3 第4课时 循环小数-【随堂笔记】2025-2026学年五年级上册数学（人教版）

3小数除法 第4课时 循环小数 课前·预习笔记 AI伴学 微课讲解 任务 笔记 重点砂 知识点0 循环小数的意义（教材第33页例7、例8】 (1)已知王鹏跑400m用时75秒，求他平均每秒跑多少米，也就是求 速度，根据“速度=（路程）÷（时间）”可列式为400÷75。 列竖式计算。 5.333 75/400 375 250 不管是哪一位，只要余数重复出 225 现“(25)”， 商中就会重复出 ◆ 250 现“(3)”。在余数后添(0) 继续除，总也除不尽，小数的位 225 数是无限的 250 225 学新 25 正确解答：400÷75=5.333…(m) (2)28÷18=1.555 78.6÷11=7.14545… 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次 不断（重复）出现，这样的小数叫作（循环）小数。一个循环小数的小数部分， 依次不断（重复）出现的数字，就是这个循环小数的（循环节），例如7.14545… 的循环节是(45)。 循环小数的简便记法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个 循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如0.203203…写作（0.203) 难点心 知识点2 有限小数和无限小数（教材第34页） 15÷16=0.9375 1.5÷7=0.2142857 像0.9375这样，小数部分的位数有限的小数是（有限）小数。像0.2142857 这样，小数部分的位数无限的小数是（无限）小数。 理 思 循环小数的意义 循环小数 有限小数和无限小数 路 随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 课堂·听课笔记 精批注 对应教材P33P34] 循环小数 →路程 时间 求速度 7 王鹏跑400用时75秒，他平均每秒跑多少米？ 路程+时间=速度 400÷75= 5.333…（m)） 虽然没有除尽，但其 从十分位起，戴字“3”重复出现。 计算结果是精确戴 5.333 用“=”连接。省略号 75/400 表示后面有无鬟个3。 375 余数怎么总是“25”？ 250 商的小数部分总 继续除下去，可能永远 225 是重复出现“3”。 也除不完。 250 225 250 225 25 商的小裁部分的位数是无限的。写 商时，小裁部分反复出现的戴字 先写出几个后，其余的用““代替。 8 计算下面各题，说一说商有什么特点。 商的小数部分从 商的小戴部分从 28÷18=1555~7十分位起依次不 78.6÷11=7.14545…、百分位起依次不 循环小裁的意义： 断重复出现5。 断重复出现45。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小 数叫作循环小数。像上面的5.333…和7.14545…都是循环小数。 在列竖式计算徐法的过程中，只要相同余数重复出现两次，就不用再除，可以确定商。 52 3小数除法 循环节的意义士 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 例如： 5.333…的循环节是3。 7.14545…的循环节是45.7.14545…的循环节是45，不能说成4和5。 6.9258258…的循环节是258。 循环小慧的筒便记法： 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一 个圆点。例如： 5.333… 写作5.3 循环节中只有一个数字的，只在孩数宇 6.9258258… 写作6.9258 上面标记圆点。循环节中有两个或者两 个以上鬟字的，在第一个和最后一个裁 做一做 字上面标记圆点，中间数字不需要标记。 1.用简便形式写出下面的循环小数。 1.555… 1.746746… 0.105353… 2.计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数。 2.29÷1.1 153÷7.2 23÷3.3 算一算，想一想：两个数相除，所得的商如果不是整数，会有哪些情况？ 15÷16=0.9375 1.5÷7=0.2i42857 可以除尽，商是有限小数。 除不尽，商是无限循环小裁。 商是小数。 商是循环小数。 整裁 两数相除的商 有限小最 小数 循环小裁 无限小最 无限不循环小装 小数部分的位数有限的小数是有限小数。例如，0.9375是一个有限小数。小数部分的位 数无限的小数是无限小数。例如，0.2142857是一个无限小数。 小戴部分只要有具体个戴，就是有限小数。 例如：1.55555555555555555是有限小数。 53 随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 学方法 解决此类问题的关键是明确小数比较大小的方法，从高位到低位依次比较。 ○通过还原简便记法来比较循环小数的大小 你会比较这些数的大小吗？试试看！ 0.550.5 1.39○1.39 0.255(0.25 思路分析：比较循环小数的大小的方法与以前学过的比较小数大小的方法相同，但比较时 要把循环小数的简便记法还原。为了防止出错，可以把要比较的小数的小数点 上下对齐排成一列，从高位到低位逐位进行比较。 0.55 0.55<0.5 1.39=1.3939… 1.39<1.39 0.255 0.255>0.25 0.5=0.555… 1.39=1.399… 0.25=0.2525 正确解答：<<> ○运用循环节和周期性规律解决问题 5÷7的商的小数部分第200位上的数字是几？