1.5 第2课时 几何图形面积与销售利润的最值问题-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

宁子2厚抛物线肉上平体74个单位。 L4二次函数与一元二次方程的联系 第2议时几何形酒积与售 (2÷1临r3025.0 使点伊的型除一宁子2，州点心的鱼际为一 LU 2A AC 40 5C 412 利润的最值问题 1.B ,当：=知时，三国例养望的占笔总套相最大，是大密积为 3 225m2 宁子+2，出题建得高心的坐标为@子 1解()抛将线的表达式为子-+3： 2解：(1}，=-1，+4t+6 (1E的长为2米 1解：没中的长为A则以的长方(16-+ 闭s,1515- 1C48 如解置.过点A作AG4于点 以伊P伊Q, 反解：(1)y与：之写的函数关聚式为方-2'+340：-1200 DC,∠C=0 1 期得，=14万，41=1万（舍去）， (山巧绿前的情售价是5元千克时，该蒂住这种绿茶在 T135 871宁7+22相41,74完 古当0<n×1万时.才不会淋湿求我 这2时间内的糖售刺训景大，量大料国是240尤 6不会T.(11250(2)48D.17510.h4 ,.四边形无鼻矩形. 成”的出际子-7，点的宝标为-子常或B多Cm 11,-2,与，1【英属慢均小《-1度，1 11.318 =AGd年，·AG10-2) 点r的坐怀为子骨，点心坐标为 12-5(若案不t一y30 12解：41)y=3+3年1 14(11将下直线x■12)3cc4(J10e2 (2)者每件黄南犀价5元，则往铺售利国为700元 小专题培优2引图形中的二次厨数阿型 1线解：能，为程的对饭根为-1.2,12,2&座巾如下：函数一 (5》设日精零利阔为事元 0,当，得场的面积大，量大国职集 L解：1)辽明路： 。-3h-士+4的图象与，自交点的横坐标是方程-3 额能虹意得F=《闭--50（止+0）·-(x=o)4 3000 129 (2r△rN一△W话 4+=山的解 现家函象与3随的交点坐标听饭最(-L2,0),(L2,0川 -0,当0时.，=80000=0元 (18.0),方程-32-+4=0的近做根是与=-1.2 容：每件售什为0无时，可使日精售和溪极大，量大利园 4解：(1)楚掉脑小正方形的直长为2e: +-.GN-,-4,h-0-.L 为8m无 (2)出(1)W0-2写5(6-21且30. 4与=12高，=2 小专题培优23二次函数图象与系数 量制你封长方林容器作在收积为5量 m,6,c的关系 H都：1230≥m: (2)1板这位专业户性人种值花齐x万元《0《《参)，能庆 %=(10-21(62)=43-32+0=4-4'-4 例1)>2e32(4》2(5》(6>(7)× 得的利闻是万元，则段人种恤树木（长》万元 430,4当x一25时，制作的长方体容善的质工雪积最 (8)=(9)>《10)= 小，.8，#=4x25-4)-4=5到2 0当宁，大最大为品 1.(2B3B405=-+1以答案不一 程野华得28宁宁-2,16宁 解：《1)当轴雪单价足为知元时每月的解售量为阅件： 1.5二次函数的应用 (2》白因象易棒y==0:+10,相屠题意年.F=( 内由1之c,月e2 第1课别建立二火还数模解决实际问题 以，一0当=2时有量小重4 1.B .乌0≤62时：随年的增大圈蓝个与 =→10：+14-40=-0-0)+9 由2得存在AH是直角三角形，日A+DW=A行 ”一0e0..当x=0时，利国农博题大值，是大料科为 本《+)+6-)+1，位里得-虹+=0，附孩方 工解：（瓶物液的表达式为子： 当2心≤8时，：精的增大而望大 :04写8.8-2力2-0. 900元 醒有实数极 1 ,当一8时：有大盖.异大害为32 《5)◆-10410r-4的=s00.解得车=0，马-0自 41=6-'=(+白20，得b24.缘上得6=1 3当14时，了6水升 苦，至少笔民博14万无的利闲，能铁农的量大利闲是 哥意得0：65，径每月的成幸力S元，侧S=例-0 2翻：【1)证用降 56o551. 2万元 100)■-0：+40m,“-00s随4的增大有减个 2)班解四.分科甘点C,F作N上AW :这铜雾运卡车不距从正中间港过该能道 14解：(1)由U重得，4指4m.