专题08 函数的奇偶性（讲义） -山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的奇偶性。本专题涵盖奇函数、偶函数的判断等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的奇偶性（讲义） 知识点1 知识点1 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 1．（18-19高三·山西·对口/高职单招）下列函数为奇函数的（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·山西·二模）下列函数中是奇函数的是（   ）． A． B． C． D． 4．（23-24高三·山西·一模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山西·一模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（18-19高三下·山西太原·二模）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数 7．（19-20高三下·山西太原·三模）已知奇函数满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三·山西·模拟预测）若奇函数在区间是增函数，且最小值为4，则函数在区间上是（    ）． A．减函数，且最大值为－4 B．增函数，且最大值为－4 C．减函数，且最小值为－4 D．增函数，且最小值为－4 1．若点 关于x轴对称的点为 B，则 B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．函数关于（      ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 4．下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，若，则该函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 6．已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 8．若函数是定义在上的偶函数，则 ， . 9．在直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为 . 10．已知函数，且，则 ． 11．若函数的图像关于y轴对称，且，则 . 12．若函数，且，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的奇偶性。本专题涵盖奇函数、偶函数的判断等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的奇偶性（讲义） 知识点1 知识点1 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 1．（18-19高三·山西·对口/高职单招）下列函数为奇函数的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】对A：函数的定义域为R，且， 所以，则函数既不是奇函数也不是偶函数，故A项错误； 对B：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故B项正确； 对C：函数的定义域为R，且， 所以函数不是奇函数，故C项错误； 对D：函数的定义域为，不是关于原点对称的区间，故D项错误. 故选：B. 2．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，分析选项即可. 【详解】A：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数为偶函数， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数， C：的定义域为，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数， D：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数. 故选：A. 3．（23-24高三下·山西·二模）下列函数中是奇函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式判断函数的奇偶性即可； 【详解】A选项，的定义域为，且，所以不是奇函数，故错误； B选项，的定义域为，且，所以是奇函数，故正确； C选项，的定义域为，且，所以不是奇函数，故错误； D选项，的定义域为，且满足，故不是奇函数，故错误． 故选：B 4．（23-24高三·山西·一模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性逐个分析即可. 【详解】选项A，的定义域为，关于原点对称， 令，则，函数不是奇函数，不符合题意； 选项B，的定义域为，关于原点对称， 令，则，函数是偶函数，不是奇函数，不符合题意； 选项C，的定义域为,关于原点对称, 令，则，函数是奇函数， 但该函数在,上是减函数，不符合题意； 选项D，的定义域是，所以函数是奇函数， 且，当时，为增函数，由函数为连续的奇函数， 可得当时，为增函数，所以该函数在上是增函数，符合题意. 故选：D. 5．（24-25高三上·山西·一模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性的定义即可得解. 【详解】选项，令函数，定义域为，，，不是奇函数，不符合题意； 选项，令函数，定义域为，为偶函数，不符合题意； 选项，令函数，定义域为，，为奇函数，，为增函数，符合题意； 选项，令，定义域为，，，为奇函数，在上为减函数，上为减函数，不符合题意； 故选：. 6．（18-19高三下·山西太原·二模）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义判定即可解得. 【详解】由题函数定义域为R，且定义域关于原点对称， 令，则该函数既满足又满足， 故函数既是奇函数又是偶函数， 故选：C. 7．（19-20高三下·山西太原·三模）已知奇函数满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可解得 【详解】由题， 则函数周期是， 则， 又知是奇函数， 则， 故选：C 8．（22-23高三·山西·模拟预测）若奇函数在区间是增函数，且最小值为4，则函数在区间上是（    ）． A．减函数，且最大值为－4 B．增函数，且最大值为－4 C．减函数，且最小值为－4 D．增函数，且最小值为－4 【答案】B 【分析】根据奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性是一致的，可知在区间的单调性，再结合奇函数的性质可知其最值. 【详解】∵在区间是增函数， 又奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性是一致的， ∴在区间是增函数， ∵奇函数在区间上最小值为4，即， ∴， ∴在区间是增函数，且最大值为－4. 故选：B. 1．若点 关于x轴对称的点为 B，则 B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可得解. 【详解】点 关于x轴对称的点为 B， 则 B的坐标是. 故选：A. 2．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】A 【分析】由函数奇偶性的定义，即可得出答案. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，不是偶函数. 故选：A. 3．函数关于（      ）对称 A．轴 B．轴 C．原点 D．直线 【答案】A 【分析】根据偶函数的图像的对称性即可判断. 【详解】函数，其定义域为， 且， 所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 故选：A. 4．下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【详解】A，定义域为， 且令，则， 所以不是奇函数，故A错误， B，定义域为， 且令，则， 所以不是奇函数，故B错误， C，定义域为， 且令，则， 所以是奇函数，故C正确， D，定义域为， 且令，则， 所以不是奇函数，故D错误， 故选：C. 5．已知函数的定义域为，若，则该函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】函数的定义域为，， 则函数为奇函数，不一定是偶函数. 故选：. 6．已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】已知函数为偶函数， 所以， 即， 得，即， 解得， 故选：B. 7．已知函数是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义和已知函数解析式即可解得. 【详解】由题，为奇函数，则， 又知，当时，， 则，. 故选：A 8．若函数是定义在上的偶函数，则 ， . 【答案】 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称求得，再由偶函数的性质求得，从而得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称， 而是定义在上的偶函数， 所以，解得， 所以，又， 所以，整理得， 由的任意性可得. 故答案为：；. 9．在直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为 . 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点坐标为，代入即可得解. 【详解】点关于轴的对称点坐标为， 故答案为：. 10．已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，则，结合的奇偶性，即可求解. 【详解】由题意，令， 函数的定义域为，关于原点对称， ， 函数为奇函数， ，， ，， 故答案为：. 11．若函数的图像关于y轴对称，且，则 . 【答案】6 【分析】首先确定函数的奇偶性再由奇偶性的定义求值即可. 【详解】因为函数的图像关于y轴对称， 所以为偶函数，则有， 且，则， 故答案为：6. 12．若函数，且，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义得出函数为奇函数，则即可得解. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$