第10讲 图形的位似变换（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第10讲 图形的位似变换（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 位似图形的识别 典型例题二 判断位似中心 典型例题三 位似图形相关概念 典型例题四 求两个位似图形的相似比 典型例题五 求位似图形的对应坐标 典型例题六 在坐标系中画位似中心 典型例题七 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典型例题八 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 典型例题九 在坐标系中画位似图形 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是（  ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．以点为位似中心，把按相似比2扩大，在轴的左侧画出扩大后的．(，，的对应点分别为，，) 【典型例题一 位似图形的识别】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列每组的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·福建漳州·课后作业）如图，其中属于位似图形的有 (填序号)． 【例3】（24-25九年级·安徽安庆·假期作业）如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？ 1．（24-25九年级上·广西桂林·期中）下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的网格中，的位似图形是 ． 3．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高． （1）求证：； （2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？ 4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【典型例题二 判断位似中心】 【例1】 （23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知和是位似图形，那么其位似中心是点　　 A．点A B．点B C．点C D．点D 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，和是位似图形，则位似中心是 ；图中与的关系是 ． 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列四边形和四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A．点E B．点F C．点G D．点D 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心．      4．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）如图，与是位似图形，请在图中画出位似中心O．    (1)若与的相似比是，且，则　　　　； (2)若，的面积为，求的面积． 【典型例题三 位似图形相关概念】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【例3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）请在图中画出位似中心； （2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？ 1．（2025·山西·模拟预测）如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点在同一直线上 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若与是位似图形，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）如图，△ABC与△ADE是位似图形，试说明DE与BC是否平行． 4．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【典型例题四 求两个位似图形的相似比】 【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，与是位似图形，且，则与的面积比为 ． 【例3】（24-25九年级上·广东河源·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)求点的坐标以及与的周长比． 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若的周长为，且点的对应点为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的三条边与的三条边满足，，，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 4．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，点，在的边上，点，在边上，射线在内，且点，在上，，．． 试说明与是位似图形； 求与的位似比． 【典型例题五 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【例2】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是 ． 【例3】 （24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如图，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得到．写出三个顶点的坐标． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是，若点B的坐标为，则点E的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以为位似中心，在轴下方画出与位似比为2的位似图形； (2)写出、、的坐标． 4．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标； （2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分； ②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米． 【典型例题六 在坐标系中画位似中心】 【例1】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【例3】（2025·河南周口·模拟预测）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标； (2)与的位似比为__________，面积比为__________． 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA，AD分别在轴上，，，则正方形OABC和正方形ADEF的位似中心的坐标是 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心． 4．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M． (1)写出D点的坐标； (2)在图中画出M点，并求M点的坐标． 【典型例题七 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（2025九年级·北京·专题练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是 ． 【例3】（2025·广东江门·模拟预测）（1）如图是由几个小方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．    （2）如图，画出以O为位似中心，把放大两倍后的三角形．    1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，E（﹣6，0），F（﹣4，﹣2），以O为位似中心按比例尺1：2把△EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F′的坐标为 ． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，请画出． (2)以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【典型例题八 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，，则矩形与矩形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为 ； 【例3】（24-25九年级上·广西贵港·期中）（1）与的位似比是___________； （2）画出绕点逆时针旋转得到的； （3）若点为内一点，直接写出点在内的对应点的坐标是___________． 