第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式，则它的一次项系数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．25 3．一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个根，则k的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 5．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某种流感病毒，现有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．在进入第二轮传染前，有两位第一轮被传染的患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数比第一轮传染后患病的人数多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 8．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是(    ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 10．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：已知一个根，则另一个根______． 13．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 14．若是方程的解，则代数式的值为 ． 15．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有 个队参加比赛． 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值 ． 17．已知，则 ． 三、解答题 18．用合适的方法解下列方程 (1) (2) 19．已知一元二次方程． 若方程的一个根为，求的值． 当时，求证：方程有两个实数根． 20．某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0 （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 22．现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） （1）每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； （2）工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 23．阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值． 解法是：∵，∴， 即，∴，，∴． 根据这样的解法，完成： （1）若，求的值； （2）若等腰的两边长a，b满足，求该的周长； （3）若正整数a，b，c满足不等式，求的值． 参考答案 1．【答案】C 【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可． 【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意； B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C，是一元二次方程，符合题意； D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 故选C． 2．【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵方程化成一般形式是， ∴一次项系数为， 故选． 3．【答案】A 【详解】解： 故选A． 4．【答案】B 【分析】把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得， 解得, 故选B. 5．【答案】A 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选A． 6．【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根．将方程系数代入判别式公式，解不等式即可求出． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 其中，，，代入得． 因为方程有两个不相等的实数根，所以，即． 解不等式： ， ， ， 因此，k的取值范围是， 故选C． 7．【答案】D 【详解】解： 第一轮传染：初始1人传染x人，共新增x例，总患者数为人， 隔离治愈：进入第二轮前，2名第一轮被传染者被治愈，剩余患者数为人， 第二轮传染：剩余人每人传染x人，新增患者数为人， 第一轮后总患者数：人， 第二轮后总患者数：剩余患者人 + 新增患者人 = 人， 差值：， 综上，第二轮后患病人数比第一轮多人， 故选D 8．【答案】  【详解】， ， 则，即， ， ，， 错误的是乙， 故选． 10．【答案】  【详解】点，在线段上，， ， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 代数式的值不变， 故选． 11．【答案】  【详解】． 12．【答案】  【详解】在▱中，， 若， 则． 9．【答案】C 【分析】首先解方程得到根为1和2，确定三角形的边长可能为1或2．然后根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所有可能的组合，排除不符合条件的组合，最后计算符合条件的周长． 【详解】， 解得，， ∴三角形的边长可能为1或2， ∴当边长为1，1，1时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为2，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，1，2时，此时，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； 综上所述，的周长是3或5或6， 故选C． 10．【答案】A 【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选A． 11．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：. 12．【答案】  【详解】一元二次方程已知一个根是， 将代入中，得，解得， 解一元二次方程，得或， 方程的另一个根为． 13．【答案】 【分析】设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（舍去）. 14．【答案】2027 【分析】根据a是方程的解，得出，再根据求解即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】10． 【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛，结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有x个队参加比赛， 根据题意得2×x（x-1）=90， 整理得x2-x-90=0， 解得x=10或x=-9（舍去）． 16．【答案】2 【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 17．【答案】7 【分析】由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，代入求值即可． 【详解】解：， m和n是关于x的一元二次方程的两个根， ，， . 18．【答案】(1)x1=，x2=； (2)x1=5，x2=． 【分析】 （1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】 (1) 解：∵a=1，b=-5，c=1， ∴△=(-5)2-4×1×1=21＞0， 则x=， ∴x1=，x2=； (2) 解：∵ ∴（x-5）（2x-10+x）=0，即（x-5）（3x-10）=0， ∴x-5=0或3x-10=0， 解得x1=5，x2=． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 19．【答案】见详解 【详解】知一元二次方程一个根为， ， ， ， ； ， ， ， 方程有两个实数根． 22．【答案】见详解 【详解】任务：根据表格，， 是的反比例函数，该函数表达式为． 任务：当时，， 秒， 当时，， 秒， 秒， 机器狗所用的最短时间为秒． 23．【答案】见详解 【详解】证明：如图，四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ≌， ； 如图，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ； 如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，， 当时，， ， ， ， ，， ， ， 四边形的面积． 20．【答案】(1)该种衬衫每次降价的百分率为； (2)第一次降价至少要销售出件该种衬衫. 【分析】(1)设这种衬衫每次降价的百分率为，由题意得衬衫标价为元件，经过两次优惠降价为元件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可； (2)设第一次降价要销售出件该种衬衫，由题意得该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设这种衬衫每次降价的百分率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该种衬衫每次降价的百分率为； （2）设第一次降价要销售出件该种衬衫， 由题意得， 解得， 答：第一次降价至少要销售出件该种衬衫． 21．【答案】（1）见详解（2）1，1 【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可． 【详解】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1； 当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解， 所以不论m为何值，方程总有实数根； （2）设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=，2t=， 则2+t=1+2t，解得t=1， 所以m=1， 即m的值位1，方程的另一个根为1． 22．【答案】（1）该长方体盒子的高为 （2）每个有盖盒子应降价4元 【分析】（1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 23．【答案】（1）； （2）的周长为10或11； （3）． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰的两边长， ∴当a是腰，b是底时，的周长为； 当b是腰，a是底时，的周长为． 综上所述：的周长为10或11； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a，b，c为正整数， ∴，即， 而或，即或1或3， 当时，必有，则，与题意不符，舍去， 当时，必有，则，与题意不符，舍去， ∴，，， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$