精品解析：广东省汕头市潮阳区金堡中学2024—2025学年上学期九年级数学科期中考试试卷（A卷）

潮阳区金堡中学2024—2025学年度第一学期 初三级数学科期中考试试卷（A卷） 出卷人：张础津 验卷人：郑少凡 试卷满分150分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列二次根式中不能再化简的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 2. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. m≠-1 B. m=-1 C. m≥-1 D. m≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】根据一元二次方程的定义可得：m+1≠0， 解得：m≠-1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 同弧或等弧所对的圆心角相等 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 弧长相等的弧一定是等弧 D. 平分弦的直径必垂直于弦 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质，解答即可． 本题考查圆的有关性质，涉及圆心角、圆周角、等弧的定义及垂径定理的应用。需根据各选项的条件与结论逐一判断． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； B.同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等，错误，不符合题意； C. 弧长相等的弧不一定是等弧，错误，不符合题意； D. 平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，错误，不符合题意； 故选：A． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 6. 如图，中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理，得，得到证明，可得，解得即可．本题考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，得， 所以 所以， 所以， 故选：D． 7. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】 A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切； 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交． 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交． 故选D． 8. 如图，AB为⊙O的直径，点 C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是（ ）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】 连接OD则∠BOD=2∠BED=60° ∴∠AOD=120° 又∵∠AOD=2∠ACD=120° ∴∠ACD=60° 故选A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 使式子有意义的最小整数m是________． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件， 要使在实数范围内有意义， 必须 所以最小整数m是2． 故答案为： 10. 已知关于x的方程的一个根是2，则______，另一根为___． 【答案】 ①. 1 ②. #### 【解析】 【分析】将代入方程，即可求出m的值，再解方程即可确定另一个根． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是2， ∴， 解得：． ∴方程为， ， ∴， ∴另一根为． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解一元二次方程．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键． 11. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___． 【答案】2 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出BC＝AB＝6，求出BD，由旋转的性质得出△ACE≌△ABD，得出CE＝BD，即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝6， ∵BC＝3BD， ∴BDBC＝2， 由旋转的性质得：△ACE≌△ABD， ∴CE＝BD＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解决问题的关键． 12. 的半径为，弦，则与之间的距离是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，分两种情况：当在圆心同侧，异侧，分别根据勾股定理求出圆心到弦的距离，即可得出答案． 【详解】解：如图所示． 当在圆心同侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离； 当在圆心异侧时，过点O作，连接， ∵ ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 同理． ∵，且， ∴之间的距离． 所以两条直线之间的距离是或． 故答案为：或． 13. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为____cm2． 【答案】16π． 【解析】 【分析】根据大圆的弦AB与小圆相切于点C，运用垂径定理和勾股定理解答． 【详解】设AB切小圆于点C，连接OC，OB， ∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB， ∴BC=AC=AB=×8=4， ∵Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2，即OB2－OC2= BC2=16， ∴圆环（阴影）的面积=π•OB2－π•OC2=π（OB2－OC2）=16π（cm2）． 故答案为：16π． 【点睛】本题考查了圆的切线，熟练掌握圆的切线性质定理，垂径定理和勾股定理是解决此类问题的关键． 三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，需要注意负指数幂、零指数幂和二次根式的绝对值的值．利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求解． 【详解】计算： 解：原式 15. 已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．求证：方程恒有两个不相等的实数根； 【答案】 证明：∵， 而， 故. 所以方程有两个不相等的实数根. 【解析】 【分析】要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可，∵，因为，可以得到． 【详解】略 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式. 16. 四边形是正方形，旋转后与重合 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角等于多少度？ （3）试判断的形状． 【答案】（1）点B （2） （3）等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了图形旋转的性质，包括旋转中心、旋转角的确定，以及利用旋转性质判断三角形形状 ．熟练掌握旋转前后对应点、对应边、对应角的关系是解题的关键． （1）找旋转中心，看旋转过程中位置不变的点，即对应点所围绕转动的点． （2）确定旋转角，找对应边的夹角，正方形中对应边的夹角是直角，从而确定旋转角． （3）判断三角形形状，依据旋转性质得对应边、对应角关系，再结合角度判断． 【小问1详解】 解：∵ 旋转时，绕着点转动后与重合，点位置不变， ∴ 旋转中心是点． 【小问2详解】 解：∵与为对应边， ∴等于旋转角， ∴旋转角度是． 【小问3详解】 解：等腰直角三角形． 由旋转可知；与是对应边， ∴，， 则是等腰直角三角形． 17. 如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【答案】的直径为26 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长． 【详解】证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 18. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由垂径定理可得=，然后通过圆周角定理即可求解； （）由垂径定理可得，即，然后通过勾股定理得，从而求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴=， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 在中，， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）填空：是___三角形，它的面积等于____平方单位． （2）将绕点B顺时针方向旋转，在方格图中用直尺画出旋转后对应的，则点的坐标是（_____，____），点的坐标是（_____，____）． 