6.3.1平面向量基本定理教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

本文聚焦《平面向量基本定理》展开，承接平面向量线性运算等知识，为向量坐标表示奠基。通过复习旧知、类比力的分解等环节，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。 该设计亮点在于借助几何画板直观展示，采用类比、反证法等教法。从学生层面看，能提升思维能力；从教师角度，提供清晰授课路径；课堂效果上，有效突破定理证明这一教学难点。

《平面向量基本定理》教学设计 课 题 6.3.1平面向量基本定理 教 材 人教A版高中数学必修第二册 课 时 1课时 课 型 新授课 授课对象 高一学生 内容与教材分析 本节课选自人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中的第3小节“6.3平面向量基本定理及其坐标表示”中的第一课时，是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容，它是共线向量定理的推广，是平面向量正交分解的基础，是将向量运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。 平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是利用向量解决问题的基本手段，有着广泛的应用.由平面向量基本定理，可以进一步实现向量的坐标表示，即实现向量的代数表示，从而实现向量运算完全代数化，进而体现向量的工具作用. 平面向量基本定理中蕴含着丰富的数学思想，如转化思想、数形结合思想等．本节课的学习过程，能很好地体现数学地思考问题的方法：以简驭繁，实现将无限多个平面向量有序表达的目的，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养. 学情分析 本节课的授课对象是高一学生，在前面已经学习平面向量的概念、平面向量的线性运算、数量积，根据作业完成情况可看出80%的学生基本掌握了向量加法的平行四边形法则和共线向量定理.同时在物理中也学习了力的分解，具备了学习本节课的基础知识，也具备了一定的思维能力和思维习惯. 但学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面，包括“相等向量”“相反向量”“共线向量” 等，而平面向量基本定理揭示的是 “二维” 层面的平面向量之间的关系，要实现这种认识层级的跃迁，对学生有一定难度．另外，由向量的分解想到任意一个向量都可以用一对不共线的向量，经过线性运算加以表示的抽象，也是认识上的一种飞跃，学生可能在此处产生认知上的困难.同时通过反证法证明定理中的唯一性也是学生的薄弱之处. 教学目标 本节课的教学目标为： 知识技能： 1.让学生理解平面向量基本定理的内容，明确平面内任一向量都可以用两个不共线的向量线性表示，且表示唯一. 2.使学生掌握平面向量基本定理中基底的概念. 3.使学生能用平面向量基本定理解决简单的平面几何问题. 数学思考： 1.培养学生的逻辑推理能力，通过对平面向量基本定理的推导和证明，让学生学会从已知条件出发，运用逻辑推理得出结论，体会数学的严密性. 2.引导学生观察、思考、归纳，使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程，并从中获得数学思考的方式与方法. 情感态度： 在对平面向量基本定理的探究过程中，激发学生的学习兴趣和求知欲，增强学习数学的自信心. 核心素养： 发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点难点 1.教学重点：平面向量基本定理，定理的发现和证明过程. 2.教学难点：平面向量基本定理的发现过程及对定理的证明. 设计理念 平面向量基本定理是向量理论体系的核心内容，它不仅揭示了平面向量的结构特征，更是连接向量几何运算与代数运算的桥梁，为后续向量的坐标运算奠定基础. 本节课以立德树人为指导思想，依据课程标准，以培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养为目标，关注学生在知识、能力、情感、价值观等多方面的均衡发展.首先通过港珠澳大桥的短视频引入，激发学生学习兴趣，其次以平面向量基本定理为起点，将学生对向量的认识从一维过渡到二维，再类比物理中力的分解，层层深入对定理进行探究，思维能力是学生解决复杂问题、适应未来社会的关键，在探究过程中借助表达式中，的唯一性加强对学生逻辑思维的培养，然后借助几何画板动态展示向量的分解，深化学生对定理的理解，设计例一的问题，以提高学生发现问题和解决问题的能力，促进定理的深度学习. 教学过程 教学环节 教学内容和师生教与学活动 设计意图 （一） 复习旧知 中国以庞大的基础设施建设和众多超级工程而闻名，素有“基建狂魔”之称，世界上最长的跨海大桥就在我国，我们借助视频来了解. 播放有关港珠澳大桥的短视频引入本节新课. 出示本节学习目标. 回顾平面向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 思考：平面内有多少个向量呢？ 预设生：无数个. 我们希望也可以用有限个向量来表示这无限个向量，至少需要几个向量呢？ 预设生：两个. 思考：任意的两个向量都可以吗？ 预设生：不可以，根据共线向量定理不可以是共线的两个向量. 所以，必须要用两个不共线的向量来表示平面内的任一向量. 视频中港珠澳大桥的斜拉索可以与向量的分解联系起来，视频引入也可以起到增加学生学习兴趣的作用.同时港珠澳大桥的成就可以加深学生的民族认同感. 通过学生熟悉的共线向量定理引入，将向量的位置由直线过渡到平面，帮助学生实现对向量知识从一维到二维的过渡，为后面定理的探究和基底不共线做铺垫. （二） 学习新知 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力．