-《塔-41m 5时有量小面，最小值为川00 G⊥A6,垂足分到为高M.G,在 3rm-01h2+L.1+L3 (2》花图势应积德为92m 答：每月的成本异少需经00无 △中.C=C045 《解：()蓝球行进过程中E调趋置的量大真度为3了如： 今(28-)=以2.解得=12攻世6（不特合超意，奢 长解：①4球飞行降线的二收西数的表达式为y一子 20.通子05。 去1.，花圈的面视笔为192m,七时，的值为： 《35=2w-g1=+(-14)196 436 石5nn.W4vA0-.则c-A4 +蓝球出手高跑离地位时高度为3必m 世点P与CD,AD的E离分别暴35m和6n +4 15 5G6.C ,1w-15m13.56Gx611 联立 ,6-w0- T.解：()y关于：的函直表5式为三-+2：+10： 以-1无0，抛物试的时将轴为直线▣14. =0 15 (21在y=-￥+2+10中，今=0得，0=-342+10 ,商66xG13时，8周玉的增大打增大 4).由易任.6BDe△0FESw5e5aw“ 朝得等√川+1境两-门+（舍表》， 5=15时.3是大.量大为-(13-14)+96=19项 2·8日 子(45e-38w4g 品动风强到人发水离得的款机)n 小专题培优24二次函数的实际度用集调 矣解：(1555 1解1》由想意，裤F=《4的-30-)(500+01=-50+ 2--高 154+45: (21由(1》知，抛物线关干直线=15.对将，民6=a(: a0,+9k (3)由2)可句二次函数图象约时称轴为直线4一1，开口向 15)'+3.把(2.48)代入得12-15)+5=48.解得= 0 上，且06164 （2一00.当一4时，套有县大速为90 一c0当一后时了有餐大道最大值为写 答：当每千克降骨4元时，工厂每天的再得量大，异大判测 ；当2≤4时，6WF的面积宽A小的增大面增大.当0 1《2时，AEF的面积周山的增大面藏小 (3引这次守门风不箱守域项.理由如下：当4=4时，k一 为90无 工解代1)怀扶所在菊物成的表诗式为yE 小专题培优2根据性腰分析并判所商数图象 2解：(1小提摆起重年w+云《00-”-子+1，自变星 《2e=为 1G2C3B4非系D6n1,G 成动 的原重或医为01640： (3),抛物找与原新携所在箱物性的开日为月大相具， 参考答案九下·第 1 章 第 2 课时　 几何图形面积与销售利润的最值问题 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　几何图形面积问题 1. 在一个边长为 5 的正方形中挖去一个边长为 x (0<x<5)的小正方形,如果设剩余部分的面积 为 y,那么 y 关于 x 的函数表达式是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= x2 B. y= 25-x2 C. y= x2 -25 D. y= 25-2x 2. 如图,四边形 ABCD 是一块边长为 4 米的正方 形苗圃,园林部门拟将其改造为矩形 AEFG 的 形状,其中点 E 在 AB 边上,点 G 在 AD 的延长 线上,DG = 2BE,设 BE 的长为 x 米,改造后苗 圃 AEFG 的面积为 y 平方米. (1) y 与 x 之间的函数关系式为 　 y = - 2x2 + 4x+16　 (不需要写自变量的取值范围); (2)若改造后的矩形苗圃 AEFG 的面积与原正 方形苗圃 ABCD 的面积相等,则 BE 的长为多 少米? 解:(2)根据题意得,-2x2+4x+16= 16, 解得 x1 = 2,x2 = 0(不符合题意,舍去) . 答:BE 的长为 2 米. 知识点 2　销售利润问题 3. 某种商品每天的销售利润 y(元)与单价 x(元) 之间的函数关系式为 y = -0. 1(x-3) 2 +25. 则 这种商品每天的最大利润为 ( C ) A. 0. 1 元 B. 3 元 C. 25 元 D. 75 元 4. 某商店销售一种零食,每包进价为 4 元,经市 场调查表明:每包售价每增加 1 元,日均销售 量减少 80 包;当售价为每包 7 元时,日均销售 量为 400 包,若要使日均毛利润最大,则每包 这种零食的售价应是　 8　 元. 5. 中国茶文化代表了中国文化的精髓和卓越,具 有丰富的文化内涵和深远的历史意义. 某茶庄 经销一种绿茶,每千克的成本为 50 元,经市场 调查发现:在一段时间内,销售量 W(千克)随 销售价 x(元 / 千克)的变化而变化,具体关系 式为 W = -2x+240. 