排列与组合- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学考点双析卷》第129卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第129卷，主要考查概率与统计章节中排列与组合的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第129卷 排列与组合 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．从5名医师和3名护士中选出3人组成医疗小队，其中必须包括医生和护士，不同的选取方法有（    ）种． A． B． C． D． 3．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（    ） A．72 B．120 C．144 D．288 4．位同学排成一排照相,要求甲,乙两人必须站相邻的排法有（    ）种 A． B． C． D． 5．用1，2，3三个数组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一个数字不能相邻出现，则这样的四位数有（   ） A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 6．疫情期间，浙江省杭州市某医院从6名男医生、5名女医生中选2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组前往火神山医院，则不同的选法有（    ） A．60种 B．70种 C．150种 D．75种 7．如果10件产品中有2件次品，任意抽出3件至少有一件次品的不同抽法数为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是（    ） A．15 B．21 C．30 D．42 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种商品必须排在一起，丙、丁两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 种． 10．2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为 . 11．在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有 种. 12．若用十个数字能组成 个数字不重复的三位数. 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） （1）求值：； （2）解方程：. 14．（本小题满分14分） 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 15．（本小题满分14分） 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环，特别适用于第一轮高考复习教学。本套试卷共140份。 本卷是四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第129卷，主要考查概率与统计章节中排列与组合的掌握情况。 四川省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第129卷 排列与组合 教师讲解卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据排列组合的定义即可判断. 【详解】①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题； ②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题； ③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题； ④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题； ⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题， 综上，属于组合问题的有3个. 故选：B． 2．从5名医师和3名护士中选出3人组成医疗小队，其中必须包括医生和护士，不同的选取方法有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数的计算和分类加法计数原理以及分步乘法计数原理即可解得. 【详解】由题，从5名医师和3名护士中选出3人组成医疗小队可分为两类， 第一类：选名护士名医生，有种选法， 第二类：选名护士名医生，有种选法， 则共有种选法， 故选：D 3．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（    ） A．72 B．120 C．144 D．288 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理，结合排列组合的相关知识与间接法即可得解. 【详解】依题意，本题选出的节目分成三个情况： 一种都是歌舞类节目，则共有种排法； 一种有3个歌舞类节目1个语言类节目，则共有种排法； 一种有2个歌舞类节目2个语言类节目，这种情况要注意语言类节目不能相邻， 所以利用间接法，将总的排列情况减去2个语言类节目相邻的情况即可， 则共有种排法； 综上，一共有种排法. 故选：D. 4．位同学排成一排照相,要求甲,乙两人必须站相邻的排法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分步计数法及排列的应用即可得解. 【详解】甲乙相邻的排法有种. 再将另外位同学与甲乙排序有种. 所以共有种. 故选:. 5．用1，2，3三个数组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一个数字不能相邻出现，则这样的四位数有（   ） A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 【答案】C 【分析】根据分步计数法和组合的概念求解. 【详解】由题意知，1，2，3中必有一个数字使用两次，因此，完成这件事可分为三步： 第一步，确定使用两次的数字，有3种不同的方法； 第二步，排不相等的两个数，有种不同的方法； 第三步，把相同的两个数插入三个空中，有种不同的方法. 根据分步计数原理，完成这件事共有(种)方法，即可以组成18个这样的四位数； 故选：C. 6．疫情期间，浙江省杭州市某医院从6名男医生、5名女医生中选2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组前往火神山医院，则不同的选法有（    ） A．60种 B．70种 C．150种 D．75种 【答案】D 【分析】根据题意，分步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】从6名男医生中选2名男医生有种选法， 从5名女医生中选1名女医生有种选法， 所以一共有种选法. 故选：D. 7．如果10件产品中有2件次品，任意抽出3件至少有一件次品的不同抽法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽出3件至少有一件次品为1件次品2件合格品，2件次品1件合格品求解即可. 【详解】抽出3件至少有一件次品为1件次品2件合格品，2件次品1件合格品两种情况： 1件次品2件合格品的方法数为， 2件次品1件合格品的方法数为， 所以任意抽出3件至少有一件次品的不同抽法数为. 故选：C. 8．已知，则的值是（    ） A．15 B．21 C．30 D．42 【答案】A 【分析】利用组合数性质，求，再根据组合数公式求解即可. 【详解】根据组合数性质，因为，则． 所以， 可得. 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种商品必须排在一起，丙、丁两种商品不能排在一起，则不同的排法共有 种． 【答案】24 【分析】利用捆绑法与插空法求解. 【详解】甲、乙两种商品必须排在一起有种排法， 把甲、乙当作一种与剩下一种商品进行排列，有种排法，形成了3个空位， 再将丙、丁两种商品排在3个空位处，有种排法， 故不同的排法共有种． 故答案为：24． 10．2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为 . 【答案】 【分析】利用插空法先排3名学生，再将老师插入4个空位中即可. 【详解】采用插空法，先排3名学生有种， 3名学生形成4个空，再排2位教师有种， 所以，不同排法的种数为种. 故答案为：. 11．在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有 种. 【答案】 【分析】根据排列数和组合数的结合，即可求解. 【详解】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品， 前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能， 前3次测试中的顺序有种可能， 由分步计数原理即得共有种可能. 故答案为: . 12．若用十个数字能组成 个数字不重复的三位数. 【答案】648 【分析】利用特殊位置法百位不为0，然后利用排列数公式可求 【详解】由不重复的三位数可知，百位不为0； ； 故答案为：648. 三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13．（本小题满分12分） （1）求值：； （2）解方程：. 【答案】（1）   （2）7 【分析】（1）直接利用排列数公式 计算即可 （2）利用排列数公式列出关于的方程求解即可 【详解】（1）解：原式 （2）解：原方程可化为 即： 解得：或（舍去） 所以 14．（本小题满分14分） 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)161700 (2)9506 (3)9604 【分析】（1）根据组合数的计算即可求解. （2）根据组合数的计算即可求解. （3）根据组合数的计算结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数， 即种，所以有161700种不同的抽法. （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种， 从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则种. 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由（2）得，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种. 由分类加法计数原理得：种. 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 15．（本小题满分14分） 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） (4)（种） 【分析】（1）由题意可知，每个球有4种盒子的选择，计算即可； （2）由题意可知，该题为全排列问题，根据全排列公式计算即可； （3）根据题意，利用捆绑法，结合分步计数原理和排列数的计算，求解即可； （4）根据题意，结合分步计数原理和组合数的计算求解即可. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个， 所以将小球一个一个放入盒子，共有（种）放法． （2）由题意可知，该题为全排列问题，共有（种）放法． （3）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有（种）放法． （4）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序， 所以属于组合问题，故共有（种）放法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$