第10讲：单调性与最大（小）值【九大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第10讲：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．（24-25高一上·全国）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数，满足． (1)求的解析式； (2)求证：在上是增函数． 题型二、求函数的单调区间 4．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 7．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·河北沧州·期中）如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 12．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 命题点3 根据函数的单调性解不等式 13．（25-26高一上·全国）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型四、利用函数的单调性求最值 16．（25-26高一上·全国）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 题型五、根据函数的最值求参数问题 19．（24-25高一上·全国）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 20．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 22．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：函数单调性和最值综合问题 25．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 26．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 27．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 31．（24-25高一上·北京·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数在和上单调递减 C．函数在定义域上的最小值为2 D．函数的图象关于点对称 9．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，值域为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 10．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 三、填空题 11．（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 12．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）若函数在上为增函数，求的取值范围. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较的大小； (2)若，比较与的大小关系； (3)求不等式的解集． 18．（25-26高一上·全国）已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲：单调性与最大（小）值 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【例题详解】 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．（24-25高一上·全国）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【分析】根据题意结合单调性的定义分析证明即可. 【详解】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】函数在上单调递减，利用单调性的定义证明即可. 【详解】函数在上单调递减. 证明如下：任取，且，则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以函数在上是单调递减函数. 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数，满足． (1)求的解析式； (2)求证：在上是增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入计算出，由此可求的解析式； （2）先取值，然后对进行因式分解并根据条件判断出其正负，由此可证明出单调性. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以的解析式为. （2）且， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数. 题型二、求函数的单调区间 4．（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 5．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】， 画出的图象如下： 的单调减区间为， 故选：A    6．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 题型三、单调性的应用 命题点1 已知单调区间求参数 7．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数及反比例函数的性质，列出不等式求解即可. 【详解】因为当时，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 又因为当时，， 又因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：D. 命题点2根据图像判断函数的单调性问题 10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 11．（23-24高一上·河北沧州·期中）如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用. 【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和， 故选：C. 12．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式； （2）观察图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 命题点3 根据函数的单调性解不等式 13．（25-26高一上·全国）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 14．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得函数单调性，利用函数单调性得不等式解集. 【详解】因为，所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时，， 当时，代表同号， 所以等式的解集是. 故选：B. 15．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 题型四、利用函数的单调性求最值 16．（25-26高一上·全国）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）定义法证明单调性：任取且，通过与的关系判断函数的单调性； （2）根据函数单调性求最值. 【详解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 所以，即， 所以是上的减函数. （2）由（1）知是上的减函数， 所以，. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 题型五、根据函数的最值求参数问题 19．（24-25高一上·全国）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选： 20．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 21．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 22．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 23．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 24．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 题型七：函数单调性和最值综合问题 25．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 26．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）分类讨论即可求解. 【详解】（1） 当时，，则， 当时，，则， （2）任取，故， 由于,所以， 因此，故， 因此函数在区间上是增函数， （3）当时，由时，，解得或， 当时，由时，，解得， 综上可得不等式的解集为． 27．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 4．（24-25高一上·北京·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 6．（24-25高一上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】令，，依题意可得，恒成立， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上可得的取值范围是. 故选：B 二、多选题 6．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 7．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 【答案】ABC 【分析】直接由函数的解析式判断其单调性，从而得解. 【详解】对于A，函数，定义域为， 由函数和在和上都单调递增， 所以在和上单调递增，A正确； 对于B，函数， 其图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 由于反比例函数在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B正确； 对于C，当时，函数， 所以在上为增函数，C正确； 对于D，函数在上单调递减，上单调递增，D错误. 故选：ABC. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数在和上单调递减 C．函数在定义域上的最小值为2 D．函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】先对函数分离变形，结合反比例函数的性质以及函数图像的变换逐一验证即可. 【详解】，，即， 则的定义域为，A正确； 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B正确； 由，没有最小值，可知C错误； 关于点对称，关于点对称， 关于点对称，D正确． 故选：ABD 9．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，值域为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】由函数的单调性逐项分析即可； 【详解】A，为递增函数，所以，故A正确； B，在上为开口向下的递减函数，所以，故B错误； C，为在定义域上为递增函数，所以，故C正确； D，在为减函数，所以，故D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 12．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】（1）对称轴直线恰好在直线处，即，即． （2）对称轴直线应在直线处或其左侧，即，解得． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）若函数在上为增函数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】由在上递增， 则，即. 在上递增，则， 又在上为增函数， 所以还需，得. 综上：的取值范围是. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据函数的增函数定义进行证明即可. （2）结合（1）中证明的递增函数性质直接求出最大值和最小值. 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较的大小； (2)若，比较与的大小关系； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）二次函数，即的图象如图所示．由图象可知． （2）函数图象的对称轴为直线，当时，根据函数的图象可知． （3）因为不等式，所以当时，，由图可知此时；当时，，由图可知此时．所以不等式的解集为． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设． 当时，，所以，所以函数在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）解：①当时，，不满足条件． ②当时，易知函数在上单调递增，则满足即解得，不满足条件． ③当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值应在处取得．当时，函数在上的最小值为，所以，解得，经检验，符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件．综上，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$