设这种绿茶在这段时间内 的销售利润为 y(元),解答下列问题: (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当绿茶的销售价是多少时,该茶庄这种绿 茶在这段时间内的销售利润最大? 最大利润 是多少? 解:(1)由题意得, y = ( x - 50) ·W = ( x - 50) ( - 2x + 240) = - 2x2 + 340x-12 000, ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 2x2 + 340x - 12 000; (2)y=-2x2+340x-12 000=-2(x-85) 2+2 450. ∵-2<0, ∴当 x= 85 时,y 的值最大,最大值为 2 450. 答:当绿茶的销售价是 85 元 /千克时,该茶庄这种 绿茶在这段时间内的销售利润最大,最大利润是 2 450 元. 知识点 3　其他问题 6. 小汽车刹车距离 s(m)与速度 v(km / h)之间的 函数关系式为 s = 1 100 v2, 一辆小汽车正以 80 km / h 的速度匀速行驶,若前方 80 m 处停放 一辆故障车,则此时刹车　 不会　 (填“会”或 “不会”)撞上前面的故障车. 7. 小王和小李先后从 A 地出发沿同一直道去 B 地. 设小李出发第 x(min)时,小李、小王离 B 地的距离分别为 y1(m),y2(m) . y1 与 x 之间的 函数表达式是 y1 = -180x+2 250,y2 与 x 之间的 函数表达式是 y2 = -10x2 -100x+2 000. (1)小李出发时,小王离 A地的距离为　 250　 m; (2)小李出发至小王到达 B 地这段时间内,当 小李出发　 4　 min 时,两人相距最近. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 141 广西数学(XJ) 二阶 能力提升强化练 8. (教材 P32 习题 T4 改编)如图,在四边形ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中 点,若四边形 EFGH 是矩形,且其周长是 20,则 四边形 ABCD 面积的最大值是 ( D ) A. 25 B. 30 C. 40 D. 50 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒 数的百分比称为“可食用率” . 在特定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足的 函数关系式为 p = at2 +bt+ c( a,b,c 是常数), 如图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模 型 和 实 验 数 据, 可 得 到 最 佳 加 工 时 间 为　 3. 75　 分钟. 10. (2024 自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块 面积足够大的平整空地,地上两段围墙 AB⊥ CD 于点 O(其平面图形如图所示),其中 AB 上的 EO 段围墙空缺. 同学们测得 AE = 6. 6 m,OE= 1. 4 m,OB = 6 m,OC = 5 m,OD = 3 m,班长买来可切断的围栏 16 m,准备利用 已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜 地的最大面积是　 46. 4　 m2 . 11. 如图,在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别从点 A,B,C,D 同时出发,均以 1 cm / s 的速度向点 B,C,D,A 匀速运动,当点 E 到达点 B 时,四个点同时停止运动. 当运动 时间为　 3　 s 时,四边形 EFGH 的面积最小, 其最小值是　 18　 cm2 . 12. 广西作为面向东盟国家的窗口,发挥自身优 势吸引了众多游客. 某商场抓住商机以每件 50 元的价格购进一批壮锦披肩,以每件 80 元 的价格出售,每日可售出 200 件. 