2.2.1 有理数的乘法教学设计 2025-2026学年人教版七年级数学上册

本文围绕有理数乘法法则及其运算律展开，通过观察数列规律引导学生归纳法则。承接小学正数乘法及有理数加法，为后续代数运算奠基。教学中借助实例探究，培养学生抽象、推理、运算等核心素养，提升其用数学眼光观察、思维思考、语言表达世界的能力。 该设计创新点在于从具体算式出发引导自主探究。特色教法凸显学生主体地位，有效突破多个有理数相乘符号判断这一难点，为教师提供清晰授课路径，助力学生形成逻辑思维，提升综合运算能力。

2.2.1 有理数的乘法 教材分析 本节课内容为有理数的乘法法则及其运算律，通过观察数列规律归纳出正负数相乘的符号规则，并进一步推广到多个有理数相乘的情形，接着研究了乘法交换律、结合律及分配律在有理数范围内的适用性。教学过程从具体算式出发，引导学生自主探究乘法法则与运算律的成立规律。本节内容承接了小学正数乘法的学习基础，同时为后续有理数的除法、幂运算以及代数式的运算打下坚实基础。通过本节课学习，学生不仅能掌握有理数乘法的计算方法，还能提升归纳推理能力和符号运算能力，为后续代数知识的学习做好准备。 学情分析 七年级学生已经掌握了正数及0的乘法运算，并理解有理数的加法法则，具备一定的运算基础和逻辑思维能力，能够通过观察算式发现规律并归纳结论，但面对负数参与的乘法运算时，符号的处理和积的绝对值计算仍具有一定挑战性，需要借助已有知识类比迁移，逐步建立有理数乘法的运算法则。本节课要求学生通过观察乘法算式的规律，归纳有理数乘法的符号法则和绝对值运算规则，并能运用法则进行有理数乘法运算，同时理解多个有理数相乘时积的符号确定方法。通过本节课的学习，学生将进一步发展符号意识和推理能力，为后续学习有理数的除法、幂运算以及代数式的运算奠定基础。 教学目标 理解有理数乘法法则的形成过程，掌握两数相乘符号的确定方法及积的绝对值计算方式，通过观察数列规律，提升数学抽象与逻辑推理能力，发展符号意识和运算能力。 能运用有理数乘法法则进行计算，理解负数乘负数结果为正的合理性，提高数学运算技能，增强数感和数学表达能力。 掌握有理数乘法交换律、结合律及分配律的结构特征，能在实际问题中灵活应用运算律简化计算，培养归纳推理能力和模型观念，提升综合运算与问题解决能力。 理解多个有理数相乘时积的符号确定规则，能结合负因数个数判断积的正负，提升归纳概括能力，发展数学思维的条理性与系统性。 重点难点 重点： 理解并掌握有理数乘法法则，会运用运算律进行有理数乘法运算。 难点： 探究有理数乘法法则的过程，理解多个有理数相乘时积的符号确定。 课堂导入 同学们，我们先来看一个有趣的情境。假设一辆汽车在笔直的公路上以每小时 50 千米的速度向东行驶，2 小时后它在什么位置？大家很容易算出它在东边 100 千米处，也就是千米。那如果汽车以每小时 50 千米的速度向西行驶，2 小时后它又在什么位置呢？此时它在西边 100 千米处，用式子表示就是千米。同样是乘法运算，出现了负数参与的情况，那有理数的乘法到底有怎样的规律和法则呢？今天，我们就一起来探究有理数的乘法法则。 有理数的乘法法则 探究新知 （一）知识精讲 让我们从熟悉的乘法运算开始探索。观察下面两组算式： 第一组算式： ， ， ， 。 第二组算式： ， ， ， 。 可以发现一个有趣的规律：在第一组算式中，随着第二个乘数每次减少1，积就减少3；在第二组算式中，随着第一个乘数每次减少1，积也减少3。这个规律在引入负数后仍然成立，于是我们得到： ， ， ； ， ， 。 再观察另一组算式： ， ， ， 。 这次我们发现：随着第二个乘数每次减少1，积反而增加3。按照这个规律继续推导： ， ， 。 通过以上观察，我们可以总结出有理数乘法的两个重要结论： 符号法则：同号相乘得正，异号相乘得负。 绝对值法则：积的绝对值等于乘数绝对值的乘积。 特别地，任何数与0相乘都得0。用数学符号表示就是： 设、为正有理数，则 ， ； ， ； ，。 （二）师生互动 教师提问：同学们，我们已经知道，那么等于多少呢？为什么？ 学生回答：也等于3，因为乘法交换律在有理数范围内仍然成立。 教师追问：很好！那如果两个数的乘积是1，比如，这两个数之间有什么关系呢？ 学生思考后回答：它们互为倒数。 教师继续引导：正确！那么0有倒数吗？为什么？ 学生回答：0没有倒数，因为任何数乘以0都得0，不可能得到1。 （三）设计意图 通过观察具体算式的变化规律，引导学生发现有理数乘法的运算法则，培养学生的观察能力和归纳推理能力。