5 3.圆的面积-【随堂笔记】2025-2026学年六年级上册数学（人教版）

本书练习题参考答案 2.圆的周长 做-做 ②提素养 11.（1)3.14×4+4×2=20.56(cm) 1.2×3.14×3=18.84(cm) （2)3.14×10÷2+10+3.14×4÷2+4= 3.14×6=18.84(cm) 35.98(dm) 2×3.14×5=31.4(cm) 12.56.52÷3.14÷2=9(dm） 2.4.71÷3.14=1.5(m) 答：这个圆的半径是9dm 答：这个圆桌面的直径是1.5m。 13.(3.14×6+6×4)×2+15=100.68(cm) 举一反三 答：捆这4根钢管一共用了100.68cm的绳子。 (1)×(2)V(3)× 3.圆的面积 2做-做（例2】 举一反三 1.3.14×(1÷2)2=0.785(m2) 13.14×(12÷2)2÷2=56.52(m2) 答：它的面积是0.785m2 答：这个菜园的面积是56.52m2。 2.3.14×(50÷2)2-3.14×(10÷2)2= ②提素养 1884(m2) 11.内圆半径：18.84÷3.14÷2=3（m) 答：草坪的占地面积是1884m。 外圆半径：3+1=4(m)》 2做=做（例3】 3.14×(42-32)=21.98(m2)） 3.14×(24÷2)2=452.16(cm2) 答：石子路的占地面积是21.98m2。 24×(24÷2)÷2×2=288(cm) 2.80×(20×2)+3.14×20=4456(m2) 452.16-288=164.16(cm2) 答：操场的面积是4456m2。 答：外面的圆与内部的正方形之间部分的面积是 164.16cm2 4.扇形 举一反三 12.略 (1)V(2)V(3)× 3.3.14×32÷2=14.13(cm2) @提素养 1答：涂色部分的面积是14.13cm。 1.180°90°720 1595圆 3.圆的面积 课前·预习笔记 AI伴学 微误讲解 任务 笔记 重点的 知识点 圆的面积的意义及计算公式（教材第65页） (1)理解圆的面积的意义。图中圆形草坪所占地面的（大小）就是圆形 草坪的面积。圆的面积就是它所占的（平面）的大小。 (2)圆是曲线图形，不能直接用1cm2、1dm2、1m2为单位的正方形进 行测量，但是将圆形硬纸剪开后拼一拼，可以拼成近似的长方形，拼成图形的 面积和圆的面积相等。 拼成的图形近似于长方形，长方形的面积和圆的面积（相等），长方形的 长近似于圆的（周长的一半），长方形的宽近似于圆的（半径）。所以圆 的面积=号×7-2受×1=7X1=。 2 更点砂 学 知识点2圆的面积计算公式的应用（教材第66页例1） 新 已知圆形草坪的直径是（20)，每平方米草皮8元，求铺满这个草坪需要 知 多少元，需要求出圆的面积。知道圆的半径，可以直接运用公式(S=π)。 题中给出的是圆的直径，可以根据半径和直径的关系，先求出半径，再代入公式。 重点心 知识点3圆环的面积计算公式的应用（教材第66页例2】 用S圆环表示圆环面积，R表示外圆半径，r表示内圆半径，用字母表示圆 环的面积公式是S网环=πR-T2或S环=T（R2-2)。 难点@ 知识点④ 有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题的解法（教 材第67页例3) 在正方形内画一个最大的圆（外方内圆），圆的直径是正方形的边长，圆 的半径用r表示，则正方形与圆之间的部分的面积是（0.862)。 在圆内画一个最大的正方形（外圆内方），这个正方形的对角线的长等于 圆的直径，圆的半径用r表示，则正方形与圆之间的部分的面积是(1.142)。 圆的面积的意 圆环的面积计 理 义及计算公式 算公式的应用 思 圆的面积 有关“外方内圆” 圆的面积计算公式 的应用 和“外圆内方”的 实际问题的解法 101 随堂笔记·数学·六年级·上册·RJ 课堂·听课笔记 圆形草坪所占地面的大小就是圆 精批注 [对应教材P65-P68]形苹坪的占地面积。圆的面积大 小与半径的长短有关。 圆是曲线固形 无法直接测量 面积，可以转化 成学过的图形 推导出圆的面 这个圆形草坪的 积计算公式。 占地面积是多少 怎样计算一个圆 平方米呢？ 的面积呢？ 在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的 小纸片拼一拼，你能发现什么？ 