专题06 分段函数（讲义） -山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第6个专题：分段函数。本专题涵盖分段函数的定义、分段函数作图及值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 分段函数（讲义） 知识点1 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 1．（19-20高三下·山西太原·三模）已知函数，若，则 ． 2．（18-19高三·山西·对口/高职单招）， . 3．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）已知函数，若，则 . 4．（18-19高三下·山西太原·二模）设，则的值为 . 5．（19-20高三·山西·自主招生）已知，求. 1．已知函数，则（    ） A． B．0 C．8 D．13 2．已知函数，当0时，此时该函数的最小值是（   ） A．3 B．4 C．7 D．52 3．函数与的单调递增区间分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（   ） A． B．10 C． D．28 6．已知函数，若，则实数a的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 7．已知函数，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 8．已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．5 D． 9． 某网店经营的一种商品，该商品的进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元. (1)根据周销量与单价之间的关系图直接写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数解析式. (2)写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数解析式.当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大?并求出最大利润. 10．已知. (1)画出的图象并写出的定义域； (2)若，求x的取值范围； (3)求的值； (4)求的值域. 11．已知函数求： (1)求的值； (2)当时，求取值的集合. 12．的单调增区间是 . 13．设函数，当 ． 14．已知分段函数的图像与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数，且，则 . 16．已知函数，若，则实数 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第6个专题：分段函数。本专题涵盖分段函数的定义、分段函数作图及值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 分段函数（讲义） 知识点1 分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 1．（19-20高三下·山西太原·三模）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】分类讨论x的不同取值求解即可. 【详解】当时，， 若，则有，不满足，舍去， 当时，， 若，则有，因为，所以. 故答案为：. 2．（18-19高三·山西·对口/高职单招）， . 【答案】 【分析】根据分段函数，将自变量代对应解析式求解即可. 【详解】由题可知，，. 故答案为：. 3．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）已知函数，若，则 . 【答案】-3 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 4．（18-19高三下·山西太原·二模）设，则的值为 . 【答案】11 【分析】根据分段函数的解析式，将代入相应的解析式逐步求解即可. 【详解】因为，所以； 因为，所以，则； 因为，所以； 因为，所以，则； 因为，所以，则； 即. 故答案为：11. 5．（19-20高三·山西·自主招生）已知，求. 【答案】2 【分析】根据分段函数的性质，代入自变量到对应的解析式求解. 【详解】∵， ∴当时，， 即，. 1．已知函数，则（    ） A． B．0 C．8 D．13 【答案】D 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】∵， ∴， 则. 故选：D. 2．已知函数，当0时，此时该函数的最小值是（   ） A．3 B．4 C．7 D．52 【答案】A 【分析】根据定义域确定解析式，在定义域内求最小值. 【详解】函数当时， 函数的最小值在函数上， 当时，该函数的最小值是． 故选：A． 3．函数与的单调递增区间分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数和二次函数的单调性，即可求解. 【详解】， 在上单调递增， ， 函数图像开口向上，对称轴为， 在上单调递增. 故选：A. 4．已知函数则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：D． 5．已知函数，则（   ） A． B．10 C． D．28 【答案】C 【分析】由分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】由题意得， . 故选：C. 6．已知函数，若，则实数a的值等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由函数的解析式分类讨论代入求值即可. 【详解】当时，由，该方程无实根； 当时，，显然符合. 故选：B. 7．已知函数，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外逐步计算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，故， 即， 故选：C 8．已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以， 故选：A. 9．某网店经营的一种商品，该商品的进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元. (1)根据周销量与单价之间的关系图直接写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数解析式. (2)写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数解析式.当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)17.5元，最大周利润为87.5元. 【分析】（1）由关系图设函数解析式为，将点分别代入解析式解出，即可得解. （2）根据利润销量（单价进价）相关开支，列式计算可得其函数解析式，再利用配方法，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由关系图可设函数解析式为， 因为图像过点，代入得： ，解得； ，解得：， 所以周销量P（件）与单价x（元）之间的函数解析式为 . （2）周利润 整理得，当时，， 函数图像开口向下，所以当时，； 当时，，此函数在上单调递减， 所以当时，，因为， 所以当时，， 即当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大，最大周利润为87.5元. 10．已知. (1)画出的图象并写出的定义域； (2)若，求x的取值范围； (3)求的值； (4)求的值域. 【答案】(1)作图见解析，R (2) (3)1 (4). 【分析】（1）根据分段函数的解析式利用描点法作出的图象并写出的定义域； （2）令再结合函数的图象，写出时，x的取值范围即可； （3）由分段函数的解析式令代入求值即可； （4）由（1）中函数的图象写出函数的值域即可. 【详解】（1）利用描点法，作出的图象，如图所示.   的定义域为. （2）令，解得，结合此函数图象可知， 使的x的取值范围是. （3），. （4）由图象知，当时，的值域为； 当或时，， 所以的值域为. 11．已知函数求： (1)求的值； (2)当时，求取值的集合. 【答案】(1)11 (2). 【分析】（1）由分段函数的定义即可求解函数值； （2）分段求出每一段函数的值域，再求并集即可求解. 【详解】（1）函数， ， 所以. （2）函数， 当时，， 当时，； 当时，； 所以当时，取值的集合为. 12．的单调增区间是 . 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】， 当时，，图像为开口向上的抛物线，对称轴为，则在上单调递增， 当时，，图像为开口向下的抛物线，对称轴为，在上单调递增， 将代入得，将代入得， 所以原函数的增区间为， 故答案为：. 13．设函数，当 ． 【答案】4 【分析】将代入对应的解析式中求值即可. 【详解】因为函数， ， 当时，， 故答案为：4． 14．已知分段函数的图像与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数分为和两部分，分别研究它们的值域和单调性，直线与两部分图像的交点情况需满足总共两个不同交点，通过分析不同区间内方程解的个数，确定的取值范围即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，值域为， 当时，方程有唯一解，此时； 当时，，开口向上， 顶点在（不在范围内），在时单调递增，值域为； 所以当时，方程有唯一解（舍去负根）； 所以当时，部分有解，部分有解，共有两个交点； 当时（属于部分）和（属于部分），均为有效解； 当或时，总交点数不足两个； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．已知函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用的解析式，分类讨论的取值范围，得到相关方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 综上，. 故答案为：. 16．已知函数，若，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数的定义域，依次带入，即可求解. 【详解】由题意知， 则， 所以， 解得. 故答案为：1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$