从特殊到一般的推导过程，帮助学生理解数学规律的普遍性。通过师生互动，加深学生对乘法法则的理解，特别是对"负负得正"这一关键概念的认识。整个探究过程注重培养学生的数学思维能力和严谨的学习态度，为后续学习奠定坚实基础。 新知应用 例1题目： 计算： (1) ; (2) ; (3) 解答： (1) 我们先看两个乘数的符号：一个是正数8，一个是负数-1。 根据有理数乘法法则：“异号得负”，所以结果是负数。 再看绝对值相乘： 所以： (2) 两个乘数分别是负数和负数。 根据有理数乘法法则：“同号得正”，所以结果是正数。 再看绝对值相乘： 所以： (3) 两个乘数都是负数，分别是和。 根据有理数乘法法则：“同号得正”，所以结果是正数。 再看绝对值相乘： 所以： 总结： 1. 题目考查内容 ① 有理数乘法的基本法则； ② 正负号的判断与绝对值的运算； ③ 分数乘法的计算。 2. 题目求解要点 ① 先判断两个乘数的符号关系（同号或异号），确定积的符号； ② 再将两个乘数的绝对值相乘，得到积的大小； ③ 对于分数乘法，注意分子乘分子、分母乘分母，并进行约分。 例2题目： 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为-6 ℃，登高3 km后，气温有什么变化？ 解答： 题中给出的信息是： 每登高1 km，气温下降6 ℃，即气温变化量为 -6 ℃/km。 登山队共登高了 3 km。 因此，总的气温变化量为： 说明气温下降了18 ℃。 总结： 1. 题目考查内容 ① 有理数乘法在实际问题中的应用； ② 正负数的实际意义（气温变化方向）； ③ 单位变化率与总量之间的关系。 2. 题目求解要点 ① 理解“每单位变化”与“总变化”的关系，使用乘法模型； ② 注意单位的一致性（℃/km × km = ℃）； ③ 根据乘法法则判断结果的符号，结合实际情境解释其含义。 新知巩固 题目： 第1题：下列计算结果比小的是（ ） 选项： A． B． C． D． 解答： 我们逐项计算每个选项的值，并与进行比较。 A. 根据有理数加法法则： 比较：，所以这个选项比小。 B. 减法转化为加法： 比较：，不符合要求。 C. 根据有理数乘法法则（负负得正）： 比较：，不符合要求。 D. 根据有理数除法法则（负除以负得正）： 比较：，不符合要求。 综上所述，只有选项 A 的结果为 ，比 小。 答案：A 总结： 1. 题目考查内容 本题考查有理数的基本运算（加法、减法、乘法、除法）及其结果的大小比较。 2. 题目求解要点 掌握有理数加法、减法、乘法和除法的运算法则； 特别注意符号的处理（如负负得正）； 能够对结果进行数值大小的比较。 3. 同类型题目解题步骤 明确每个选项中的运算类型； 按照运算法则逐步计算； 判断结果是否满足题设条件（如“比某数小”）； 对比选项，选出符合要求的答案。 题目： 第2题：若 、 互为相反数，、 互为倒数， 的绝对值等于2，则表达式 的值是（ ） 选项： A． 或 3 B．1 或 3 C．1 或 D． 或 解答： 我们逐项分析并代入已知条件进行计算。 已知条件： 、 互为相反数 ⇒ 、 互为倒数 ⇒ ⇒ 或 将这些代入原式： 分别代入 和 ： 当 时，结果为 当 时，结果为 因此，表达式的值可能是 或 答案：A 总结： 1. 题目考查内容 本题综合考查相反数、倒数、绝对值的概念以及代数式的化简求值。 2. 题目求解要点 理解相反数的定义：和为0； 理解倒数的定义：乘积为1； 理解绝对值的定义：距离原点的距离； 能够代入具体数值进行代数运算； 注意分类讨论（有两个可能取值）。 3. 同类型题目解题步骤 提取题干中给出的数学关系（如相反数、倒数等）； 将这些关系代入表达式中简化； 若存在多个情况（如绝对值），进行分类讨论； 分别计算每种情况下的结果； 选择符合题意的选项。 有理数乘法运算律 探究新知 （一）知识精讲 让我们通过具体计算来探究有理数乘法的运算律。首先计算和，可以看到交换乘数的位置，积保持不变。再尝试其他例子如和，同样验证了这个规律。由此我们得出有理数乘法的交换律：。 接下来研究乘法结合律。计算和，结果相同。再举一例：和，进一步验证了结合律。 现在探究分配律。计算和，结果一致。再验证和，都支持分配律。 观察几个不为0的数相乘的符号规律： （2个负号，积为正） （3个负号，积为负） （4个负号，积为正） 通过以上例子可以总结：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；如果其中有乘数为0，那么积为0。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果计算，积的符号会是什么？为什么？ 学生回答：积应该是负数，因为有三个负号相乘，奇数个负号得负。 教师追问：很好！那如果把这个式子中的换成，积的符号会怎样变化？ 学生思考后回答：这时会有四个负号相乘，偶数个负号得正，所以积会变成正数。 教师继续提问：那么的结果是多少？为什么？ 学生回答：结果是0，因为任何数与0相乘都得0。 （三）设计意图 通过具体计算实例引导学生发现有理数乘法的运算律，培养其观察能力和归纳推理能力。借助直观的计算结果帮助学生理解抽象的运算规律，体现了从具体到抽象的认知过程。通过师生互动中的层层设问，引导学生深入思考符号规律的本质，培养其逻辑思维能力和数学表达能力。让学生在探究过程中体会数学规律的普遍性和严谨性，增强学习数学的信心和兴趣。 新知应用 例3题目： (1) 计算 ； (2) 用两种方法计算 解答： (1) 我们来逐步计算这个乘法表达式： 我们可以利用乘法的交换律和结合律，先将容易计算的数先相乘。 观察发现： （因为 ） 所以原式可以写成： (2) 我们用两种方法来计算这个表达式： 解法1：先合并括号内的分数，再乘以12 我们先通分，找到公分母为12： 代入得： 解法2：利用乘法分配律分别相乘后相加 分别计算： 所以： 总结： 1. 题目考查内容 ① 有理数乘法的交换律、结合律与分配律的应用； ② 多个有理数相乘时的运算顺序与符号判断； ③ 分数的加减与乘法运算； ④ 利用不同方法验证结果一致性的数学思想。 2. 题目求解要点 ① 灵活运用乘法交换律和结合律简化计算过程； ② 对于多个负数相乘，注意积的符号由负因数的个数决定； ③ 在涉及分数的运算中，优先通分或分别分配乘法进行计算； ④ 通过两种方法得出相同结果，体现运算律的正确性和灵活性。 新知巩固 题目： 下面运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 解答： 我们逐项分析每个选项是否正确。 A． 先计算括号内的加法： 再乘以24： 所以 A 是正确的。 B． 先合并同分母的分数： 再加 ： 原式结果应为 ，不是 ，所以 B 错误。 C． 这个式子是合并同类项的尝试，但 和 不是同类项（变量的幂不同），不能直接相减。因此 C 错误。 D． 先去括号： 所以整体为： 原式应等于 1，而不是 ，所以 D 错误。 综上所述，只有 A 正确。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查有理数的混合运算、分配律、分数加减、代数式的化简等基础知识。 2. 题目求解要点 分数加减要通分； 乘法要先计算括号内； 合并同类项时要注意变量及其指数是否一致； 去括号时注意符号的变化； 每一步都要仔细验证，避免跳步导致错误。 3. 同类型题目解题步骤 观察每个选项涉及的运算类型（加减乘除、括号、分配律等）； 逐项计算，优先处理括号内的内容； 注意分数的通分与约分； 判断是否为同类项，决定能否合并； 去括号时注意负号对括号内每一项的影响； 最后对比计算结果与选项是否一致，得出正确答案。 板书设计 有理数的乘法 ├─ 乘法法则 │ ├─ 同号得正：， │ ├─ 异号得负：， │ ├─ 与0相乘：， │ └─ 总结：两数相乘，先定符号，再算绝对值 ├─ 倒数 │ └─ 定义：乘积是1的两个数互为倒数 ├─ 运算律 │ ├─ 交换律： │ ├─ 结合律： │ └─ 分配律： └─ 多个数相乘 ├─ 有0则积为0 └─ 无0时，负乘数偶数个，积为正；奇数个，积为负 教学反思 本节课围绕有理数乘法法则的归纳与应用展开，通过观察算式规律引导学生自主发现正负数相乘的符号规则，并进一步探究多个有理数相乘时积的符号判断方法。教学设计注重学生思维的引导和规律的自主归纳，体现了“由特殊到一般”的数学思想。课堂中通过层层设问、实例演算等方式激发学生思考，较好地达成了教学目标。成功之处在于通过对比、类比等方法帮助学生理解抽象规则，学生能较好掌握两数相乘的符号法则及绝对值运算方式。不足之处在于对多个负数相乘时符号判断的讲解略显仓促，部分学生在变式训练中仍存在混淆现象。今后应加强符号判断的专项训练，并通过更多具体情境提升学生的数学抽象与运算能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$