从 1 月份 起,商场决定采用降价的方式促进销售,经市 场调查发现:每件每降价 1 元,日销售量增加 20 件. 设每件披肩降价 x 元, 日销售量为 y 件. (1)请用含 x 的式子表示 y; (2)若每件披肩降价 5 元,则日销售利润为多 少元? (3)该商场如何定价,可使日销售利润最大, 最大利润为多少元? 解:(1)y= 200+20x; (2) 由题意得日销售利润为(80-x-50) (20x+ 200), 当 x= 5 时,(80-5-50)×(20×5+200)= 7 500. 答:若每件披肩降价 5 元, 则日销售利润为 7 500 元; (3)设日销售利润为 W 元. 根据题意得 W =(80-x-50)(20x+200) =-20(x-10) 2+8 000. ∵-20<0, ∴当 x= 10 时,W最大 = 8 000. 80-10= 70(元) . 答:每件售价为 70 元时,可使日销售利润最大,最 大利润为 8 000 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 241 九下·第 1 章 13. (2024 贵港桂平期末)某园林专业户计划投 资种植树木及花卉,根据市场调查与预测,种 植树木的利润 y1 与投资量 x 成正比例关系, 如图 1 所示. 种植花卉的利润 y2 与投资量 x 成二次函数关系,如图 2 所示. (注:利润与投 资量的单位:万元) (1)请直接写出利润 y1 与 y2 关于投资量 x 的 函数关系式; (2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植 树木及花卉,他至少能获得多少利润? 他能 获取的最大利润是多少? 图 1 　 　 图 2 解:(1)y1 = 2x(x≥0),y2 = 1 2 x2(x≥0); (2)设这位专业户投入种植花卉 x 万元(0≤x≤ 8),他获得的利润是 z 万元,则投入种植树木 (8-x)万元. 根据题意得,z = 2(8-x) + 1 2 x2 = 1 2 x2 -2x+16 = 1 2 (x-2) 2+14, ∵ 1 2 >0,∴当 x= 2 时,z 有最小值 14; ∴当 0≤x≤2 时,z 随 x 的增大而减小; 当 2<x≤8 时,z 随 x 的增大而增大, ∵0≤x≤8,8-2>2-0, ∴当 x= 8 时,z 有最大值,最大值为 32. 答:他至少能获得 14 万元的利润,他能获取的最 大利润是 32 万元. 三阶 素养创新综合练 14. 综合与实践 【知识背景】如图,校园中有两 面直角围墙,墙角内的 P 处有一棵古树与墙 CD,AD 的距离分别是 15 m 和6 m,在美化校 园的活动中,某数学兴趣小组想借助围墙(两 边足够长),用 28 m 长的篱笆围成一个矩形 花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边),设 AB = x m,矩形花园 ABCD 的面积为 S m2 . 【方案设计】设计一个矩形花园,使之面积最 大,且要将古树 P 围在花园内(含边界,不考 虑树的粗细) . 【解决问题】(1)请用含有 x 的代数式表示 BC 的长; (2)花园的面积能否为 192 m2? 若能,求出 x 的值;若不能,请说明理由; (3)求面积 S 与 x 的函数表达式,写出 x 的取 值范围;并求当 x 为何值时,花园的面积 S 最 大? 并求出最大值. 解:(1)由题意得,AB = x m, ∴BC=(28-x)m; (2)花园的面积能为192 m2 . 令 x(28-x)= 192, 解得 x= 12 或 x= 16(不符合题意,舍去), ∴花园的面积能为 192 m2,此时 x 的值为 12; (3)S=x(28-x)= -(x-14) 2+196. ∵点 P 与 CD,AD 的距离分别是 15 m 和 6 m, ∴28-15= 13,∴6≤x≤13. ∵-1<0,抛物线的对称轴为直线 x= 14, ∴当 6≤x≤13 时,S 随 x 的增大而增大. ∴当 x = 13 时, S 最大,最大为 - ( 13 - 14) 2 + 196= 195. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 341