4.2.5 正态分布-【新课程暑假作业】2024-2025学年高二数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 某中学高三 （ 1 ） 班有 50 名学生 ， 在一次高三模拟考试中 ， 经统计得 ： 数学成绩 X~N （ 110 ， 100 ）， 则估计该班数学得分大于 120 分的学生人数为 （ ） （ 参考数据 ： P （ |X-μ|< 滓 ） ≈0.68 ， P （ |X-μ|<2滓 ） ≈0.95 ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 2 2. 已知随机变量 X~B （ 6 ， p ）， Y~N （ μ ， 滓 2 ）， 且 P （ Y≥2 ） = 1 2 ， E （ X ） =E （ Y ）， 则 p= （ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 3. 设随机变量 X~N （ 0 ， 1 ）， f （ x ） =P （ X≥x ）， 其中 x>0 ， 则下列等式成立的是 （ ） A. f （ 2x ） =2f （ x ） B. f （ -x ） =1-f （ x ） C. P （ X≤x ） =2f （ x ） -1 D. P （ |X|≥x ） =2-f （ x ） 4. 某班有 60 名学生 ， 一次考试后数学成绩 孜~N （ 110 ， 滓 2 ）， 若 P （ 100≤孜≤110 ） =0.35 ， 则 估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. （ 多选题 ） 下列命题为真命题的有 （ ） A. 对具有线性相关关系的变量 x ， y ， 有一组观测数据 （ x i ， y i ） （ i=1 ， 2 ， …， 10 ）， 其 线性回归方程是 y=-2 b x+1 ， 且 x 1 +x 2 +x 3 + … +x 10 =3 （ y 1 +y 2 +y 3 + … +y 10 ） =9 ， 则实数 b 的值是 11 18 B. 从数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 中任取 2 个数 ， 则这 2 个数的和为奇数的概率为 4 7 C. 已知样本数据 x 1 ， x 2 ， …， x n 的方差为 4 ， 则数据 2x 1 +30 ， 2x 2 +30 ， …， 2x n +30 的标准 差为 4 D. 已知随机变量 X~N （ 1 ， 滓 2 ）， 若 P （ X<-1 ） =0.3 ， 则 P （ X<2 ） =0.7 6. （ 多选题 ） 甲 、 乙两类水果的质量 （ 单位 ： kg ） 分别服从正 态分布 N （ μ 1 ， 啄 2 1 ）， N （ μ 2 ， 啄 2 2 ）， 其正态分布的密度曲线如图所示 ， 则下列说法正确的有 （ ） A. 甲类水果的平均质量 μ 1 =0.4 kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 4.2.5 正态分布 夯实 · 基础 能力 · 提升 第 6 题图 x y O 0.4 0.8 1.99 甲 乙 16 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高二数学 第 周 年 月 日 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小 D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数 δ 2 =1.99 7. 已知 X～N （ μ ， σ 2 ）， 且 P （ X>0 ） ＋P （ X≥－4 ） ＝1 ， 则 μ＝ . 8. 正态分布概念是由德国数学家和天文学家 Moivre 在 1733 年首先提出的 ， 由于德国数 学家高斯率先将其应用于天文学研究 ， 故我们把正态分布又称作高斯分布 . 早期的天文学家 通过长期对某一天体的观测收集到大量数据 ， 对这些数据进行分析 ， 发现这些数据变量 X 近 似服从 N （ 9 ， σ 2 ） . 若 P （ X<10 ） =0.91 ， 则 P （ X≤8 ） = . 9. 