第18章平行四边形 暑期自主提升训练题 2024-2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025学年人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》 暑期自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列命题中，假命题是（   ） A．有一个直角的平行四边形是正方形 B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．三个角是直角的四边形是矩形 2．在中，，则（   ） A． B． C． D． 3．菱形的对角线，，则菱形的面积为（   ） A．24 B． C．20 D．40 4．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为（　　） A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5 5．如图，在矩形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 6．如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，在正方形对角线上截取，连接并延长交于点F，连接，过B作于点G，交于点H，则下列结论①；②；③；④．正确的有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 8．如图，在平行四边形中，平分交边于点，已知，，则的长度是 ． 9．如图，在菱形中，，，则的度数为 ． 10．如图，在中，、相交于点O，若，，与的周长差为 ． 11．如图，在菱形中，，，为边边上的一个动点，为上的一个动点，则的最小值为 12．如图，在中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，E、F分别为、的中点，则的最小值是 ． 13．如图，矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，则的长为 ． 14．如图，在正方形中，点是对角线上一点（点不与、重合），连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于点，如果，，则 ． 三、解答题 15．如图，在中，、分别是，上的点，且． 求证：． 16．如图，在中，分别为的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 17．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为6，，求的长． 18．如图，已知正方形，连接其对角线．在延长线上取一点E，使得，连接．过B作的垂线，交于点O，交延长线于点F． (1)求证四边形是菱形． (2)求的度数． 19．阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，… (1)请补全材料中的解题过程； (2)如图③，与均为等腰直角三角形，其中 ．连接，M为的中点，连接，求证：． 20．在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交，于，． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当点在线段上（不与点重合）时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点是中点时，连接交于，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．解：A． 有一个直角的平行四边形是矩形，需同时满足邻边相等才是正方形，条件不充分，故为假命题； B． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合定义，正确； C． 四条边相等的四边形是菱形，符合菱形判定条件，正确； D． 三个角是直角的四边形，第四个角必为直角，故为矩形，正确． 故选：A 2．解：根据题意可画出示意图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 3．解：∵菱形的对角线，， ∴菱形的面积为， 故选：A． 4．解：连接，如图： ，，， 四边形是矩形， ， 要使最小，只要最小即可， 当时，最短， ，，， ， 的面积， ， 即， 故选：C． 5．解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 在中， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选A． 6．解：连接交于点，取的中点，连接，，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．解：在正方形中， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴是线段的垂直平分线，， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，故①、③、④正确； 如图，连接， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵不垂直， ∴， ∴， ∴，故②错误， 故正确的有3个 故选B． 8．解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 9．解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．解：∵在中，、相交于点O，若，， ∴， ∴与的周长差， 故答案为：2． 11．解：如图，连接， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴的最小值为 过点作于点，交于点， ∴当在上时，最小，最小值为， 在中，，， ∴， 故答案为：． 12．解：如图，连接，过点作于， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ∵、分别为、的中点， ， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点与点重合时，的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．解∶∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：2． 14．解：连接，过点作于，于，如图所示： 则四边形为矩形， ，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ， ， 四边形为正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 15．证明：在平行四边形中，，， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴． 16．（1）证明：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ． 平行四边形是菱形． （2）解：如图，连接， 由（1）可知， 是等边三角形， ， 是直角三角形，， ． 是的中点， ， 即的长为． 17．（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 18．解：（1）四边形ABCD是正方形， ADBC， ∠FDO=∠DEB， BD=BE， ∠BDO=∠DEB， ∠FDO=∠BDO， BF⊥DE， ∠BOD=90°=∠FOD， DO=DO， △BOD△FOD(ASA)， DF=BD， BD=BE， DF=BE， ADBC，即DFBE， 四边形BEFD是平行四边形， 而BD=BE， 四边形BEFD是菱形； （2）四边形ABCD是正方形， DBC=45°=∠BDC， 由（1）知四边形BEFD是菱形， DBO=∠EBO=DBC=22.5°， DPB=180°-∠DBO-∠DBC=112.5°． 19．（1）解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：如图所示，延长到N，使得，连接， ∵M为的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点B作于点Q，交于点L， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接，交于点P， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$