1．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（　　） A．32 B．18 C．6 D．4 2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 【典型例题九 在坐标系中画位似图形】 【例1】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知两点A（5，6），B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，3）或（﹣3，﹣3） 【例2】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．    【例3】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上． (1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； (2)在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出的面积． 1．（23-24九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有(     )    A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，把缩小得到，若变换后，点、的对应点分别为点、，则点的对应点的坐标应为    3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 4．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为2:1； (2)在（1）的条件下， ①写出，，的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 1．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江金华·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为 9．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 10．（2025·山东滨州·模拟预测）如果两个几何图形存在一一对应，且每一对对应点P和P′都与一定点O共线，同时＝k（k＞0是常数），那么称这两个图形位似点O叫做位似中心，k是位似比，如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点，以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到的△A′O′B′，以点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ． 11．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）画出图（）、（）中的位似中心． 12．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 14．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； (2)若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 图形的位似变换（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 位似图形的识别 典型例题二 判断位似中心 典型例题三 位似图形相关概念 典型例题四 求两个位似图形的相似比 典型例题五 求位似图形的对应坐标 典型例题六 在坐标系中画位似中心 典型例题七 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典型例题八 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 典型例题九 在坐标系中画位似图形 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比为， ， ， ， 故选：C． 【即时训练】 2．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了平移和位似图形的定义，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行或位于同一直线上，这两个图形叫位似图形，根据定义判断即可。 【详解】解：（1）传动带上的电视机和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换； （3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换； 故答案为：3个． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．以点为位似中心，把按相似比2扩大，在轴的左侧画出扩大后的．(，，的对应点分别为，，) 【答案】见解析 【分析】本题考查位似作图，连接并延长，使得，从而找到点D，同理可以找到点E、F，也可以先写出点A、B、C的坐标，然后横纵坐标乘以2找到对应点．掌握位似作图或直角坐标系的位似图形的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：作图如下，即为所求做的三角形． 【典型例题一 位似图形的识别】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列每组的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【例2】（23-24九年级上·福建漳州·课后作业）如图，其中属于位似图形的有 (填序号)． 【答案】(1),(2),(3) 【详解】试题分析：位似图形的性质：对应点的连线经过位似中心，对应线段平行或者在同一直线上，对应线段成比例、对应角相等.所以(1),(2),(3)是位似图形. 【例3】（24-25九年级·安徽安庆·假期作业）如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？ 【答案】△ACE与△BDF是位似三角形，理由见解析 【分析】先证明△ACE∽△BDF，再利用位似图形的定义即可判断． 【详解】解：△ACE与△BDF是位似三角形， 理由：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， ∴△ACE∽△BDF， 又∵△ACE与△BDF对应点相交于点E， ∴△ACE与△BDF是位似三角形． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键．位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 1．（24-25九年级上·广西桂林·期中）下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形； 而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选B． 【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于掌握位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在如图所示的网格中，的位似图形是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段经过点，确定位似中心为点，进而求解即可． 【详解】如图，线段经过点，并且，则位似中心为点， 连接并延长到点，连接并延长到点， 连接、、， 由图可知：， ， ∴， ∴的位似图形是，位似中心为点； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高． （1）求证：； （2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？ 【答案】（1）见解析；（2）不是，理由见解析 【分析】（1）利用三角形相似可求得各对应边成比例； （2）根据两三角形不是相似三角形，即可判断不是位似图形． 【详解】解：（1）证明：、是高， ， ， ， ； （2）解：如图， ∵△CDE与△CAB不一定是相似三有形， ∴与不是位似图形． 【点睛】本题考查了相似三角形，位似三角形，解题的关键是知道求各边成比例，一般应证明所在的三角形相似；位似三角形的前提一定是相似三角形，且任意两对应点的连线交于一点． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【典型例题二 判断位似中心】 【例1】 （23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知和是位似图形，那么其位似中心是点　　 A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据位似中心的概念可知位似中心是对应顶点的连线的交点． 【详解】∵位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心， ∴位似中心是点B． 故选B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，注意位似图形对应顶点的连线交于一点，即位似中心． 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，和是位似图形，则位似中心是 ；图中与的关系是 ． 【答案】 【分析】△OAB和△OCD是位似图形，可得其位似中心为O，进而利用角相等，可得线段之间的关系． 【详解】由题意，位似中心为O，∵△OAB和△OCD是位似图形，∴∠OAB=∠C，∴可得AB∥CD． 故答案为； 【点睛】熟练掌握位似图形的性质． 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列四边形和四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A．点E B．点F C．点G D．点D 【答案】D 【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进行判断． 【详解】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D． 故选D． 【点睛】本题考查了位似变换：两位似图形的对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，△EFH和△MNK是位似图形，其位似中心是点 ． 【答案】B 【分析】根据位似中心的含义，得位似图形对应点连线的交点是位似中心． 【详解】如图 ∵△EFH和△MNK是位似图形，连接FN，HK交于点B，故点B是位似中心. 【点睛】本题考查了位似图形的相关知识，解题的关键是知道位似图形对应点连线的交点是位似中心. 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形如果是位似图形，请指出其位似中心．      【答案】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中的两个图形不是位似图形． 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】题图1和3中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是题图1中的点和题图3中的点；题图2中对应顶点的连线不交于一点，故题图2中的两个图形不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）如图，与是位似图形，请在图中画出位似中心O．    (1)若与的相似比是，且，则　　　　； (2)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】对应点的连线的交点即为位似中心． （1）根据相似三角形的性质求解，即可得到答案． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：位似中心O，如图所示：   与的相似比是， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， 的面积为， 的面积为． 【点睛】本题考查了作图，位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 【典型例题三 位似图形相关概念】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合，通过计算即可得到答案． 【详解】∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 【例2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 【例3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2． （1）请在图中画出位似中心； （2）若AB＝2cm，则A′B′等于多少？ 【答案】（1）见解析；（2）4cm． 【分析】（1）作三组对应点所在直线，三直线的交点即为位似中心O； （2）根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm． 【详解】（1）如图所示，点O即为位似中心； （2）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵位似比是1：2 ∴＝＝，且AB＝2cm， ∴A′B′＝2AB＝4cm． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 1．（2025·山西·模拟预测）如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点在同一直线上 C． D． 【答案】A 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'，，，点C，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项A错误． 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若与是位似图形，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质得到，易得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，即， 与是位似图形， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）如图，△ABC与△ADE是位似图形，试说明DE与BC是否平行． 【答案】BC∥DE 【分析】由两三角形位似可知其相似，则可得∠C=∠AED，故可得BC∥DE． 【详解】解：BC∥DE． 理由：∵△ABC与△ADE是位似图形， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠AED， ∴BC∥DE． 【点睛】本题考查了位似的概念，两位似图形一定相似. 4．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质， （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与的相似比为，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵，， ∴， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 【典型例题四 求两个位似图形的相似比】 【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 【例2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，与是位似图形，且，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，相似比为：； ∴与的面积比为； 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·广东河源·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)求点的坐标以及与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为，与的周长比是 【分析】（1）根据沿轴翻折，即画出关于轴对称的图形，从而得到； （2）根据位似图形的特点，作出、、的对应点、、即可； （3）写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，点的坐标为，与的周长比是． 【点睛】本题考查轴对称图形的画法，位似图形的画法，解题的关键是根据题意，正确画出图形． 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若的周长为，且点的对应点为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到与的相似比为，即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，且点的对应点为， 与的相似比为， 的周长为， 的周长， 故选：A． