【第十四章 全等三角形 02讲 三角形全等的判定】【六大知识点+14大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十四章 全等三角形 02讲 三角形全等的判定 题型归纳 【题型1. 用SSS证明三角形全等】……………………………………………………… 3 【题型2. 用SAS证明三角形全等】……………………………………………………… 5 【题型3. 用ASA证明三角形全等】……………………………………………………… 6 【题型4. 用AAS证明三角形全等】……………………………………………………… 7 【题型5. 用HL证明三角形全等】……………………………………………………… 8 【题型6. 添加条件使三角形全等】……………………………………………………… 9 【题型7. 全等三角形判定综合】………………………………………………………… 11 【题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线】……………………………… 12 【题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转】……………………………………… 13 【题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线】……………………………………… 15 【题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他】……………………………………… 16 【题型12. 全等三角形综合问题】………………………………………………………… 17 【题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角】………………………………………… 19 【题型14. 尺规作图——作三角形】……………………………………………………… 20 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 21 知识清单 知识点1 全等三角形的判定（SSS） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点2 全等三角形的判定（SAS） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点3 全等三角形的判定（ASA） 1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点4 全等三角形的判定（AAS） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点5 全等三角形的判定（HL） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点6 尺规作图（作一个角等于已知角） （1） 求作∠A’O’B’，使得∠A’O’B’=∠AOB. 作法：① 如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D； ② 如图（2），作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’； ③ 如图（3），以点C’为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相较于点D’； ④ 如图（4），过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’=∠AOB.（4） （3） （2） 证明：如图14.2-16，连结CD，C’D’ 由步骤（1）（2）作法，可得：OC=O’C’，OD=O’D’ 由步骤（3）作法，可得：CD=C’D’ 在△COD和△C’O’D’中，∵ ∴ △COD≌△C’O’D’（SSS） ∴ ∠A’O’B’=∠AOB 题型专练 题型1. 用SSS证明三角形全等 【例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到两三角形全等即可解题． 【详解】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等， 故选：C． 【例2】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案． 【详解】在和中， ， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 题型2. 用SAS证明三角形全等 【例1】（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 【例2】（2025·云南·模拟预测）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，可得，再由，可得，再由边角边可证得，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，点E、F在线段上，且．请说明的理由． 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定．由得到，由得到，从而根据“”证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 题型3. 用ASA证明三角形全等 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 【变式1】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 【变式2】（2025·云南昆明·二模）如图，，，，求证：． 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用两直线平行同位角相等得到，由此根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 题型4. 用AAS证明三角形全等 【例1】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 【变式2】（17-18八年级上·广东汕头·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 题型5. 用HL证明三角形全等 【例1】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，求证：． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键． 利用“斜边、直角边”判定和全等，根据三角形全等的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴和是直角三角形． 在和中， ， ∴． ∴． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）按要求完成下列各小题： (1)在中，，，求的度数； (2)如图，，，．求证：． 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先证明，根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型6. 添加条件使三角形全等 【例1】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴不能判定，故选项符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当选择①时，与的夹角为，不是， 故无法判定； 不选择①； 当选择②时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：②． 题型7. 全等三角形判定综合 【例1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：． 证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再证明即可证明，进而求解即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． ， ． ． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行线的性质和全等三角形的判定方法证明和，再根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【变式3】（2025·福建福州·三模）如图，，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，即可解决问题．解决本题的关键是得到． 【详解】证明：， 在和中， ， ， ． 题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线 【例1】（20-21八年级上·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可； （2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如图， 判断： 证明如下： 延长至点，使得，连接 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵AD平分∠BAC ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键． 【变式1】（20-21七年级下·陕西西安·期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长． 【分析】问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）； 问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论； 拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解． 【详解】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； 问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC≌△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∵AB＝4，AC＝3， ∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∵DE＝AD， ∴AD＝AE， ∴＜AD＜； 拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN， 由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS）， ∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM， ∴AC//BN， ∵AC＝AD， ∴BN＝AD， ∵AC//BN， ∴∠BAC+∠ABN＝180°， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠ABN＝∠EAD， 在△ABN和△EAD中， ， ∴△ABN≌△EAD（SAS）， ∴AN＝DE， ∵MN＝AM， ∴DE＝AN＝2AM， ∵AM＝3， ∴DE＝6． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转 【例1】（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 【变式1】（20-21八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他 【例1】（20-21八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【变式1】（2021八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【详解】方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 题型12. 