，有序自然数对共有（个）. 14．（本小题满分14分） 男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法. （1）任选人 （2）男运动员名,女运动员名 （3）至少有名女运动员 （4）队长至少有一人参加 （5）既要有队长,又要有女运动员 【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191 【分析】（1）男运动员名,女运动员名,共名,任选5人的选法为:,即可求得任选5人的选法; （2）本题是一个分步计数问题,首先选名男运动员,有种选法.再选名女运动员,有种选法.利用乘法原理,即可求得答案; （3）至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男.分别写出这几种结果,利用分类加法原理,即可求得答案; （4）只有男队长为种选法,只有女队长为种选法,男、女队长都入选为种选法,把所有的结果数相加,即可求得答案; （5）当有女队长,其他人选法任意,共有种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法.其中选男队长,不含女运动员种选法,即可求得答案. 【详解】（1） 男运动员名,女运动员名,共名 任选人的选法为: 任选人,共有种选法. （2） 选派男运动员名,女运动员名. 首先选名男运动员,有种选法,再选名女运动员,有种选法 根据分步计数乘法原理 选派男运动员名,女运动员名,共有种选法. （3） 至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男. 由分类加法计数原理可得有:. 至少有名女运动员有种选法. （4） 只有男队长的选法为选法,只有女队长的选法为选法 又 男、女队长都入选的选法为选法. 共有种选法. 队长至少有一人参加有:种选法. （5） 当有女队长,其他人选法任意,共有种选法, 不选女队长时,必选男队长,共有种选法, 选男队长且不含女运动员有种选法. 不选女队长时共有种选法. 既有队长又有女运动员共有:种选法. 15．（本小题满分14分） 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 【答案】(1)24（种） (2)21（种） 【分析】（1）先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元，再确定人与乘坐站数，即可得结果； （2）先根据共付费8元得一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元，再求甲比乙先下地铁的方案数. 【详解】（1）由已知可得：甲､乙两人共付费6元，则甲､乙一人付费2元一人付费4元， 又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选， 所以甲､乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）. （2）甲､乙两人共付费8元，则甲､乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元； 当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案； 当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案； 若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案； 若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案； 综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第128卷，主要考查概率与统计章节中分类、分步计数原理的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第128卷 分类、分步计数原理 学生练习卷 考试时间：60分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（　　） A．种 B．种 C．3种 D．种 2．用四个数字可组成没有重复数字的三位数共有（    ） A．64个 B．48个 C．24个 D．18个 3．如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ） A． B． C． D． 4．从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．设椭圆的焦点在轴上，其中，，则满足上述条件的椭圆个数为（   ） A． B． C． D． 6．已知从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有4条，则从A地经B地后，再到C地的不同路线有（   ） A．2条 B．6条 C．8条 D．16条 7．用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（ ） A．24个 B．12个 C．18个 D．6个 8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（   ） A．30种 B．50种 C．60种 D．90种 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．一学习小组有4名男生，3名女生，任选1名学生当数学课代表，共有 种不同选法；若选男女生各1名当组长，共有 种不同选法． 10．书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4本不同的语文书. （1）从书架上任取1本书，不同的取法种数为 ； （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同的取法种数为 . 11．已知集合，，从集合S，P中各取一个元素作为点的坐标，在直角坐标系中表示不同点的个数为 . 12．乘积展开后，共有 项； 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 已知，且，则有序自然数对有多少个? 14．（本小题满分14分） 男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法. （1）任选人 （2）男运动员名,女运动员名 （3）至少有名女运动员 （4）队长至少有一人参加 （5）既要有队长,又要有女运动员 15．（本小题满分14分） 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$