5 第1课时 平行与垂直-【随堂笔记】2025-2026学年四年级上册数学（人教版）

5 平行四边形和梯形 等 5 平行四边形和梯形 第①课时 平行与垂直 课前·预习笔记 AI伴学微课讲解 任务 笔记 重点感 知识点①认识平行（教材第56页例1） (1)在同一平面内的两条直线的位置关系：在同一平面内的两 条直线的位置关系只有（相交)和（不相交）两种情况。 (2)平行线与互相平行：在同一个平面内（不相交）的两条直 线叫作平行线，也可以说这两条直线（互相平行）。 a 6 b b 上图中直线a与b互相平行，记作(a∥b),读作(a平行于b)。 新 重点随 知 知识总2认识垂直（教材第57页） (1)两条直线相交后有两种情况：一是相交成直角，二是相交 不成直角 (2)垂线与互相垂直：两条直线相交成（直角），就说这两条 直线（互相垂直），其中一条直线叫作另一条直线的（垂线），这两 条直线的交点叫作（垂足）。 上图中直线a与b互相垂直，记作(a⊥b),读作(a垂直于b)。 理思路 认识平行 平行与垂直 认识垂直 85 随堂笔记·数学·四年级·上册·RJ 课堂·听课笔记 精批注 [对应教材P56P57] 平行与垂直 1在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？ 在判断两条直线是否相交时，不能 我画的直线都没有相交。 光看表面，还要看本盾，即看这两 条直线延长后是否相交。 我画的直线都相交了。 在同一平面内，两条直线 的位置关系有两种情克 一种是相交，易一种是 不相交。 把没有相交的两条直线再画长一些会怎样？ 两条直线无论 两条直线延 怎样延长都没 长后相交。 有相交。 ”同一平面内”是确定两条直线平行关系的前提。如果不在同一平面内，有些直线虽然 不相交，但并不能称之为互相平行。 在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相 平行。 判断同一个平 面内的两条直 我是否互相平 行。要看两茶 a 直线延长后是 否相交，与两 条直线如何摆 效无关。 上图中直线a与b互相平行，记作a∥b,读作a平行于b。 用“∥”表示两条直 在同一平面内，如果两条直线和第三条直线平行，那么这西 线的平行关系，晚形 条直线也互相平行。即a∥c,b∥c,那么a∥b 象义方便，体现了符 号化思想。 86 5平行四边形和梯形 平行在生活中很常见，你能举出生活中一些有关平行的例子吗？ 生活中关于平行的例子·空中架没的电线， 斑马线… 量一量，下面的相交直线组成的角分别是多少度。 两茶直线相交形成了4个 左边这组相交直线组成 相同的角，都是直角。 的每个角都是90°。 两条直线相交形晟 的角都不是直角。 两条直线垂直是相互的：不能独 发现。两茶直线相交后有两种请况，一 立地说哪条直线是垂线。 是相交成直角，二是相交不成直角。 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一 条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 判断两茶直线 在同一平面内 是否互相垂直 要看这曲条直 如果两条直线都 线相交是否成 和第三条直线 直角，与两条 直，那么这两条 直线效置的方 直线互相平行。 向无关。 即a⊥c,b⊥C 那么a∥b。 上图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b,读作a垂直于b。你能举出生活 中一些有关垂直的例子吗？ 课桌面、窗户.黑板.墙壁等相尔的边互相垂直。 做一做 看延长后有没有相交。 量一下相交形成的角是不是直角。 下面各组直线，哪一组互相平行？哪一组互相垂直？ 8 随堂笔记·数学·四年级·上册·RJ 学方法 ○运用图示法解决求交点数量的问题 在同一个平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交 点，10条直线相交最多有多少个交点？ 思路分析：从直线数量较少的情况入手，通过画图来找最多交点数，发现其中 的规律，进而归纳出若干条直线相交的最多交点数。如下图所示： 2条直线相交3条直线相交4条直线相交5条直线相交 4 第3条直线与前 第4条直线与第5条直线与 最多只有 2条直线相交于 前3条直线相前4条直线相 交于不同点， 交于不同点， 1个交点。 