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，确定正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为18， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的三条边与的三条边满足，，，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 【答案】的面积为的面积的9倍 【分析】由条件可知△A′B′C′和△ABC是位似图形，且位似比为1：3，利用位似图形的性质可知△A′B′C′∽△ABC，可求得结论． 【详解】解：的面积为的面积的9倍． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，且相似比为3， ∴与的面积比为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的定义和性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，点，在的边上，点，在边上，射线在内，且点，在上，，．． 试说明与是位似图形； 求与的位似比． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【分析】（1）利用平行线的性质以及平行线分线段成比例定理得出∠DFE=∠ACB，，即可得出△ACB∽△DFE，再利用两图形对应点交于点O，即可得出答案； （2）利用位似图形的性质，得出相似比就是位似比． 【详解】∵，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴与是位似图形； ∵与是位似图形，， ∴与的位似比为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确利用位似图形的定义得出是解题关键． 【典型例题五 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形与坐标的性质是解题的关键； 分在原点同侧和异侧两种情况进行讨论，A的坐标分别乘以和，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，按相似比把线段缩小， 点A的对应点的坐标可以是，也可以是，即或． 故选：D． 【例2】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如图，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得到．写出三个顶点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，先根据位似变换的性质画出图形，然后根据图形写出坐标即可． 【详解】解：如图， 或． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵B点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是，若点B的坐标为，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比是， ， ， ， 点B的坐标为，点E在第一象限， 点E的坐标是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以为位似中心，在轴下方画出与位似比为2的位似图形； (2)写出、、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)、、 【分析】本题考查了坐标系与位似图形，熟练掌握点坐标的位似变换规律是解题关键． （1）先根据位似中心、位似比画出点，再顺次连接即可得； （2）根据点坐标的位似变换规律即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：∵在轴下方的与的位似比为2，且，，， ∴、、， 即、、． 4．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标； （2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分； ②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为，点的坐标为 （2）①图见解析；②1.8 【分析】（1）连接交格线于、连接、连接交格线 于，过点作交于，连接、，再根据点、的位置写出其坐标即可； （2）①过点A、E作直线，再过点C作直线交墙于F即可；②作交直线于H，根据平行投影的性质得，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； 点的坐标为，点的坐标为； （2）①如图，即为所求， ②延长交直线于H，如图， ∴ ∴ ∴，， 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查了位似变换，点的坐标，平行投影．解题关键是（1）熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．（2）平行投影的性质：物长与影长成正比． 【典型例题六 在坐标系中画位似中心】 【例1】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 【详解】解：连接，，，如图，交点即为所求，由图可知位似中心的坐标是：．    故选：． 【例2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】(5,4) 【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点即为位似中心，读出坐标即可得出结论. 【详解】解：如图，连接AA1，BB1，则交点坐标为(5，4). 故答案为(5，4). 【点睛】本题考查位似中心的定义.解题关键是正确找到位似图形的对应点，连接任意两对对应点，连线的交点即为位似中心. 【例3】（2025·河南周口·模拟预测）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标； (2)与的位似比为__________，面积比为__________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．    （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点、作直线，点、作直线，点、作直线，三条直线相交于一点，则点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求，    故选：D． 【点睛】本题考查了作图位似变换，点的坐标，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA，AD分别在轴上，，，则正方形OABC和正方形ADEF的位似中心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据位似图形的定义，分两种情况讨论：①当正方形正方形ADEF时，②当正方形正方形EFAD时，分别求助位似中心的坐标，即可． 【详解】①当正方形正方形ADEF时， 连接FC并延长与x轴相交，则交点M即为位似中心，则， ∵，， ∴，即： ∴， ∴； ②当正方形正方形EFAD时， 连接OE与AF交于点N，则交点N即为位似中心，则， ∴， ∴， ∴点N坐标为． 综上所述，正方形OABC和正方形ADEF的位似中心的坐标为：或． 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查位似图形的位似中心，根据位似图形的定义，找出位似中心的位置，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心． 【答案】位似中心见解析，位似比分别是；； 【分析】利用位似图形的性质，连接对应点得出位似中心，进而得出相似比． 【详解】解：如图所示：P点是三个图形的位似中心， 相似比分别为：；；． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用对应边关系得出相似比是解题关键． 4．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M． (1)写出D点的坐标； (2)在图中画出M点，并求M点的坐标． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】（1）首先过点作于点，由与是位似图形，，，，，可得，，，即可求得位似比，继而求得答案； （2）首先连接并延长，交轴于点，则点即为与的位似中心；然后根据位似图形的性质，可得，继而求得答案． 【详解】（1）解：过点作于点， 与是位似图形，，，，， ，，， 位似比为：， ，， 点的坐标为：； （2）连接并延长，交轴于点，则点即为与的位似中心； 则， 设，则， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】此题考查了位似图形的定义与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意位似图形是特殊的相似图形． 