提示·拼剪的过程中，图形 的形状发生了变化，但面积 转化 大小没有变化。 16V15 “无限逼近”，极限思想。 分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近于一个长方形。 (=r) 2 长方形的长近似于圆的周长的一半。 想一想：这个近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么关系？ 从上图中可以看出圆的半径是r,长方形的长近似于（圆周长的一半），宽近似于（半径）。 因为长方形的面积=（长）×（宽）， 决定圆的面积大小的因素是圆的 所以圆的面积=（πr)×(r)=(π）。 半径的长短。 如果用S表示圆的面积，那么圆的面积的计算公式就是： S=TP 102 5圆 1 圆形草坪的直径是20，每平方米草皮8元。铺满这个草坪需要多少元？ 20÷2=10(m) 3.14×102=314(m2)】 圆环是轴对称因形，对 314×8=2512（元) 称轴是通过圆心的直 线，它有无装条对称轴。 答：铺满这个草坪需要2512元。 2光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2cm, 外圆半径是 6cm。圆环的面积是多少？ 6cm 小丽这样算： 小明这样算： 圆环是由两个半径不 3.14×62-3.14×2 3.14×(62-22) 相等的同心圆国成的 =113.04-12.56 =3.14×32 环状图形，构成圆环 =100.48(cm2) =100.48(cm2)） 的两个圆的半径不相 等，圆心重合。 用外圆的而积藏去内圆的 面积就是圆环的面积。 答：圆环的面积是100.48cm2。 1.两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫作环形。 2.用尺表示外圆半径，用r表示内圆半径，用S际表示圆环面积，圆环的面积计算公式 是5环=πR2-T户或5魔体=T(R2-)。 做一做 先求半径，再求面积。 1.一个圆形桌面的直径是1m,它的面积是多少平方米？ 10m 2.一个圆形环岛的直径是50m,中间是一个直径为10m的圆形 花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？ 用外圆的面积减去内圆的面积就是草坪的占地面积。 50m ○你知道吗？◎ 刘徽是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算术》方田 章“圆田术”注中提出把“割圆术”作为计算圆的周长、面 积以及圆周率的基础。刘徽从圆内接正六边形开始，将边数 逐次加倍，得到的圆内接正多边形就逐步逼近圆，“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所 失矣”。 103 随堂笔记·数学·六年级·上册·RJ 3中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。下图中的两个圆半径都是1， 你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？ 外方内圆：正 外圆内方：国 方形内部有 内部有一个最 个最大的圆。 大的正方形。 阅读与理解《 知道了两个圆的半径是… 都是1m。 要解决的问题是… 求正方形和圆之间部分的面积。 分析与解答〈 5*色=S-S周 “外方内圆”中正方形的 边长与圆的直径长度相等。 正方形 的边长 先利用正方形的面积公 从图（1)可以看出： 就是圆 式求出正方形的面积 2×2=4(m2) 的直径。 再利用圆的面积公式求 3.14×12=3.14(m2) 出圆的面积：最后求出 4-3.14=0.86(m2) 正方形比圆多的面积。 图(1) 可是“外圆内方” 可以把“外圆内方”中的正 中正方形的边长 方形看成两个三角形，它们 是多少呢？ 的底和高分别是… 圆的直径是正方形的对角线 S色=S角5正 所以可以把正方形的面积转化 成两个完全相同的三角形的面 从图(2)可以看出： 积之和，圆的直径是三角形的 底，圆的半径是三角形的高。 (侵×2x1)×2=2(m) 因此涂色部分的面积=圆的面 积-正方形的面积（两个完全 3.14-2=1.14(m2) 相同的三角形的面积和）。 