专题07 函数的单调性（讲义） -陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西历年职教单招真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 陕西省2026年职教单招 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（19-20高三·陕西榆林·模拟预测）若函数在区间上为减函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·陕西·模拟预测）下列函数在内为减函数的是（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 . 5．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）解释函数的单调性，并说明如何判断一个函数在某个区间内的单调性. 1．已知函数在上为减函数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 3．下列函数中，随增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．已知的单调区间有（    ） A．增区间 B．减区间 C．增区间 D．减区间 5．函数，则（    ） A． B． C． D． 6．奇函数在区间上是增函数且最小值为2，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为 B．减函数且最大值为 C．增函数且最小值为 D．增函数且最大值为 7．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ． 知识点2 函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 3. 函数的值域： 常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 4. 求函数值域的常用方法： 图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 1．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，则其值域是 . 3．（22-23高三·陕西·模拟预测）某商场以每件42元的价格购进一批商品，由试销知道每天的销售量（件）是每件销售价格（元）的一次函数，且时，；时，. (1)写出与的函数关系式； (2)商场想要每天获得这种商品的最大利润，每件的销售价格应定为多少元？最大利润为多少元？ 4．（23-24高三上·陕西·一模）某餐馆加工一种食品在网上销售，每天的销售量x份与销售单价p（元/份）之间的函数关系式为，加工份成本的函数关系式为，产销平衡. (1)求每天的利润关于销售量的函数关系式； (2)当销售量为何值时，每天能获得最大利润，最大利润是多少？ 1．函数，则函数在区间内的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 7．求下列函数的值域． (1)； (2)． 8．若函数的图像如图所示，则： （1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． （本题结果要求用区间表示） 9．函数在闭区间的值域是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西历年职教单招真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共50个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是陕西省2026年职教单招一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 陕西省2026年职教单招 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数和反比例函数的性质判断即可. 【详解】对于A，在区间上为减函数，故A错误， 对于B，在区间上为减函数，故B错误， 对于C，在区间上为增函数，故C正确， 对于D，在区间上为减函数，故D错误. 故选：C. 2．（19-20高三·陕西榆林·模拟预测）若函数在区间上为减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在区间上为减函数，且， 所以，即. 故选：C. 3．（22-23高三·陕西·模拟预测）下列函数在内为减函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的单调性来逐一分析选项，即可求解.. 【详解】选项A，一次函数中，函数在定义域上单调递增，错误， 选项B，反比例函数中，函数在上是单调递增，错误， 选项C，二次函数开口向下，对称轴为轴，函数在上单调递增，错误， 选项D，二次函数开口向上，对称轴为轴，函数在上单调递减，正确， 故选：D. 4．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）若函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据函数的单调区间求解即可. 【详解】函数的对称轴为， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，即a的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）解释函数的单调性，并说明如何判断一个函数在某个区间内的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】根据函数单调性的定义解答即可. 【详解】函数的单调性是指函数在某区间内是递增或递减的； 判断方法：在函数的某个区间内任取两个自变量的值，且， 若取自变量时计算出的函数值小于取自变量时计算出的函数值，则函数在该区间内单调递增； 若取自变量时计算出的函数值大于取自变量时计算出的函数值，则函数在该区间内单调递减. 1．已知函数在上为减函数，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合减函数的概念，即可判断求解. 【详解】因为函数在上为减函数，，所以，故选项A错误； 因为函数在上为减函数，，所以，故选项B错误，选项D正确； 因为函数在上为减函数，，所以，故选项C错误； 故选：D. 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质求解即可； 【详解】把代入得，，则不在图象上，故A错误； ，所以图象位于第一、三象限，故B错误； ，所以当时，随的增大而减小，故C正确； ，当时，图象在第一象限，故D错误． 故选：C． 3．下列函数中，随增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性即可判断. 【详解】对A：因为在函数中，所以随的增大而增大，故A项错误； 对B：因为在函数中，且对称轴为轴， 所以当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故B项错误； 对C：因为在函数中，当时，随的增大而减小，故C项正确； 对D：因为在函数中，所以随的增而增大，故D项错误. 故选：C． 4．已知的单调区间有（    ） A．增区间 B．减区间 C．增区间 D．减区间 【答案】D 【分析】根据反比例函数的单调性确定单调区间即可. 【详解】已知为反比例函数， 其中，所以在和上为减函数， 所以的单调区间有减区间， 故选：D. 5．函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数性质可判断. 【详解】由题知此函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递增， 则； 故选：B. 6．奇函数在区间上是增函数且最小值为2，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为 B．减函数且最大值为 C．增函数且最小值为 D．增函数且最大值为 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】奇函数在区间上是增函数，根据奇函数的性质可知在区间也为奇函数， 因为在区间上的最小值为2，即当，， 设，则，， 所以在区间的最大值为， 所以在区间上是增函数且最大值为， 故选：. 7．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合幂函数的单调性，根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增，若，可以推出“”，所以“”是“”的充分条件. 反过来，若“”， 由函数在上单调递增可以推出“”，所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的单调性结合函数图像即可求解. 【详解】因为反比例函数图象的一支位于第二象限， 所以，解得， 所以常数m的取值范围为. 故答案为：． 知识点2 函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 3. 函数的值域： 常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 4. 求函数值域的常用方法： 图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 1．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析函数的单调性，再求解值域即可. 【详解】因为函数为，， 所以函数为增函数， 所以当时，， 所以函数的值域为. 故选：D. 2．（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，则其值域是 . 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性求其值域，从而得解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，； 当时，； 所以的值域为. 故答案为：. 3．（22-23高三·陕西·模拟预测）某商场以每件42元的价格购进一批商品，由试销知道每天的销售量（件）是每件销售价格（元）的一次函数，且时，；时，. (1)写出与的函数关系式； (2)商场想要每天获得这种商品的最大利润，每件的销售价格应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每件的销售价格应定为55元，最大利润为507元 【分析】（1）设与的函数关系式为，利用待定系数法求解； （2）利用配方法，结合二次函数的性质可求得答案. 【详解】（1）设与的函数关系式为， ∵时，；时，， ∴且，解得， ∴与的函数关系式为. （2）设商场每天获得这种商品的利润为， 则， 则当时，， 则商场想要每天获得这种商品的最大利润，每件的销售价格应定为55元，最大利润为507元. 4．（23-24高三上·陕西·一模）某餐馆加工一种食品在网上销售，每天的销售量x份与销售单价p（元/份）之间的函数关系式为，加工份成本的函数关系式为，产销平衡. (1)求每天的利润关于销售量的函数关系式； (2)当销售量为何值时，每天能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售量为30份时，每天的利润最大，最大利润是1300元 【分析】（1）由题知，，且，可得，再根据可求解； （2）由（1）的结论，根据二次函数的图象和性质可求解. 【详解】（1）由题知， ，且 所以. ； （2）由（1）知， 故当时，. 所以当销售量为30份时，每天的利润最大，最大利润是1300元. 1．函数，则函数在区间内的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可解得. 【详解】由题，函数， 函数对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则在区间内，函数的最大值为，最小值为， 故函数值域为. 故选：A. 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的最值求解即可. 【详解】因为函数，图像开口向上， 则函数的最小值为，无最大值. 故值域为. 故选：A. 3．已知函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】函数，在定义域上为增函数， 时，当时，函数值最小为；当，函数值最大为， 所以值域为， 故选：. 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，即即可. 【详解】，， ， 故选：A. 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可得答案. 【详解】函数的定义域为，则值域是. 故选：A. 6．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别代入函数解析式，即可求解. 【详解】因为函数，， 当时，， 当时，， 所以函数，的值域是. 故选：C 7．求下列函数的值域． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离常数法求函数的值域即可； （2）利用变量代换和二次函数的性质求出函数的值域即可. 【详解】（1）由，解得， 所以的定义域为， 则， 由于，所以. （2）令，则，且， 代入原式，得， 二次函数开口向上， 对称轴为， 代入函数可得最小值， 所以，即的值域为. 8．若函数的图像如图所示，则： （1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． （本题结果要求用区间表示） 【答案】 【分析】观察图像，结合定义域和值域的概念，即可得到答案. 【详解】（1）由图可知，函数的定义域为从到以及到，不包括的所有实数，即. （2）由图可知，函数的值域为从到，不包括的所有实数，即. 故答案为：； 9．函数在闭区间的值域是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的值域求解即可解得. 【详解】由题，函数为开口向下，对称轴为的抛物线， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， ， 故所求函数值域为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$