【典型例题七 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）以为位似中心，画出一个矩形，使得所画的矩形与矩形位似，且位似比为，则所画的矩形可以是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】分别连接并延长，，，，即可根据位似的性质判断． 【详解】解：分别连接并延长，，，，根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上，如图：    故选：C． 【点睛】本题考查的是位似的性质，根据位似中心和能代表原图的关键点画出符合条件的位似图形是解题的关键． 【例2】（2025九年级·北京·专题练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是 ． 【答案】四边形 【分析】以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则，，，，，，，，，，由，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果． 【详解】∵以点O为位似中心， ∴点C对应点M， 设网格中每个小方格的边长为1， 则， ，OD=， ， ， ，OQ=， ， ， ， ∵， 则点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形， 故答案为：四边形． 【点睛】本题考查了位似变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，找出点C对应点M． 【例3】（2025·广东江门·模拟预测）（1）如图是由几个小方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．    （2）如图，画出以O为位似中心，把放大两倍后的三角形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了画几何体的三视图、画位似图形，正确作图是解题的关键． （1）根据题意分析可知，主视图的左边有3个小正方形，中间有4个小正方形，右边有2个小正方形；左视图的左边有4个小正方形，右边有2个小正方形，即可画出图形； （2）分两种情况讨论：①和在点O同侧；②和在点O两侧，分别画出顶点关于点O位似的对应点，再顺次连接即可得到． 【详解】：（1）如图所示，主视图和左视图即为所求：    （2）①若和在点O同侧，如图所示，即为所求：    ②若和在点O两侧，如图所示，即为所求：    1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，E（﹣6，0），F（﹣4，﹣2），以O为位似中心按比例尺1：2把△EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F′的坐标为 ． 【答案】（2，1）． 【详解】试题分析：以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，结合图形得出，则点F的对应点F′的坐标是E（﹣4，﹣2）的坐标同时乘以﹣计算即可． 解：根据题意可知，点F的对应点F′的坐标是F（﹣4，﹣2）的坐标同时乘以﹣， 所以点F′的坐标为（2，1）， 故答案为（2，1）． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，请画出． (2)以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-平移变换和位似变换，掌握确定关键对应对点的位置成为解题的关键． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后顺次连接即可解答； （2）如图：延长到使，延长到使，延长到使，然后顺次连接即可解答； 【详解】（1）解：如图：为所求． （2）解：如图：为所求． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 【典型例题八 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，，则矩形与矩形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形与矩形位似，位似中心是原点，而点，， ∴， ∴它们的相似比为， ∴矩形与矩形的面积比为． 故选：A． 【点睛】本题考查位似图形，相似多边形的性质．熟练掌握位似比等于相似比，是解题的关键． 【例2】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为 ； 【答案】27 【分析】连接EC，由题意易得，则有，OC=9，进而可得∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°，然后可求，最后问题可求解． 【详解】解：连接EC，如图所示： ∵正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴OC=9， ∵六边形OABCDE是正六边形， ∴∠OED=∠EDC=120°，OA=AB=BC=CD=DE=OE， ∴∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°， ∴OC=2OE， ∴， ∴正六边形OABCDE的周长为； 故答案为27． 【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·广西贵港·期中）（1）与的位似比是___________； （2）画出绕点逆时针旋转得到的； （3）若点为内一点，直接写出点在内的对应点的坐标是___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似比； （2）直接利用旋转的性质得出对应点的位置进而得出答案； （3）直接利用旋转的性质得出对应点坐标． 【详解】解：（1）根据图形可得： 与的位似比为：， 故答案为：； （2）如图，即为所求， （3）点为内一点，经过绕点逆时针旋转后，点在内的对应点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题的关键． 1．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（　　） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得，则与的相似比为，，可得与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：， ， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为2， 的面积为， 故选：． 2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是 ． 【答案】1：4 【分析】先说明△ABC∽△DEF，△OAC∽△ODF，然后再确定相似比，最后根据相似形的面积之比为相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点0是位似中心 ∴AC//DF，△ABC∽△DEF， ∴△OAC∽△ODF ∵OA=AD，即OD=2OA ∴AC:DF=OA：OD=1：2 ∵△ABC∽△DEF， ∴相似比为AC∶DF=1:2 ∴△ABC与△DEF的面积比是1：4． 故答案为1：4． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似比等于相似比且其对应的面积比等于相似比的平方成为解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)，或，； (3)；27 【分析】此题考查了作图-位似变换，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键． （1）由以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比是，可求得各对应点的坐标，继而画出位似图形； （2）由（1），可求得点、的坐标； （3）根据位似图形的性质，即可求得与的相似比，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，的位似图形即为所求； （2）解：由图形知，或，； （3）解：∵，点A的对应点A2的坐标为， ∴与的相似比为：； 与的面积比为：， ∵的面积为， ∴的面积为27， 故答案为：；27． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形： （1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∵，，， ∴，， ， ∴的周长为， ∵与的相似比为， ∴与的周长比为， ∴的周长为． 