2.1 一元二次方程-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

第2章一元二次方程 204= 2.1一元二次方程 1201,=2+2.=2-② LC143-241[答第肆一) 发解：(1》52-4c-1=0:5,-4.-: 1n4D41线-)44-4+50 71,=0+52,1=-5,2 (34r-81=0:49,-1: (34r+8-25-04,8.-25, 累解：32-6+12=0， (43r2-7+103,-1,1 等式再山同以3，得-2+4=0,配方.（一1）-3 6R Z n :《一1)'30，以方程3r-412=0度有实数根， N解：(1-1h+0=0 失解11)3 《22--10-0 {2)4-2-3+2+4-(-+1+5 m=1方年1545 臭C1RG1l.-22w*3 日解：1)由(-1)3+(+11-2=0是一元一火方程，释 -1-0聘 六-(-1)◆%5.即4-+士的最大值为5 +1*0. 小专题培优3配方的悦用川 4原方程为2-2=0.解月x=L ,当=1时方是一元-武方程，方的为=： 20x,=3,- 《2)h(-1)x4(41-2-0是一无=次方程.厚-1 1-3aD -0,解得1*a1, 4解1已加等式要卷得，(-2t1)+(了-+9)=0. 当*±1时，(-++1》2▣0是一元二方程 5《-1)+y-3=0.广1=0，-3=0， 二次宽事数是-1，一次限最数是+1，套数项是-1 14解：段A成的长为年民，解G为(=4)民，r为21尺 年P0 根罐套得，42) 化为一2无式为-2+20=Q 《期：)…片-片·- 5每 h+1如-s-6 2.2一元二次方程的解法 (A+3)6+3)” 3-4 2.2.1配方法 0t0.-s,+30之6-方0.6 第1时利用平方根的意义解一元二欢方程 《25e 上C上A304答第不一，eD-35间) 1.8 1(1折=52，-55： 解：11-1-5 (2》年=10，与==0 {2)-1'-4-8=-(4444444)▣-x424 (+204当=-1时，-2-4-8有量大为-4 7.(1},25-1: 22.2公式法 (29m=11,与-A1 2旺类号 1前2北1040头86还- 1 性解：士方程4(-1tn-0-0的个限毫)， 31,-亚 4 4 .+3(m一1)mP0=0,目4n-4=0.解得n= 由方程‘-9=0，邮得三±3.方程的月一个银为-3 第2课时配方法一二灰项系敌为1 314G:p k3241 6(1,=1+2,=-2:2)=3,=-1 D8(容案不耶一）1甲2章1 2)-9-1相=1.移璃，得-9与0。 配方产m…甲 这解：[1)由荐.xe4,由2得.江>1， 敏不等式州的解集为1心心4： 第青2·-1,2-地取1)中的精思正晚 21由1年14，可n=2 第3课时配方满—二欢功系数不为1 期方程变为-2山-2=0. LA 6-4r(-2)3-4w1(-21-2 24/2223.+5 “44ar={-41F-42m(-10=240 5,1百=1-5.（容案不罪一 代人束秘公式得，红法石 2x22 a解：1Lg=W,=号4Ca, 则：246 26 ， 2Ck0成4 1 生1-53 (3用求根经式求得。不园 境小花玩的边长为(5+52 1L.解1以式分解生： -g+5=0,(-1-51= -1=0收4-5=0.六t,■1：n5 性：山的卡是方的正梨 配方法-6+5=0.你凌得.2-6-5， 表越之处，闲解砝不雀表示乐方程给低鞋 -0+9E-5+9.3月4.-3=±2 2.2.3因式分解法 六名甲5（解店不甲一） 2相：任务一：三方程的有边猫埋9 第1知时用因式分解法解一元二次方程 任务二4,2-2-1=0.填.得42-=1 1A1x,-2130x10,5=1 配方.得dc-2+9■1+9.(2-J)■10. 4子 2-31,0,.2-34w5域2-3-面， (21a,=24,三- 8(11,=-5*1 2 匠务江：我不意小同的，的日：我们要灵 21,=-2157 停超博呢有队来解一龙二太方程 小安酒培优4一一元二次方程的解法及拓展 7.表，■4，世6 8A象C1aC1h非2-2 11-西“。 《20￥=8.