不同点，在原来 在原来的基础 在原来的基础 的基础上又多出 上又多出3个 上又多出4个 2个交点。 交点。 交点。 a 4 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 直线条数 交点的个数 2条 1个 3条 1+2=3（个) 4条 1+2+3=6(个) 5条 1+2+3+4=10(个) ✉ 10条 1+2+3+4+5+…+9=45（个)】 由此可以归纳出：在同一个平面内，n（n>1)条直线相交，最多 有1+2+3+…+(n-2)+(n-1)=n×(n-1)÷2个交，点。 正确解答：1+2+3+4+…+8+9=45（个）或10×（10-1)÷2=45（个）】 答：10条直线相交最多有45个交点。 练习 在同一个平面内，n(n>1)条直线相交，最多有1+2+ 3+…+(n-2)+(n-1)=/nx(n-1)÷2/个交点。 在同一个平面内，15条直线相交最多有多少个交点？ 88 5平行四边形和梯形 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：对平行线的概念认识不清 判断：不相交的两条线叫作平行线。 () 易错解读：此题易错在对平行线中“线”的界定认识不清。平行线中的“线”必须在 同一个平面内，并且是直线，不能是曲线。所以本题的正确答案为X。 举一反三： 提示在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行。 下面各组线中，互相平行的画“∥”，互相垂直的画“上”。 ① ④ 提素养 1.名校真题看图填一填。 提示：可以借助直尺和三角尺判断。 (1) (2) 有( )组线段互相平行 有()组平行线段 有(）组线段互相垂直 2.选择。 同一个平面内，不相交的两条直线互相平行：相交成直角的两条直线互相垂直。 (1)沿直线行驶的汽车，车轮留下的两行印迹( )。 A.互相垂直 B.互相平行 C.相交 (2)在同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线()。 A.互相垂直 B.互相平行 C.没有关系 (3)新情境手工课上，小亮将一张长方形纸对折后再对折，这张纸展开后的折 痕(）。 A.互相平行 B.互相垂直 C.可能互相平行，也可能互相垂直 (4)阳光下，操场上的双杠在地上的影子的关系是( ) A.互相垂直 B.互相平行 C.相交 89本书练习题参考答案 2.(1)已知的是单价和数量，要求的是总价。 答：1小时能行60千米。 (2)已知的是总价和数量，要求的是单价。 ②提素养 1做-做（侧5】 11.方法一：132÷3×12=528（元） 1.(答案不唯一)一辆摩托车每小时行40千米。 528-132=396(元) 2.(1)已知的是速度和时间，要求的是路程。 方法二：12÷3=44×132-132=396（元） (2)已知的是路程和速度，要求的是时间。 答：还需要396元。 举一反三 2.76×3÷4=57(千米) 1时=60分9÷9×60=60（千米） 答：原路返回时平均每小时行57千米。 第4单元要点总结 要点（①）练习 要点（③）练习 (竖式略)166321242756898 1.(1)150075015000(2)240720014400 要点(2)练习 (3)1800036003600 1.125×15=1875(元)】 2.60×5÷6=50 答：买15套这样的儿童玩具共需要1875元。 要点(4)练习 2.320×3=960(千米) (竖式略)51303150144003750 答：甲市到乙市的这条线路长960千米。 5 平行四边形和梯形 第1课时平行与垂直 2做一做 举一反三 第二组互相平行，第三组互相垂直。 1(∥)()（⊥）（⊥）（∥）() 练习 @提素养 1+2+3++13+14=105(个) 11.(1)22(2)3 答：15条直线相交最多有105个交点。 2.(1)B(2)B(3)C(4)B 第2课时垂线的画法及应用 2.做-做.（例22 做一做 略 11.略 1做-做.（例3） 12.略 1.根据“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 举一反三 最短”画出最短路线。 张航 李浩 2.都互相平行。 161