全等三角形综合问题 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”求解即可． 【详解】解：∵，，为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 综上所述，全等三角形共有5对， 故选：C ． 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 【变式1】（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）具备下列条件的两个三角形，能判定它们全等的是（     ） A．两边及其中一边的对角分别相等 B．两边及其中一边上的高分别相等 C．两边及第三边上的高分别相等 D．两边及第三边上的中线分别相等 【分析】根据三角形全等的判定定理，依次进行判断即可． 【详解】解：A、两边及其中一边的对角分别相等，不能证明三角形全等； B、两边及其中一边上的高分别相等，可以利用HL先证明直角三角形全等，可得出对应角相等，然后利用边角边即可证明三角形全等； C、两边及第三边上的高分别相等，不能证明三角形全等； D、两边及第三边上的中线分别相等，不能证明三角形全等． 【点睛】题目主要考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理并运用是解题关键． 【变式2】（21-22八年级上·广东惠州·期中）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，求的值． 【分析】已知∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出，或，进而算出时间t，再算出v即可． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为厘米/秒， 点的运动时间为： （厘米/秒）； 若，则需厘米，， 解得：； 综上可得：的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解题关键． 【变式3】（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）若AD＝12，BF：CF＝2：3，求BC的长． 【分析】（1）由平行线的性质得出∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠EFC．证明△ADE≌△CFE（AAS）．可得出DE=EF； （2）由全等三角形的性质得出AD=CF=12，求出BF=8，则可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠EFC． 又∵E为AC的中点， ∴AE=CE． 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． ∴DE=EF． （2）解：∵△ADE≌△CFE， ∴AD=CF=12， ∵BF：CF=2：3， ∴BF=8， ∴BC=BF+CF=8+12=20． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，请在的边上找一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法． 通过尺规作图，构造一个角等于已知角，利用作一个角等于已知角的基本作图步骤来确定点的位置． 【详解】如图：点即为所求，使． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，请直接写出与之间满足的数量关系． 【分析】本题主要考查了尺规作图，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握基本作图方法． （1）根据作一个角等于已知角的作图方法作图即可； （2）根据得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型14. 吹规作图——作三角形 【例1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作一条线段等于已知线段是解题关键，在延长线上截取，在延长线上截取，连接即可得出． 【详解】解：如下图，即为所求作． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【分析】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 先作射线，然后作，在射线上作，再作，即可． 【详解】解：如图，即为所求． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：甲：不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 综上分析可知：和全等的图形是乙和丙． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 3．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 5．（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C符合题意； ∵， ∴，则选项D符合题意； ∵，， ∴，则选项B符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A不符合题意； 故选：A． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【详解】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 7．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 8．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 9．（21-22八年级上·广西南宁·期中）如图，是的平分线，于点，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键． 延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，推出，进而可求出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于E， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 10．（22-23九年级下·河北衡水·期中）将三个全等的三角形（），按如图所示的方式摆放（三对顶点重合），下列判断正确的是（    ） 甲：图中四个三角形组成的图形是等边三角形； 乙：若点O是的内心，则它同时是的外心； 丙：图中的面积和其他三个全等三角形的面积相等 A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙正确 【分析】由全等三角形的性质及三点共线，即可证明甲是错误的；过点O作于点P，作于点M，作于点Q，连接，由三角形内心和外心和内心的定义即可证明乙正确；通过证明是等边三角形，即可证明丙错误． 【详解】∵阴影三角形是三个全等的三角形， ∴， ∴， 但无法证明点及及三点共线， ∴不一定是等边三角形， 故甲错误； 如图，过点O作于点P，作于点M，作于点Q，连接，    ∵点O是的内心， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是三个全等三角形的中线， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴点O同时是的外心；故乙正确； 丙：∵是等边三角形， ∴的面积和其他三个全等三角形的面积明显不相等， 故丙错误； 综上，只有乙正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是区别内心和外心． 二、填空题 11．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 16．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【分析】首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵， ，点D为的中点， ∴厘米， ∵， ∴， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点Q的速度为：； 时，，故点Q的速度为：； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 18．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 20．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【详解】解：①∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故①正确； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题 21．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以C为圆心，以的长为半径画弧，以B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，点是的边上一点，请用尺规作图法，过点作直线的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 作，利用同位角相等，可得． 【详解】解：直线即为所求． 23．（江西省上饶市部分学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）已知：如图，，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，，，和相等吗？请说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 直接根据证明，再根据全等三角形对应边相等即可求证． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键．先过点作于点，再证明，可得从而可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ． 26．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴． 27．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 28．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据垂直定义得，根据，得，进而可依据“”判定和全等； （2）①，先由（1）的结论得，，进而可依据“”判定和全等；②，先由得，，再证明，，进而可依据“”判定和全等；③，根据，，，可依据“”判定和全等；④和，先根据垂直定义得，再根据，，可依据“”判定和全等，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 30．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，．综上，当与全等时，的值为3或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 02讲 三角形全等的判定 题型归纳 【题型1. 