类比力的分解，能否将向量分解为两个不共线的向量，使得向量是这两个向量的和呢？ 选取平面内的任意两个不共线的向量，，假设向量与，都不共线，试将按，的方向进行分解. 学生初步尝试分解. 将三个向量平移至同一起点，即在平面内任取一点，作，,. 要将将按，的方向进行分解，即以为对角线，按，的方向构造平行四边形. 如图，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点. 根据向量加法的平行四边形法则，对角线向量. 这与，有什么联系呢？ 预设生：与共线，与共线，根据共线向量定理，存在实数，，使得，，所以，也就是. 如果改变的方向和大小，会如何呢？ 操作几何画板，改变的方向和大小，观察到分解形式仍为，并且，是唯一确定的. 这就是说，与，都不共线的向量都可以表示成的形式． 预设生：当是与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式吗？ 当是与共线的非零向量时，可以表示成的形式，如果是与共线的非零向量时，可以怎么表示？ 预设生：可以表示成的形式. 当是零向量时呢？ 预设生：可以表示成. 综合上述三种情况，你能得到什么结论呢？ 预设生：平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式. 通过几何画板我们直观感受到表示形式中的，是唯一的．但还需用逻辑来证明，根据以往学习经验如何证明这种唯一性呢？ 预设生：反证法. 如果还可以表示成的形式，那么，化简得．由于与不共线，可以推出，全为0 ，如果 ，不全为0，不妨假设，则.由此可得，共线．这与已知，不共线矛盾，所以，也就是说，有且只有一对实数，使． 这就是我们本节课要学习的重要内容，平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使. 若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 思考：基底是唯一的吗？ 在几何画板中改变的方向和大小，引导学生观察分解形式. 平面内的任意向量的分解形式不唯一，也就是基底不唯一，但一旦确定基底，这种分解方式唯一.并展示当与共线时不能被分解，再次强调基底的不共线. 请同学们谈一谈对定理的理解. 预设生：在平面内，一旦基底确定，则每个向量的分解都是唯一的. 这就是说给定一组基底，在这组基底下，平面内任一和其表达式中的有序实数对，建立起一一对应的关系，这样定理搭建起平面向量中形与数的桥梁，同时实现了平面向量几何表示代数表示的转化。这为我们下节课学习向量的坐标表示奠定基础 预设生：一个确定的基底可以构造出平面内所有向量，以及一个向量也可以选择不同的基底来表示. 这启示我们，在解决问题时要选用恰当的基底来简化问题。 物理中力的分解是学生熟悉的内容，在学生已有知识的基础上学习新知更容易理解. 类比力的分解思路，让学生尝试将向量进行分解，在分解过程中体会一旦方向确定分解形式是唯一的，为后续存在唯一确定实数对做铺垫. 创设数学情境，通过平面向量分解的实例，让学生感受在数学学习中，平面向量的分解是规律性的一般问题，值得我们深入探究. 为帮助学生更好理解定理中分解形式的唯一性，借助几何画板，用实例直观展示同一平面内任意向量关于，的分解过程，并引导学生观察实数，的变化，以促进学生深度理解定理. 对分三种情况探讨，以培养学生思维的严密性. 让学生归纳结论，以达成数学思考的教学目标，突出本节课的重点，也可以培养学生的抽象概括能力和语言表达能力. 通过反证法证明实数，是唯一确定的，以此突破本节课的难点，为后续向量的坐标表示做铺垫.同时帮助学生熟悉反证法的运用. 通过几何画板直观感受基底不唯一，但基底确定后分解形式唯一，以达成学习目标. 请学生谈谈对定理的理解可以促进学生对定理的深度学习，可以思考定理中蕴含的意义，也可以锻炼学生的表达能力，突出以学生为中心的思想. （三） 巩固新知 例1 如图，，共线，且，用，表示． 结合题干中，观察，你有什么发现？ 本题隐含着平面向量的等和线，“爪”字型图及性质： 已知，为不共线的两个向量，则对于同一平面内向量，必存在，，使得． 则三点共线 ． 借助例1使学生初步熟悉用基底表示向量的一般过程，回顾向量运算法则. 设置例1解答后的问题，一步步深入探究关于三点共线的新结论，培养学生的提问意识与问题解决能力. （四） 课堂总结 类比物理中力的分解 ⬇ 获得平面向量分解的猜想 ⬇ 对分三种情况展开探究 ⬇ 几何画板和反证法验证，的存在性与唯一性 ⬇ 归纳得到平面向量基本定理 通过回顾本节课的探究过程帮助学生理清本节知识内容和用到的思想方法，有助于学生构建知识体系. （五） 课后作业 书面作业：教科书第27页练习题1，2，3题. 思考：观察例1中的结论，谈谈你的发现. 书面作业面向全体学生，使每位同学都能得到发展，获得收获的成就感，思考作业可以使对数学感兴趣的同学获得能力上的提升. 板书板绘设计 6.3.1平面向量基本定理 一、平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使. 二、基底：不唯一，不共线. 教学反思 定理部分结合几何画板讲解，把总结和找关键词的机会给学生,充分发挥了学生的主观能动性,掌握的效果也比较好。为了理解定理中的唯一这一关键词，选用反证法进行讲解，使学生的理解从主观上升到客观.适当插入思考巩固,帮助学生加深印象.成功之举为三点共线推论的课后思考，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的意识和能力.不足之处是运用反证法证明唯一性时学生参与度较低，此处需要改进，可以给学生小组讨论的机会. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$