2025年高二数学秋季开学摸底考（江苏专用）

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 2.复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 【答案】A 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由是纯虚数，得，所以. 故选：A 3．在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 又，、不共线， 所以，所以. 故选：C 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可. 【详解】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可 【详解】因为， 所以，且， 所以， 所以， 所以． 故选：C． 6.在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论. 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 7.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【答案】C 【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可. 【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 8.如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值． 【详解】过点分别作交于点，交于点，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（   ） A．极差 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】AD 【分析】求出.B样本数据，然后分别求解极差判断A，根据众数的概念判断B，根据平均数的性质判断C，根据方差的含义判断D. 【详解】由题意得B样本数据为4，5，7，11，11，16，样本A的极差为， 样本B的极差为，极差相同，A正确． 样本A的众数为13，样本B的众数为11，B错误． 样本A的平均数比样本B的平均数大2，C错误． 样本A和B中的数据的稳定性相同，则样本A和B的方差相同，D正确． 故选：AD 10.已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由，结合余弦定理，求得和，进而得到，再由正弦定理，得到，可判定A正确；由，求得，可判定B不正确；由，求得，所以，由正弦定理，求得，再由，结合面积公式，可判定C正确；由，求得，得到，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由余弦定理得， 因为，可得和，可得， 又由正弦定理，可得，即， 所以，所以A正确； 对于B中，由， 可得，解得， 因为，所以或，所以B不正确； 对于C中，由，且，可得，所以， 因为，由正弦定理，可得， 又由， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，由，可得 可得， 则， 当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确. 故选：ACD. 11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12.甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 【答案】 【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数. 【详解】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜， 因为甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则乙连赢三局的概率为， 甲获胜的概率为， 所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的， 所以元. 故答案为：. 13.如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答. 【详解】在中，，即， 又，即， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得. 故答案为： 14.已知，，且，， （1） ；（2） . 【答案】 【分析】根据条件可得、，利用差角正切公式求得，即有，再应用和角正切公式求得，结合求角. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得， 所以，故， 因为，所以，故， 因为， 所以. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）将已知两等式平方相加可求得的值； （2）利用同角的正余弦的平方关系求得，，进而利用可求值. 【详解】（1）由，， 可得， 故， 即，解得． （2）因为，所以．又． 所以． 因为，， 所以． 所以 ． 16．（15分）已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值； （2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）计算，可得. 已知，则. 可得. 所以. 又. 根据向量夹角公式，可得. （2）根据向量运算的分配律展开： 可得： 将，，代入上式可得： 求解不等式. 移项可得，即. 解得. 即的取值范围为. 17．（15分）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率； （2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则， ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为； （2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率， 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率， 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率， 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为： . 18．（17分）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值. （2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答. 【详解】（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 19．（17分）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 13 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：向量、三角变换、正余弦定理、立体几何、统计概率 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 2．复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 3．在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 8．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（   ） A．极差 B．众数 C．平均数 D．方差 10．已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 11．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 13．如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 14．已知，，且，， （1） ；（2） . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 16．（15分）已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 17．（15分）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 18．（17分）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 19．（17分）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学•考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：向量、三角变换、正余弦定理、立体几何、统计概率 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 2．复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 3．在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 8．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（   ） A．极差 B．众数 C．平均数 D．方差 10．已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 11．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 13．如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 14．已知，，且，， （1） ；（2） . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 16．（15分）已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 17．（15分）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 18．（17分）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 19．（17分）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C C C D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD BCD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12. 175 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 注：解答题给出步骤分值 15．（13分）（1）由，， 可得， 故，...........................................................4 即，解得．........................................6 （2）因为，所以．又． 所以． 因为，， 所以．.............................10 所以 ．...........................................................................................................13 16．（15分）（1）计算，可得. 已知，则. 可得.......................................................................4 所以. 又. 根据向量夹角公式，可得...................7 （2）根据向量运算的分配律展开： 可得： 将，，代入上式可得： ......................10 求解不等式. 移项可得，即. 解得. 即的取值范围为.........................................................................................15 17．（15分）（1）记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则，.....................................................3 ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为；..............................7 （2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率，....................10 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率，....................12 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率，...................14 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为： ................................................................15 18．（17分）（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是...................................................................................7 （2）复数，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得，............................................10 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以..................................17 19．（17分）（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以.........................4 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面.....................................................................................6 （2）过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为.......................................................12 （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为.......................................17 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$