用SSS证明三角形全等】……………………………………………………… 3 【题型2. 用SAS证明三角形全等】……………………………………………………… 5 【题型3. 用ASA证明三角形全等】……………………………………………………… 6 【题型4. 用AAS证明三角形全等】……………………………………………………… 7 【题型5. 用HL证明三角形全等】……………………………………………………… 8 【题型6. 添加条件使三角形全等】……………………………………………………… 9 【题型7. 全等三角形判定综合】………………………………………………………… 11 【题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线】……………………………… 12 【题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转】……………………………………… 13 【题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线】……………………………………… 15 【题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他】……………………………………… 16 【题型12. 全等三角形综合问题】………………………………………………………… 17 【题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角】………………………………………… 19 【题型14. 尺规作图——作三角形】……………………………………………………… 20 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 21 知识清单 知识点1 全等三角形的判定（SSS） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点2 全等三角形的判定（SAS） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点3 全等三角形的判定（ASA） 1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点4 全等三角形的判定（AAS） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点5 全等三角形的判定（HL） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点6 尺规作图（作一个角等于已知角） （1） 求作∠A’O’B’，使得∠A’O’B’=∠AOB. 作法：① 如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D； ② 如图（2），作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’； ③ 如图（3），以点C’为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相较于点D’； ④ 如图（4），过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’=∠AOB.（4） （3） （2） 证明：如图14.2-16，连结CD，C’D’ 由步骤（1）（2）作法，可得：OC=O’C’，OD=O’D’ 由步骤（3）作法，可得：CD=C’D’ 在△COD和△C’O’D’中，∵ ∴ △COD≌△C’O’D’（SSS） ∴ ∠A’O’B’=∠AOB 题型专练 题型1. 用SSS证明三角形全等 【例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 题型2. 用SAS证明三角形全等 【例1】（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·云南·模拟预测）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，点E、F在线段上，且．请说明的理由． 题型3. 用ASA证明三角形全等 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【变式1】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（2025·云南昆明·二模）如图，，，，求证：． 题型4. 用AAS证明三角形全等 【例1】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【变式1】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（17-18八年级上·广东汕头·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 题型5. 用HL证明三角形全等 【例1】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）按要求完成下列各小题： (1)在中，，，求的度数； (2)如图，，，．求证：． 题型6. 添加条件使三角形全等 【例1】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型7. 全等三角形判定综合 【例1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：． 证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 【变式3】（2025·福建福州·三模）如图，，求证：． 题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线 【例1】（20-21八年级上·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 【变式1】（20-21七年级下·陕西西安·期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长． 题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转 【例1】（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【变式1】（20-21八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他 【例1】（20-21八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【变式1】（2021八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 题型12. 全等三角形综合问题 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【例2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【变式1】（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）具备下列条件的两个三角形，能判定它们全等的是（     ） A．两边及其中一边的对角分别相等 B．两边及其中一边上的高分别相等 C．两边及第三边上的高分别相等 D．两边及第三边上的中线分别相等 【变式2】（21-22八年级上·广东惠州·期中）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，求的值． 【变式3】（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）若AD＝12，BF：CF＝2：3，求BC的长． 题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，请在的边上找一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，请直接写出与之间满足的数量关系． 题型14. 吹规作图——作三角形 【例1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 5．（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 7．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 9．（21-22八年级上·广西南宁·期中）如图，是的平分线，于点，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级下·河北衡水·期中）将三个全等的三角形（），按如图所示的方式摆放（三对顶点重合），下列判断正确的是（    ） 甲：图中四个三角形组成的图形是等边三角形； 乙：若点O是的内心，则它同时是的外心； 丙：图中的面积和其他三个全等三角形的面积相等 A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙正确 二、填空题 11．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 13．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    15．（24-25七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么 ． 16．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则 17．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 18．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 19．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 20．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是 ．（填序号） 三、解答题 21．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 22．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，点是的边上一点，请用尺规作图法，过点作直线的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（江西省上饶市部分学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）已知：如图，，求证：． 24．（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，，，和相等吗？请说明理由． 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 26．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 28．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 29．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 30．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当与全等时，求出相应的x与t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$