【答案】（1）等腰直角， 5 （2） 如图， ． 【解析】 【分析】该题综合考查等腰直角三角形的判定，面积的计算及旋转变化坐标的求法；根据要求得到旋转变换后的图形是解决本题的关键． （1）求出各边长，那么可得该三角形是等腰三角形，进而根据勾股定理的逆定理可得该三角形是等腰直角三角形，面积为两个直角边积的一半； （2）根据旋转中心点，旋转方向顺时针，旋转角度画出相关图形可得相应坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ， ， 故答案为：等腰直角， 5 ； 【小问2详解】 略 20. 天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 【答案】每件童装应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可． 设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，则 ， 即：， 解得：，， 要扩大销售量，减少库存， 舍去． 答：每件童装应降价20元． 21. 如图，已知直径为的与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接并延长交y轴于点． （1）求证：； （2）若直线l：经过圆心P和D，求直线l的解析式． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵直径为的与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分， ∴，． ∵， ∴是等边三角形． ∴，， ∴，． 在和中， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，由直径为的与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，，可求得，，即可得是等边三角形，可得，然后由，即可判定． （2）易求得，由，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∴点P的坐标为：． ∵点P，D在直线l：上， ∴， 解得： ∴直线l的解析式为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题12分，共36分） 22. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式______＝______； （2）用含n的代数式表示第n个等式______＝______（n为正整数）． （3）求的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作答即可； （2）根据，，，，……可推导一般性规律为：表示第n个等式，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， …… ∴可推导一般性规律为：表示第n个等式（n为正整数）， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意知， ； ∴的值为． 【点睛】本题考查了整式的规律探究，有理数的混合运算．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 23. 设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值． 【答案】 （1）∵有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即，则b﹣2c+a＝0． ∵方程3cx+2b＝2a的根为0， ∴a＝b． ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）﹣12． 【解析】 【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一个关于a，b，c的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系； （2）根据（1）求出的a，b的值，可以得到关于m的方程，解方程即可求出m． 【详解】解：（1） 略 （2）∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，且a＝b， ∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0， ∴m＝0或m＝﹣12． 当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去； 当m＝﹣12时，a＝b＝6，符合题意． 综上所述m＝﹣12． 【点睛】此题考查了一元二次方程解的含义，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的含义，等边三角形的判定方法． 24. 如图，点C在以为直径的半圆O上，延长到点D，使得，过点D作于点E，交于点F，点G为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的面积是的面积的2倍，求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． 又∵是的半径， ∴为的切线． （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是的中位线． ∴． 【解析】 【分析】（1）连接．欲证是的切线，只需证明，即． （2）根据直角三角形、直角三角形的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质、三角形的中线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳区金堡中学2024—2025学年度第一学期 初三级数学科期中考试试卷（A卷） 出卷人：张础津 验卷人：郑少凡 试卷满分150分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列二次根式中不能再化简的二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. m≠-1 B. m=-1 C. m≥-1 D. m≠0 4. 下列说法正确的是（ ） A. 同弧或等弧所对的圆心角相等 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 弧长相等的弧一定是等弧 D. 平分弦的直径必垂直于弦 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】 A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 8. 如图，AB为⊙O的直径，点 C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是（ ）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 使式子有意义的最小整数m是________． 10. 已知关于x的方程的一个根是2，则______，另一根为___． 11. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___． 12. 的半径为，弦，则与之间的距离是___________． 13. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为____cm2． 三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 14. 计算： 15. 已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．求证：方程恒有两个不相等的实数根； 16. 四边形是正方形，旋转后与重合 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角等于多少度？ （3）试判断的形状． 17. 如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 18. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）填空：是___三角形，它的面积等于____平方单位． （2）将绕点B顺时针方向旋转，在方格图中用直尺画出旋转后对应的，则点的坐标是（_____，____），点的坐标是（_____，____）． 20. 天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 21. 如图，已知直径为的与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接并延长交y轴于点． （1）求证：； （2）若直线l：经过圆心P和D，求直线l的解析式． 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题12分，共36分） 22. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式______＝______； （2）用含n的代数式表示第n个等式______＝______（n为正整数）． （3）求的值． 23. 设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值． 24. 如图，点C在以为直径的半圆O上，延长到点D，使得，过点D作于点E，交于点F，点G为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的面积是的面积的2倍，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $