1.3一元二次方程根与系数的关系 学案2025-2026学年苏科版九年级数学上册

九年级数学教（学）案 一1.3元二次方程的根与系数关系 学习目标：用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；用根的判别式解决相关问题. 重点、难点：1.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 2. 用根的判别式解决相关问题. 典型例题： 例1. 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0． ①不解方程，判别方程根的情况； ②若方程有一个根为﹣1，求m的值． 练习1．已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0． （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值． 例2．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解． 练习2．当k取何值时，关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根？并求出此时方程的根． 课堂检测： 1．下列一元二次方程：①x2+1＝0，②x2﹣2x+1＝0，③x2+4x+4＝0，④x2﹣9＝0，其中有两个不相等实数根的方程个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（　　） A．ax2﹣x+2＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣x﹣m＝0 D．x2﹣mx﹣1＝0 3．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜ B．a＜且a≠﹣1 C．a＞ D．a＞且a≠﹣1 5．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　） A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c 6．已知关于x的一元二次方程x2+2x＝m（m为常数）． ①当m＝5时，求这个方程的解； ②当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？ 课后作业： 姓名 一．选择题 1．关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1，且m≠0 D．m＞1，且m≠0 2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A．4x2＝4x﹣1 B．5x2﹣3x+4＝0 C．2x2﹣x＝0 D．x2+2x﹣1＝0 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣2 4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+1＝0的两个实数根相等，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣1 5．（B层）定义：当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程mx2+nx+p＝0有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（　　） A．m＝4n＝4p B．m＝n＝4p C．m＝4n＝p D．4m＝n＝p 二.填空题 6．若一元二次方程mx+x2+2＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　． 7．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是 　 　． 8．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　． 9．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为 　 　． 10．若一元二次方程kx2﹣4x﹣5＝0有两个实数根，求k的取值范围　 　． 11．（B层）定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，且关于x的方程有两个不相等实数解，则k取值范围是　 　． 12．（B层）关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有一个实数根，则k的值是 　 　． 13．（B层）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　． 三.解答题 14．设一元二次方程x2+ax﹣2＝0． （1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值； （2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解． 15．对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n． （1）求﹣2△得值； （2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值． 16．（B层）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0． （1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$