图(2) 104 5圆 回顾与反思〈 在圃内画一个最大的正方形（外 如果两个圆的半径都是，结果又是怎样的？ 圆内方)，这个正方形的对角线 图(1)：(2r)2-3.14×r2=0.862 的长等于圆的直径，圆的半径用 表示，则正方形与图之间的部分 图(2)：34×7-(}×2zxr)×2=114 的面积是1.14了。 当r=1m时，和前面的结果完全一致。 答：左图中正方形与圆之间部分的面积是0.86m2, 右图中圆与正方形之间部分的面积是1.14m2。 在正方形内画一个最大的圆（外方内圆），圆的直径是正方形的边长 圆的半径用「表示，则正方形与圆之间的部分的面积是O.86。 做一做 右图是一面我国唐代铜镜的背面。铜镜的直径是24cm。外面的圆 与内部的正方形之间部分的面积是多少？ 外圆内方。 ©生活中的数学© 如果你仔细观察就会发现：我们周围很多东西的平面轮廓都是圆形的，如车轮、马 路上的大多数井盖…这是为什么呢？ 车轮平面轮廓采用圆形，是利用同一圆的半径都相等的性质，把车轴装在车轮的圆 心上。当车轮在地面上滚动的时候，车轴离地面的距离总是等于车轮的半径，因此只要 道路平坦，车子就会平稳地在地面上行驶。试想一下，如果车轮是正方形的，为了保持 车辆的平稳行驶，道路应该是什么样子的呢？ 井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会 掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了同一圆的直径都相 等的性质。 105 随堂笔记·数学·六年级·上册·RJ 学方法 ©运用割补法解决求不规则图形的面积的问题 如下图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6cm,∠AOB=90°，涂色部分的面 积是多少平方厘米？ 计算不规则图形的面积时。可 以将图形中的一部分通过割补 转化成规则因形，从而求解。 思路分析：图中涂色部分的形状不规则，可以将涂色部分进行割补，使其转化成规则图形。 割 补 从图中可以看出涂色部分的面积为子國的面积减去三角形A0B的面积。 正确解答：314×6×}-6×6×号=10.26(cm) 答：涂色部分的面积是10.26cm2。 ●运用图示法解决求半个圆环的面积问题 王大妈家用篱笆依墙围了一个半圆形的小院，篱笆总长是15.7m。如果要扩建这个小院， 把它的直径增加4m,那么这个小院的面积增加了多少？ 思路分析： 1.画图分析 2.求内半圆和外半圆 3.求圆环面积的 的半径 半（增加的面积） 15.7m 圆环面积： 2m 2m 内车圆丰径：2品 外半圆半径：R=r+ S国环=π（R2-2) 如图，15.7m是内圆周长的一半， 圆环面积的一半： 环宽 即G=15.7m。直径增加4m,就是 S国环÷2 半径增加2m,即环宽是2m,求增 加的面积就是求圆环面积的一半。 (1)一个圆或半圆的直径增加 正确解答：原来半圆的半径：15.7×2÷3.14÷2=5(m) 几，半径只增加其中的一半： 增加后的半径：5+4÷2=7(m) (2)圆周长的一半就是C+2= 增加的面积：3.14×(72-52)÷2=37.68(m2)2m2T:（3)半圈环的 ”面积等于整圆环的面积除以2。 答：这个小院的面积增加了37.68m2。 106 5圆 课后·提升笔记 巧总结 @易错点：没有正确理解圆的面积的计算公式 选择：在边长是8cm的正方形里画一个最大的圆，圆的面积是()cm。 A.64π B.16m C.8π 易错解读：在正方形里画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，如图所示。 已知圆的直径求圆的面积，根据公式S=π 可以求出这个圆的面积，即S=π 16π(cm2)。所以本题的正确答案为B。 举一反三： 刘大爷靠墙围了一个半圆形的菜园，菜园的直径是12。这个菜园的面积是多少平方米？ 提示已知圆的直径求圆的面积，计算公式是S=π)尸 a 提素养 1.名校真题一个周长是18.84m的圆形喷水池，要在它的周围修一条1m宽的石子路。石子 路的占地面积是多少平方米？ 提示：石子路可以看成一个圆环。 2.学校操场的平面图如图所示，请你算出操场的面积。 提示：将操场分割成规则图形。 20m 80m 107