=-2： 《3)4=-2,=1 14:(1x,-0.5-2 2(1)直接开平为陆，=4,1=2 （1)根能题宣得-2x-6=2-4-5 2)配方选，-15，--5 方程化为一量形式为x2-2t1=0, 《)明式分解法，高=4而-2 15解：(15，=1.=3： 《4)公式陆山，=1山=2 ()车3是直角三角形的料边长时，第三边的长一 1解(1)2 下.25， 《2)72-2-99=0. 与1阳3是直角三角形的直角迪长时，第出的长 国式分解.税(-11(s+9)*0。 了=0. .11=0夜t9=0. ,第三边的长为25成√而 解得=1，，一9 第1课时用适当的方法解一元二灾方程 4解：1)分解式：'-0m+21=(-){71 (2)x=-1,王=-4 I D Z D 【室式1】，￥L5,3-2 &直接开平方塘配方法公式法因式分解法 4(,=64“-8 【麦式2】解：边其式分解得Ha5)(x*1-。, (2,-T 则+5=0线+1=0.得，三-52=- 4 5都142-2)3-13(x-2+42=0, (月，=5与4两-1 x2-2y,渊方程化为-3+4只0 《-61-7)=0.◆=0线-7=0， 1 解得元=6，元：=7 解：分析：2 写2-2=0明，=±22：当-2=7时4=±3. 民想：用公式法 一绿本程的解为5，-32，=-22-35=-3 1妻式1G 广西数学(XJ) 第 2 章　一元二次方程 2. 1　 一元二次方程 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　一元二次方程的概念及一般形式 1. (2024 桂林七星区期中)下列方程是一元二次 方程的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x+1 = 0 B. y2 +x= 0 C. x2 -x= 0 D. 1 x +x= 0 2. 已知一元二次方程 3x2 -5x- 1 = 0 的二次项为 3x2,则一次项系数为 ( A ) A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 3. 已知方程(a-2)xa 2-2 +3x= 0 是关于 x 的一元二 次方程,则 a 的值为　 -2　 . 4. 若关于 x 的方程 | a-2 | x2 +bx+c = 0 是一元二次 方程,则 a 的值可能为　 　 　 (写一个即可) . 5. (教材 P28 练习 T2 改编)将下列方程化成一元 二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项. (1)5x2 -1 = 4x; 　 　 (2)4x2 = 81; (3)4x(x+2)= 25;　 　 (4)(3x-2)(x+1)= 8x-3. 解:(1)5x2-4x-1= 0;5,-4,-1; (2)4x2-81= 0;4,0,-81; (3)4x2+8x-25= 0;4,8,-25; (4)3x2-7x+1= 0;3,-7,1. 知识点 2　建立一元二次方程模型 6. 某电影首周票房约 2. 5 亿,第三周票房约 3. 6 亿,若每周票房按相同的增长率增长,设增长 率为 x,则根据题意可列方程为 ( B ) A. 2. 5(1+x)= 3. 6 B. 2. 5(1+x) 2 = 3. 6 C. 2. 5+2. 5(1+x)= 3. 6 D. 2. 5+2. 5(1+x) +2. 5(1+x) 2 = 3. 6 7. 现实情境 已知一张 7 寸照片(长 7 英寸,宽 5 英寸),现将其贴在一张矩形衬纸的正中央,如 图,照片四周外露衬纸的宽度相同,且矩形衬 纸的面积为照片面积的 2 倍. 设照片四周外露 衬纸的宽度为 x 英寸,下列方程正确的是 ( D ) A. 2(7+x)(5+x)= 7×5 B. (7+x)(5+x)= 2×7×5 C. 2(7+2x)(5+2x)= 7×5 D. (7+2x)(5+2x)= 2×7×5 8. 抽象能力 根据下列问题列方程,并化成一元 二次方程的一般形式. (1)用一根长 30 cm 的铁丝折成一个斜边长为 13 cm 的直角三角形,求这个直角三角形的直 角边长(设这个直角三角形中的一条直角边长 为 x cm); (2)某班同学之间为了相互鼓励,每两人之间 进行一次击掌,共击掌 595 次,求本班有多少 名同学(设本班有 x 名同学) . 