【典型例题九 在坐标系中画位似图形】 【例1】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知两点A（5，6），B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，3）或（﹣3，﹣3） 【答案】C 【详解】试题分析：首先得出A点平移后点的坐标，再利用位似图形的性质得出对应点C的坐标． 解：如图所示：可得A点平移后对应点A′坐标为：（4，6）， 则点A′的对应点C的坐标为：（2，3）或（﹣2，﹣3）． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 【例2】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．    【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.    【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 【例3】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上． (1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； (2)在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)12 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似图形，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据为位似图形的性质，画出即可； （2）分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵每个小正方形的面积为1， ∴每个小正方形的边长为1， ∴的面积为：． 1．（23-24九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有(     )    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：      满足要求的图形有6个 故选：C 【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，把缩小得到，若变换后，点、的对应点分别为点、，则点的对应点的坐标应为    【答案】 【分析】根据两个图形必须是：①相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标． 【详解】J解：∵，且点在的连线上， ∴可得F点位置如图所示：    故点坐标为， 故答案为 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是要掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点就是位似中心． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可． 【详解】（1）解：由题意，点的位置如图所示， 由图可知：； （2）由题意，画图如下： 4．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为2:1； (2)在（1）的条件下， ①写出，，的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】(1) (2)①点，，；②点 【解析】略 1．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键． 根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可． 【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的， 所以这两张图片之间的关系是位似， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 5．（2025·浙江金华·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与位似，以原点O为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 【答案】 【分析】位似是特殊的相似，因而对应边的比相等，对应角相等． 【详解】解：点O是四边形与的位似中心，则这两个图形相似，因而对应边的比相等，对应角相等， 因而，，， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了位似的定义，掌握定义是解决此题的关键． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为 【答案】32 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点．得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点． ∴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为， 故答案为：32． 9．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可． 【详解】解：如图所示： 位似中心点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键． 10．（2025·山东滨州·模拟预测）如果两个几何图形存在一一对应，且每一对对应点P和P′都与一定点O共线，同时＝k（k＞0是常数），那么称这两个图形位似点O叫做位似中心，k是位似比，如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点，以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到的△A′O′B′，以点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形作图讨论，即可解决问题； 【详解】解：在Rt△AOB中，OB＝＝10， ∴， 如图示， △AOB缩小为原来的，得到的△A′O′B′，M′为O′B′的中点， ∴①当△A′OB′在第四象限时，MM′＝． ②当△A″OB″在第二象限时，MM′′＝， 故答案为或． 【点睛】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 11．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）画出图（）、（）中的位似中心． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作位似中心，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，据此作图即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 12．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15或5 【分析】此题考查了位似图形的性质． （1）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行证明即可； （2）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行求解即可． 【详解】（1）如图所示，与平行，理由： ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴ ∴． 如图， ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴， ∴． （2）如图． ∵， ∴， ∴的长为； 如图． ∵， ∴， ∴的长为； 综上所述，的长为15或5． 13．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】， 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 14．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； (2)若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，、； (2)． 【分析】本题考查了位似变换及位似图形的性质，掌握位似图形性质是解题的关键． （1）直接利用位似图形性质得出对应点坐标，顺次连接即可； （2）根据题意放大到原来的2倍即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）如图所示：即为所求，、； （2）以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，P在线段上， 点P在上的对应点的坐标为：． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）由位似图形的性质可得：； 学科网（北京）股份有限公司 $$