前200位数字的和是多少？ 思路分析：解决此类问题的关健是根据商各最位上载字的排列规律确定所求最位上的姜字。 用200除以循环节中的数 求出循环节中各数字的 计算5÷7的商，求 字个数，得出共含有几组 和，循环节的组数×循 出循环节及循环节 ◆ 循环节，若有余数，则为 环节中各数字的和+下个 含有的数字个数。 循环节的第几个数字。 循环节出现的数字=小数 部分前200位数字的和。 正确解答：5÷7=0.714285200÷6=33（组)…2（个） 7+1+4+2+8+5=2727×33=891891+7+1=899 答：5÷7的商的小数部分第200位上的数字是1；前200位数字的和是899。 ○综合运用小数大小比较的方法以及循环小数的知识解决问题 在下面四个小数的某些数字上补上循环点，使其成立。 0.9193<0.9193<0.9193<0.9193 思路分析： 这4个循环小数的整 在0.9193的某些数字上 4个循环节对应的 数部分相同，都是0， 补上循环，点，循环节可能 ◆ 小数分别为 小数部分前4位相 为“9193”“193”“93”“3”。 0.91939193… 同，都是9193。 0.9193193… 0.919393… 0.91933… 比较这四个数的大小， 再根据循环节在相应 数字上补上循环点。 正确解答：0.9i93<0.9193<0.9193<0.9193 解决此类问题的关健是先列出循环节可能 出现的所有情况，再比较大小，最后按照顺 序确定每个慧的循环节。 54 3小数除法 课后·提升笔记 巧总结 提示·循环小数的小数部分的位裁是无限的。 ○易错点：误认为有重复数字出现就是循环小数 判断：68686868.6868是循环小数。 () 易错解读：判断一个小数是不是循环小数，一要看小数的位数是不是无限的，二要看有 无循环节。本题所给的小数虽然是由6和8两位数字重复组成的，但是这个小数的小数 部分只有四位，所以这个小数是一个有限小数。所以本题的正确答案为X。 举一反三： 提示，循环小数一定是无限小裁，但无 判断。 限小数不一定是循环小数。 (1)循环小数一定是无限小数。 ( （2)无限小数一定是循环小数。 (3)0.8和0.8888都是循环小数。 ( 提素养 提示：一个循环小数的小数部分，依次不断重 1.填空。 复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 (1)5÷3的商是( ),它是( )小数，循环节是( ),保留三位小数是( )。 (2)名校真题在4.5858、4.5858…、4.888、4.832…中，有限小数是( ）, 无限小数是( ),循环小数是( ),4.5858…小数 部分第99位上的数字是( ）。 (3)把1.6、1.62、1.62和1.622按从小到大的顺序排列。 ()<()<( )<() 2.判断。 (1)循环小数都比1小。 ( (2)有限小数一定小于无限小数。 （3)循环小数3.627627…可写作3.627。 ( 3.列竖式计算。（商用循环小数表示) 1.66÷0.15= 69÷3.3= 2÷11= 5÷9= 55随堂笔记·数学·五年级·上册·RJ 第3课时商的近似数 做一做 @提素养 (竖式略）2.10.404 11.(1)88.07.956(2)7.3547.345 举一反三 2.2.65÷1.5≈1.77（时） (竖式略)3.211.02 答：运行一周大约需要1.77小时。 3.36.69÷8.64 答：蓝鲸的游行速度是企鹅的4倍。 第4课时循环小数 0做一做 @提素养 1.1.555…=1.51.746746…=1.746 11.(1）1.666…循环61.667 0.105353…=0.1053 (2)）4.5858、4.8884.5858…、4.832… 2.2.29÷1.1=2.08i=2.08 153÷7.2=21.25 4.5858.5 23÷3.3=6.96≈6.97 (3)1.61.6221.621.62 举一反三 2.(1)×(2)×(3)V (1)V (2)×(3)× 3.（竖式略)11.066… 20.9090…0.1818·0.555… 第5课时用计算器探索规律 做一做 @提素养 2.122.11222.1112222.111122222.11111 11.3.34.45.56.6 222222.111111 2.888848888858888886 下-个算式：3.333333×666666.7=2222222.111111113.(1)1224(2)0.20.04(3)3.750.234375 举一反三 5.55.555.55555.550.55555 第6课时解决问题 举一反三 12.(1)16÷0.06=266.6(个)≈266（个） 33÷4=8.25(条)=9（条） 答：这个糕点房最多可以做266个五仁月饼。 答：他们至少要租9条船。 (2)266÷8=33.25(个)≈34（个） ②提素养 答：需要准备34个盒子。 1.(1)B(2)C 第3单元要点总结 要点①)练习 要点③练习 1.(竖式略)2.10.071.25 11.(竖式略)0.15454…16.666…2.777… 2.48.4÷8=6.05(元） 2.<>=>>< 答：一副手套的价格是6.05元。 要点(4)练习 要点②)练习 1.22÷1.6=13.75(个)≈13（个） 1.(竖式略)2.41904.2 1答：这根打包绳可以打包13个快递盒。 2.11.73÷13.8=0.85(t) 2.4.6×16÷8=9.2(次)=10（次） 答：平均11谷子可以加工成0.851小米。 答：需要10次。 158