解:(1)x2-17x+60= 0; (2)x2-x-1 190= 0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 9. 下列方程:①2x2 - 1 3x = 1;②2x2 -5xy+y2 = 0; ③7x2 -1 = 0;④y 2 2 = 0. 其中是一元二次方程的 有 ( C ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 10. 跨学科·语文 小明同学在学习一元二次方 程这一章时,改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤 壁怀古》: “ 大江东去浪淘尽, 千古风流人 物. 而立之年督东吴,早逝英年两位数. 十位 恰小个位三,个位平方与寿同. 哪位学子算得 快,多少年华数周瑜?”假设周瑜去世时年龄 的十位数字是 x(注:而立之年为 30 岁),则可 列方程为 ( C ) A. 10x+(x-3)= (x-3) 2 B. 10(x+3) +x= x2 C. 10x+(x+3)= (x+3) 2 D. 10(x+3) +x= (x+3) 2 11. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -(4+m)x+3m= 0 的常数项是-6,则它的一次项是　 -2x　 . 12. 若方程 mx2 +3x-4 = 3x2 是关于 x 的一元二次 方程,则 m 的取值范围是　 m≠3　 . 13. 已知关于 x 的方程(k2 -1)x2 +(k+1)x-2 = 0. (1)当 k 取何值时,此方程是一元一次方程? 并求出此方程的根; (2)当 k 取何值时,此方程是一元二次方程? 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一 次项系数、常数项(用含 k 的式子表示) . 解:(1)由(k2-1)x2+(k+1)x-2= 0 是一元一次方 程,得 k2-1= 0, k+1≠0,{ 解得 k= 1, ∴原方程为 2x-2= 0,解得 x= 1. ∴当 k= 1 时,方程是一元一次方程,方程的根为 x= 1; (2)由(k2-1)x2+(k+1)x-2= 0 是一元二次方程, 得 k2-1≠0,解得 k≠±1, 当 k≠±1 时,(k2-1)x2+(k+1)x-2 = 0 是一元二 次方程, 二次项系数是 k2-1,一次项系数是 k+1,常数项 是-2. 14. 数学文化 《九章算术》中记载,今有户不知 高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出 二尺,邪之适出,问户高、广、邪各几何? 译文是:今有门,不知其高、宽,有竿,不知其 长短,横放,竿比门宽出 4 尺;竖放,竿比门高 出 2 尺;斜放,竿与门对角线恰好相等. 问门 高、宽、对角线的长分别是多少? 若设门对角 线的长为 x 尺,根据题意列出方程并化为一 般形式. 解:设 AB 的长为 x 尺,则 AC 为(x-4)尺,BC 为 (x-2)尺. 根据题意得,(x-4) 2+(x-2) 2 =x2, 化为一般形式为 x2-12x+20= 0. 三阶 素养创新综合练 15. 注重学习过程 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 (m-1)x2 +2x+ |m | -1 = 0 的常数项为 0,求 m 的值. 下面是小明和小莉的解题过程,其中解 题过程正确的是 ( B ) 小明:由题得 |m | -1=0,所以m=1 或m=-1; 小莉:由题得 | m | - 1 = 0,且 m- 1 ≠0,所以 m= -1. A. 小明正确,小莉不正确 B. 小明不正确,小莉正确 C. 两人都不正确 D. 无法判断 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71