立体几何- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第125卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第125卷，主要考查立体几何章节的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第125卷 立体几何 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 2．杜登尼（Dudeney，1857—1930）是19世纪英国知名的谜题创作者，“蜘蛛和苍蝇”系列问题最早出现在1903年的英国报纸上.如图，是一个长方形的纸盒，已知厘米，厘米，厘米，在A处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛去抓苍蝇，沿着纸盒的表面爬行的最短距离为（    ） A．14厘米 B．12厘米 C．10厘米 D．8厘米 3．把半径分别为，，的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为（  ） A． B． C． D． 4．正方体的棱长为2，下列结论错误的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B．直线与的夹角为 C．直线与的夹角为 D． 5．圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积为（　　） A． B． C．或 D． 6．已知矩形ABCD，，把这个矩形分别以AB、BC所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为、，则与的比值等于（      ） A． B．1 C．2 D．4 7．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知长方体中与平面AC所成的角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知为平面，若，则与的位置关系为 ． 10．若正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则此正四棱柱的体积等于 ． 11．一个圆柱的底面直径和高与一个球的直径相等，若圆柱的体积为，球的体积为，则 . 12．已知二面角，若平面内一点A到平面的距离为2，到棱的距离为4，则这个二面角大小为 ． 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，，． （1）证明：； （2）求A到平面PBD的距离． 14．（本小题满分14分） 如图，是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 为底面圆周上一点. （1）若弧的中点为，求证：平面； （2）如果面积是9，求此圆锥的表面积与体积. 15．（本小题满分14分） 在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小. (2)求证：平面平面. (3)若正方体的边长为2，求三棱锥的体积 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第125卷，主要考查立体几何章节的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第125卷 立体几何 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据直线与平面的垂直、平行的性质判断. 【详解】， ①若，则时，是的垂线，而，故，①正确； ②若，若不在内，则，是过的平面，则平行或相交，②错； ③当时，，令是的交线，，则l与m异面，③错误； ④当时，而，则，又，则，④正确． 故选：A. 2．杜登尼（Dudeney，1857—1930）是19世纪英国知名的谜题创作者，“蜘蛛和苍蝇”系列问题最早出现在1903年的英国报纸上.如图，是一个长方形的纸盒，已知厘米，厘米，厘米，在A处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛去抓苍蝇，沿着纸盒的表面爬行的最短距离为（    ） A．14厘米 B．12厘米 C．10厘米 D．8厘米 【答案】C 【分析】将图展开利用勾股定理即可求解最短距离. 【详解】第一种:将图沿展开，可得下图: 所以沿着纸盒的表面爬行的最短距离为， 因为厘米，厘米，厘米， 所以， 所以沿着纸盒的表面爬行的距离为. 第二种: 将图沿CB展开，可得下图: 所以沿着纸盒的表面爬行的最短距离为， 因为厘米，厘米，厘米， 所以， 所以沿着纸盒的表面爬行的距离为. 第三种: 将图沿展开，可得下图: 所以沿着纸盒的表面爬行的最短距离为， 因为厘米，厘米，厘米， 所以， 所以沿着纸盒的表面爬行的距离为， 因为， 所以沿着纸盒的表面爬行的最短距离为. 故选:C. 3．把半径分别为，，的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】大铁球的体积等于三个小球体积之和，结合球的体积公式可得. 【详解】由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和. 设大铁球的半径为，可得. 则，则. 故选：B． 4．正方体的棱长为2，下列结论错误的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B．直线与的夹角为 C．直线与的夹角为 D． 【答案】C 【分析】由直线与平面所成的角的定义分析A选项，由空间内直线与直线所成的角分析B、C选项，根据三棱锥的体积公式求解D选项即可. 【详解】对A：因为平面，所以是直线与平面所成的角， 由正方体的特征可知：，所以直线与平面所成的角为，故A项正确； 对B、C：因为直线与的夹角为，三角形为等边三角形， 所以，故B项正确，C项错误； 对D：，故D项正确. 故选：C. 5．圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由已知圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为，高为和圆柱的底面周长为，高为，两种情况进行讨论，最后根据圆柱的体积公式综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为,则底面半径,, 此时圆柱的体积; 若圆柱的底面周长为,则底面半径,, 此时圆柱的体积, 所以这个圆柱的体积为或. 故选:. 6．已知矩形ABCD，，把这个矩形分别以AB、BC所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为、，则与的比值等于（      ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据圆柱的侧面积公式分别求出与，再求比值得结果. 【详解】以AB所在直线为轴旋转一周所得到几何体的底面半径为BC，高为AB， 则侧面积为， 以BC所在直线为轴旋转一周所得到几何体的底面半径为AB，高为BC， 则侧面积为， 则. 故选：B. 7．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系的性质即可解得. 【详解】选项A：若，则两平面可能垂直或平行，错误. 选项B：，则两平面可能平行或相交，错误. 选项C：，则，错误. 选项D：，则，正确. 故选：D. 8．已知长方体中与平面AC所成的角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角求解即可. 【详解】长方体中 平面ABCD 与平面AC所成的角 在中，， ， ． 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知为平面，若，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】根据空间中面面之间的关系结合图形分析即可. 【详解】已知为平面，若， 则与的位置关系为相交或平行， 若，即与不相交， 则与的位置关系为平行， 故答案为：平行. 10．若正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则此正四棱柱的体积等于 ． 【答案】 【分析】根据正四棱柱的性质求出高，代入棱柱的体积公式即可得解. 【详解】正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则高为， 所以体积， 故答案为：. 11．一个圆柱的底面直径和高与一个球的直径相等，若圆柱的体积为，球的体积为，则 . 【答案】 【分析】设定圆柱的底面直径为x，则圆柱的高与球的直径均为x，再根据圆柱与球的体积公式计算出圆柱和球的体积，即可得到体积的比. 【详解】因为一个圆柱的底面直径和高与一个球的直径相等， 设圆柱的底面直径为x， 所以圆柱的体积为， 球的体积为， 所以. 故答案为：. 12．已知二面角，若平面内一点A到平面的距离为2，到棱的距离为4，则这个二面角大小为 ． 【答案】或 【分析】利用二面角的定义，构造直角三角形即可得解. 【详解】 过点作平面的垂线，垂足为，设过点作l的垂线，垂足为， 因为，，所以， 因为且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 则为二面角的平面角或其补角， 在中，，，， 又，所以或， 所以二面角的大小为或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，，． （1）证明：； （2）求A到平面PBD的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）先通过面面垂直和勾股定理的逆定理得到线线垂直，再得到线面垂直，从而得到线面垂直； （2）运用等体积法运算即可. 【详解】（1）由余弦定理得， ∴， 又平面PDC底面ABCD，平面PDC底面 过作 于，可得平面， 所以,又， 平面PDC， 且 ， ∴平面PDC， 又平面PDC，. （2）设A到平面PBD的距离为h 取DC中点Q，连结PQ, 是等边三角形，. 又平面底面ABCD，PDC底面ABCD ，平面PDC， 底面ABCD，且 由（1）知平面PDC，又平面PDC，. ∴，即 解得. 14．（本小题满分14分） 如图，是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 为底面圆周上一点. （1）若弧的中点为，求证：平面； （2）如果面积是9，求此圆锥的表面积与体积. 【答案】（1）详见解析；（2）， 【分析】（1）先证明，进而可得平面； （2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，因为圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，根据圆锥的表面积公式与体积公式即可算出． 【详解】（1） 证法1：设是弧的中点， 是的中点，又是的中点， ， 又平面平面 平面. 证法2：是底面圆的直径，， 弧的中点为， ，又共面， ， 又平面平面 平面. （2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为， 圆锥的轴截面为等腰直角三角形 由，得， . 体积 15．（本小题满分14分） 在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小. (2)求证：平面平面. (3)若正方体的边长为2，求三棱锥的体积 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行的传递性将与所成的角，转化为与所成的角，即可求； （2）利用线面垂直证面面垂直即可； （3）利用棱锥的体积公式可求 【详解】（1） 为正方体， 底面为正方形， ， 异面直线与所成的角与与所成的角相等， 为正方体，为正方形，，， 为等腰直角三角形， ， 异面直线与所成的角为； （2） 为正方体， 平面， ， 又四边形为正方形，对角线互相垂直平分， ， ，，平面，平面，， 平面， 平面， 平面平面； （3）正方体的边长为2， ， 平面， 平面， 为正方形， 为等腰直角三角形， ， 三棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$