学校准备筹建数学建模学习中心 ， 为了了解学生数学建模 （ 应用 ） 能力 ， 专门对高二 报名的 100 名学生进行了数学建模闭卷测试 ， 得分在 45~95 之间 ， 分为 ［ 45 ， 55 ） ， ［ 55 ， 65 ）， ［ 65 ， 75 ）， ［ 75 ， 85 ）， ［ 85 ， 95 ］ 五组 ， 得到如图所示的频率分布直方图 ， 其 中第三组的频数为 40. （ 1 ） 请根据频率分布直方图估计样本的平均数 X 和方差 s 2 （ 同一组中的数据用该组区间 的中点值代表 ） . （ 2 ） 根据样本数据 ， 可认为参与建模测试的学生分数 X 近似服从正态分布 N （ μ ， σ 2 ）， 其中 μ 近似为样本平均数 X ， σ 2 近似为样本方差 s 2 . ① 求 P （ 47.2<X<79.9 ）； ② 学校为鼓励学生积极参与数学建模活动 ， 决定对本次测试中 90.8 分以上的同学进行表 彰 ， 若某班正好有 6 人参与了这次测试 ， 求这个班至少有 1 人获得表彰的概率 . 参考数据 ： 若 X~N （ μ ， σ 2 ）， 则 P （ μ-σ<X<μ+σ ） =0.682 6 ， P （ μ-2σ<X<μ+2σ ） =0.954 4 ， 119 姨 ≈10.9 ， 0.954 4 6 ≈0.76 ， 0.977 2 5 ≈0.89 ， 0.977 2 6 ≈0.87. 拓展 · 探究 第 9 题图 45 55 65 75 85 95 分数 0.025 0.010 频率 组距 O 17 暑 假 作 业 新课程 4.2.4 随机变量的数字特征 1. D 2. D 3. A 4. C 5. A 6. BCD 7. BC 8. 728 729 9. 解 ： （ 1 ） 由题意知 ， 随机变量 X~B （ 5 ， 0.6 ）， P （ X=0 ） =C 0 5 ×0.6 0 × （ 1-0.6 ） 5 = 32 3 125 ， P （ X=1 ） =C 1 5 ×0.6 1 × （ 1-0.6 ） 4 = 240 3 125 ， P （ X=2 ） =C 2 5 ×0.6 2 × （ 1-0.6 ） 3 = 720 3 125 ， P （ X=3 ） =C 3 5 ×0.6 3 × （ 1-0.6 ） 2 = 1 080 3 125 ， P （ X=4 ） =C 4 5 ×0.6 4 × （ 1-0.6 ） 1 = 810 3 125 ， P （ X=5 ） =C 5 5 ×0.6 5 × （ 1-0.6 ） 0 = 243 3 125 ， ∴X 的分布列为 E （ X ） =np=5×0.6=3. （ 2 ） 希望采用 “ 5 局 3 胜制 ”， 理由如下 ： 采用 “ 3 局 2 胜制 ” 时 ， 甲获胜的概率为 P 1 =C 1 2 ×0.6×0.4×0.6+C 2 2 ×0.6×0.6=0.648 ， 采用 “ 5 局 3 胜制 ” 时 ， 甲获胜的概率为 P 2 =C 2 4 ×0.6 2 ×0.4 2 ×0.6+C 2 3 ×0.6 2 ×0.4×0.6+C 3 3 ×0.6 3 =0.682 56 ， 故 P 1 <P 2 . ∴ 对于甲 （ 我 ） 而言 ， 显然 “ 5 局 3 胜制 ” 更有利 . 10. 解 ： （ 1 ） 由题意知 ， 高三年级胜高二年级的概率为 3 5 . 设高三年级在 4 轮对抗赛中有 x 轮胜出 ， “ 至少有 3 轮胜出 ” 的概率为 P ， 则 P=P （ x=3 ） +P （ x=4 ） =C 3 4 × 3 5 5 " 3 × 2 5 + 3 5 5 " 4 = 297 625 . （ 2 ） 由题意知 ， X 的所有可能取值为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 则 P （ X=2 ） = 1 3 5 " 2 = 1 9 ， P （ X=3 ） =C 1 2 × 1 3 × 1- 1 3 5 " × 1 3 = 4 27 ， P （ X= 4 ） =C 1 3 × 1 3 × 1- 1 3 5 " 2 × 1 3 = 4 27 ， P （ X=5 ） =C 1 4 × 1 3 × 1- 1 3 5 " 3 ×1+ 1- 1 3 5 " 4 = 16 27 ， 故 X 的分布列为 ∴E （ X ） =2× 1 9 +3× 4 27 +4× 4 27 +5× 16 27 = 38 9 . 4.2.5 正态分布 1. C 2. B 3. B 4. B 5. BC 6. ABC 7. －2 8. 0.09 9. （ 1 ） X=69 ， s 2 =119 （ 2 ） ①P （ 47.2<X<79.9 ） =0.818 5 ②0.13 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 1. A 2. B 3. C 4. ABC 5. ②④ 6. （ 1 ） ②y=c+dx 2 更适宜 （ 2 ） y 赞 =6.5+2.5x 2 （ 3 ） 96.5 万 X 0 1 2 5 P 32 3 125 240 3 125 720 3 125 243 3 125 3 1 080 3 125 4 810 3 125 X 2 3 4 5 P 1 9 4 27 4 27 16 27 68