专题07 函数的单调性（讲义） -山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（22-23高三·山西吕梁·一模）下列函数在为减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·山西·一模）已知函数在定义域上是单调递减函数，若，则的取值范围为 . 4．（14-15高三·山西·一模）求二次函数的最小值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 1．已知函数在上为减函数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 3．下列函数中，随增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．已知的单调区间有（    ） A．增区间 B．减区间 C．增区间 D．减区间 5．函数，则（    ） A． B． C． D． 6．奇函数在区间上是增函数且最小值为2，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为 B．减函数且最大值为 C．增函数且最小值为 D．增函数且最大值为 7．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ． 知识点2 函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 3. 函数的值域： 常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 4. 求函数值域的常用方法： 图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 1．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·山西·模拟预测）已知二次函数的最大值为2，且． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间[2m，m+3]上不是单调函数，求实数m的取值范围． 3． （22-23高三·山西长治·模拟预测）已知二次函数的图像经过点，且对称轴是，求它的解析式、单调递增区间和最值. 1．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 2．函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 3．函数满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，当时，在其定义域上一定有成立的是（   ） A． B． C． D． 6．函数在上的值域为 （用区间表示）. 7．函数在上的值域为 （用区间表示）. 8．已知函数，分别由下表给出： x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 则 (1)的值； (2)函数的值域； (3)方程的解集． 9．求函数的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（22-23高三·山西吕梁·一模）下列函数在为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数，幂函数，一次函数以及二次函数的单调性即可得解. 【详解】对于A，由反比例函数的性质可知，中， 所以在为增函数，不合题意， 对于B，由幂函数的性质可知，在为增函数，不合题意， 对于C，由一次函数的性质可知，中，， 所以在为减函数，符合题意， 对于D，由二次函数的性质可知，图像开口向下，对称轴为， 所以在为增函数，不合题意. 故选：C. 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为减函数，得出即可得解. 【详解】因为函数是减函数，所以，解得， 故选：. 3．（23-24高三·山西·一模）已知函数在定义域上是单调递减函数，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】已知函数在定义域上是单调递减函数， 若， 则，即，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．（14-15高三·山西·一模）求二次函数的最小值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 【答案】最小值，图像的对称轴是，的单调减区间是，单调增区间是 【分析】根据二次函数图像和性质即可解得. 【详解】解：由于， 恒成立，所以当，即当时，有最小值， 最小值为， 图像的对称轴是， 又知函数图像为开口向上的抛物线， 则的单调减区间是， 单调增区间是． 1．已知函数在上为减函数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合减函数的概念，即可判断求解. 【详解】因为函数在上为减函数，，所以，故选项A错误； 因为函数在上为减函数，，所以，故选项B错误，选项D正确； 因为函数在上为减函数，，所以，故选项C错误； 故选：D. 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质求解即可； 【详解】把代入得，，则不在图象上，故A错误； ，所以图象位于第一、三象限，故B错误； ，所以当时，随的增大而减小，故C正确； ，当时，图象在第一象限，故D错误． 故选：C． 3．下列函数中，随增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性即可判断. 【详解】对A：因为在函数中，所以随的增大而增大，故A项错误； 对B：因为在函数中，且对称轴为轴， 所以当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故B项错误； 对C：因为在函数中，当时，随的增大而减小，故C项正确； 对D：因为在函数中，所以随的增而增大，故D项错误. 故选：C． 4．已知的单调区间有（    ） A．增区间 B．减区间 C．增区间 D．减区间 【答案】D 【分析】根据反比例函数的单调性确定单调区间即可. 【详解】已知为反比例函数， 其中，所以在和上为减函数， 所以的单调区间有减区间， 故选：D. 5．函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数性质可判断. 【详解】由题知此函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递增， 则； 故选：B. 6．奇函数在区间上是增函数且最小值为2，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为 B．减函数且最大值为 C．增函数且最小值为 D．增函数且最大值为 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】奇函数在区间上是增函数，根据奇函数的性质可知在区间也为奇函数， 因为在区间上的最小值为2，即当，， 设，则，， 所以在区间的最大值为， 所以在区间上是增函数且最大值为， 故选：. 7．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合幂函数的单调性，根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增，若，可以推出“”，所以“”是“”的充分条件. 反过来，若“”， 由函数在上单调递增可以推出“”，所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的单调性结合函数图像即可求解. 【详解】因为反比例函数图象的一支位于第二象限， 所以，解得， 所以常数m的取值范围为. 故答案为：． 知识点2 函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 3. 函数的值域： 常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 4. 求函数值域的常用方法： 图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 1．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式求出对称轴，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】函数图象的开口向上，对称轴为直线， 所以时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值； 当时，函数有最大值， 所以的值域为， 故选：. 2．（22-23高三·山西·模拟预测）已知二次函数的最大值为2，且． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间[2m，m+3]上不是单调函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数解析式，由两个函数值列式消去两个参数，再由最大值求出第三个参数，即可得到函数具体的解析式. （2）理解二次函数在某段区间上的单调性与对称轴位置的关系即可求解.. 【详解】（1）设二次函数， 由可得：，， 由可得：，， 且对称轴为，则函数最大值为， 即，. （2）若函数在区间[2m，m+3]上不是单调函数 则对称轴满足：， 解得， 即实数的取值范围为. 3．（22-23高三·山西长治·模拟预测）已知二次函数的图像经过点，且对称轴是，求它的解析式、单调递增区间和最值. 【答案】，单调递增区间是，最大值为5，无最小值 【分析】根据已知求得二次函数解析式，再根据函数性质求得单调区间及最值. 【详解】设二次函数的解析式是   由题可知  ， 解得：  ，   所以.   因为，开口向下且对称轴是， 所以该函数的单调递增区间是， 当时，函数有最大值是.无最小值. 1．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质可求. 【详解】函数的对称轴为，二次函数的开口向上， 故函数在处取到最小值， ，，故所求值域为． 故选：D. 2．函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换元法，求出的取值范围，再由反比例函数的单调性即可求解值域. 【详解】由题意，令，由于，故， 故，由反比例函数的性质，在单调递增， 故当时，；当时，， 故函数在的值域为． 故选：A. 3．函数满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可求. 【详解】由题可知，函数对称轴为， 又函数开口向上，则； 故选：C. 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数单调性求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且离更远， 则在上，， ， 则值域为. 故选：C. 5．下列函数中，当时，在其定义域上一定有成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数、二次函数、分式函数以及余弦函数的性质，即可求解. 【详解】选项A，函数，在定义域上单调递增， 当时，一定有，正确， 选项B，函数在和分别单调递增， 但是在整个定义域上不是单调递增，当时， 不一定成立，错误， 选项C，函数开口向上，对称轴为，在上，函数是减函数，在上，函数是增函数， 当时，不一定成立，错误， 选项D，函数是周期函数， 当时，不一定成立，错误， 故选：A. 6．函数在上的值域为 （用区间表示）. 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数的一次项系数为， 所以函数在上单调递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故答案为： 7．函数在上的值域为 （用区间表示）. 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为. 所以函数在上的值域为. 故答案为：. 8．已知函数，分别由下表给出： x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 则 (1)的值； (2)函数的值域； (3)方程的解集． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的值代入求解即可. （2）先求解函数的定义域，再根据定义域求解值域即可. （3）分别求解当时，所对应的值，再由求解解集即可. 【详解】（1）由表格可知，． （2）函数的定义域是， 则当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 综上，方程的解集为． 9．求函数的值域. 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式，确定对称轴，进而确定单调性，然后根据定义域，求得值域. 【详解】由题意得：函数的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 所以函数，在处取得最小值， 最小值为. 又，， 所以函数的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$